【正文】 為是穩(wěn)定的或者是在統(tǒng)計控 制中的。剩余的變化只是簡單的隨機變化。假如隨機變化太大，則管理部門不能接受，但只要消除變化的共同原因，便可減少變化（ Deming,1982,1986。De Vor, Chang,和Sutherland,1992）。 通常的做法是將產(chǎn)品質(zhì)量的特征繪制到控制圖上，然后觀察這些數(shù)值隨時間如何變 動。例如，為了控制肥皂中堿的數(shù)量，可以每小時從生產(chǎn)線中隨機地抽選 塊試驗肥皂作為樣本，并測量其堿的數(shù)量，不同時間的樣本含堿量的均值 x描繪在下圖中。假設(shè)這個過程是在統(tǒng)計控制中的，則 x的分布將具有過程的均值 ，標準差具有過程的標準差除以樣本容量的平方根， 。下面的控制圖中水平線表示過程均值，兩條線稱為控制極限度，位于 的上下 的位置。假如 x落在界限的外面，則有充分的理由說明目前存在變化的特殊原因，這個過程一定是失 控的。 當生產(chǎn)過程是在統(tǒng)計控制中時，肥皂試驗樣本中堿的百分比將服從 和 的近似的正態(tài)分布。 ⑴ 假設(shè) 則上下控制極限應(yīng)距離 多么遠？ ⑵ 假如這個過程是在控制中，則落在控制極限之外的概率是多少？ ⑶ 假設(shè)抽取樣本之前，過程均值移動到 ，則由樣本得出這個過程失控的（正 確的）結(jié)論的概率是多少？ 解： a. b. c. . 參考練習 。肥皂公司決定設(shè)置比練習 中所述的 這一限度更為嚴格的控制 極限。特 別地，當加工過程在控制中時，公司愿意接受落在控制極限外面的概率是 。 ⑴ 若公司仍想將控制極限度設(shè)在與均值的上下距離相等之處，并且仍計劃在每小時的 樣本中使用 個觀察值，則控制極限應(yīng)該設(shè)定在哪里？ 現(xiàn)在是 3%⑵ 假設(shè) a部分中的控制極限已付諸實施，但是公司不知道，（而不是 2%）。 若 ，則落在控制極限外面的概率是多少？若 呢？ 解： a. (, ) b. , . 參考練習 。為了改進控制圖的敏感性，有時將警戒線 與控制極限一起畫在圖上。 第 20 頁 共 62 頁 警戒限一般被設(shè)定為 。假如有兩個連續(xù)的數(shù)據(jù)點落在警戒限之外，則這個過程一定是失控的（蒙哥馬利， 1991年）。 ⑴ 假設(shè)肥皂加工過程是在控制中（即，它遵循 和 的正態(tài)分布），則的下一個值落在警戒限之外的概率是什么？ ⑵ 假設(shè)肥皂加工過程是在控制中，則你預(yù)料到畫在控制圖上的的這 40個值中有多 少個點落在上控制極限以上？ ⑶ 假設(shè)肥皂加工過程是在控制中，則的兩個未來數(shù)值落在下警戒線以下的概率是多 少？ 解： a. b. 1 c. 第 5章 參數(shù)估計 ●1. 從一個標準差為 5的總體中抽出一個容量為 40的樣本，樣本均值為 25。 （ 1） 樣本均值的抽樣標準差 σ等于多少？ （ 2） 在 95%的置信水平下，允許誤差是多少？ 解：已知總體標準差 σ=5，樣本容量 n=40，為大樣本，樣本均值 x=25， （ 1）樣本均值的抽樣標準差 σ 5= （ 2）已知置信水平 1－ α=95%，得 Zα/2=， 于是，允許誤差是 E =Zα/26=。 ●，在為期 3周的時間里選取 49名顧客組成了一個簡單隨機樣本。 （ 3） 假定總體標準差為 15元，求樣本均值的抽樣標準誤差； （ 4） 在 95%的置信水平下，求允許誤差； （ 5） 如果樣本均值為 120元，求總體均值 95%的置信區(qū)間。 解：（ 1）已假定總體標準差為 σ=15元， 則樣本均值的抽樣標準誤差為 σ 15= （ 2）已知置信水平 1－ α=95%，得 Zα/2=， 于是，允許誤差是 E =Zα/26=。 （ 3）已知樣本均值為 x=120元，置信水平 1－ α=95%，得 Zα/2=， 這時總體均值的置信區(qū)間為 可知，如果樣本均值為 120元，總體均值 95%的置信區(qū)間為（ ， ）元。 第 21 頁 共 62 頁 ●，在全校 7500名學生中采取不重復(fù)抽樣方法隨機抽取 36人，調(diào)查他們每天上網(wǎng)的時間，得 到下面的數(shù)據(jù)（單位：小時）： 求該校大學生平均上網(wǎng)時間的置信區(qū)間，置信水平分別為 90%、 95%和 99%。 解： ⑴ 計算樣本均值 x：將上表數(shù)據(jù)復(fù)制到 Excel表中，并整理成一列，點擊最后數(shù)據(jù)下面空格，選擇自動求平均值， 回車，得到 x=， ⑵ 計算樣本方差 s：刪除 Excel 表中的平均值，點擊自動求值 → 其它函數(shù) →STDEV→ 選定計算數(shù)據(jù)列 → 確定 → 確定，得到 s= 也可以利用 Excel進行列表計算：選定整理成一列的第一行數(shù)據(jù)的鄰列的單元格，輸入 “＝()”，回車，即得到各數(shù)據(jù)的離差平方，在最下行求總和，得到： （ xx） i 再對總和除以 n1=35后，求平方根，即為樣本方差的值 。 ⑶ 計算樣本均值的抽樣標準誤差： 已知樣本容量 n=36，為大樣本， 得樣本均值的抽樣標準誤差為 σ s ⑷ 分別按三個置信水平計算總體均值的置信區(qū)間： ① 置信水平為 90%時： 由雙側(cè)正態(tài)分布的置信水平 1－ α=90%，通過 2β－ 1= 布的置信水平 β=，查單側(cè)正態(tài)分布表得 Zα/2=， 計算得此時總體均值的置信區(qū)間為 可知，當置信水平為 90%時，該校大學生平均上網(wǎng)時間的置信區(qū)間為（ ， ）小時； ② 置信水平為 95%時： 由雙側(cè)正態(tài)分布的置信水平 1－ α=95%，得 Zα/2=， 計算得此時總體均值的置信區(qū)間為 177。= 第 22 頁 共 62 頁 可知，當置信水平為 95%時，該校大學生平均上網(wǎng)時間的置信區(qū)間為（ ， ）小時； ③ 置信水平為 99%時： 若雙側(cè)正態(tài)分布的置信水平 1－ α=99%，通過 2β－ 1= 分布的置信水平 β=，查單側(cè)正態(tài)分布表得 Zα/2=， 計算得此時總體均值的置信區(qū)間為 可知，當置信水平為 99%時，該校大學生平均上網(wǎng)時間的置信區(qū)間為（ ， ）小時。 4. 從一個正態(tài)總體中隨機抽取容量為 8 的樣本，各樣本值分別為： 10,8,12,15,6,13,5,11。求總體均值 95%的置信區(qū)間。 解：（ ,）。 民小區(qū)為研究職工上班從家里到單位的距離，抽取了由 16 個人組成的一個隨機樣本，他們到單位的距離（公里）分別是： 10 3 14 8 6 9 12 11 7 5 10 15 9 16 13 2 求職工上班從家里到單位平均距離 95%的置信區(qū)間。 解：（ ,）。 ●6. 在一項家電市場調(diào)查中，隨機抽取了 200個居民戶，調(diào)查他們是否擁有某一品牌的電視機。其中擁有該品牌電視機的家庭占 23%。求總體比率的置信區(qū)間，置信水平分別為 90%和 95%。 解：已知樣本容量 n =200，為大樣本，擁有該品牌電視機的家庭比率 p =23%， 擁有該品牌電視機的家庭比率的抽樣標準誤差為 σ p ⑴ 雙側(cè)置信水平為 90%時，通過 2β－ 1= 換算為單側(cè)正態(tài)分布的置信水平 β=，查單側(cè)正態(tài)分布表得 Zα/2=， 此時的置信區(qū)間為 可知，當置信水平為 90%時，擁有該品牌電視機的家庭總體比率的置信區(qū)間為（ %， %）。 ⑵ 雙側(cè)置信水平為 95%時，得 Zα/2=， 此時的置信區(qū)間為 可知，當置信水平為 95%時，擁有該品牌電視機的家庭總體比率的置信區(qū)間為 ；（ %， %）。 第 23 頁 共 62 頁 ● 500 戶，小區(qū)管理者準備采取一項新的供水設(shè)施，想了解居民是否贊成。采取重復(fù)抽樣方法隨機抽取了 50戶，其中有 32戶贊成， 18戶反對。 （ 1）求總體中贊成該項改革的戶數(shù)比率的置信區(qū)間，置信水平為 95%； （ 2）如 果小區(qū)管理者預(yù)計贊成的比率能達到 80%，應(yīng)抽取多少戶進行調(diào)查？ 解： 已知總體單位數(shù) N=500，重復(fù)抽樣，樣本容量 n =50，為大樣本， 樣本中，贊成的人數(shù)為 n1=32，得到贊成的比率為 p = n132==64% n50 （ 1）贊成比率的抽樣標準誤差為 =% 由雙側(cè)正態(tài)分布的置信水平 1－ α=95%，得 Zα/2=， 計算得此時總體戶數(shù)中贊成該項改革的戶數(shù)比