【正文】 和 45％。這三個(gè)企業(yè)產(chǎn)品的次品率分別為 4％、 5％、 3％。如果從這些產(chǎn)品中隨機(jī)抽出一件，試問：（ 1）抽出次品的概率是多少？（ 2）若發(fā)現(xiàn)抽出的產(chǎn)品是次品，問該產(chǎn)品來(lái)自丙廠的概率是多少？ 解 :令 A A A3分別代表從甲、乙、丙企業(yè)采購(gòu)產(chǎn)品， B表示次品。由題意得： P(A1)＝ ， P(A2)＝ ， P(A3)＝ ； P(B|A1)＝ ， P(B|A2)＝ ， P(B|A3)＝ ；因此，所求概率分別為： （ 1） P(B)＝ )P(B|A3) 第 16 頁(yè) 共 62 頁(yè) ＝ ＋ ＋ ＝ ＝＝ ＋ ＋ 3個(gè)設(shè)有紅綠燈的十字路口。設(shè)每個(gè)路口遇到紅燈的事件是相（ 2） P(A3|B)＝互獨(dú)立的，且紅燈持續(xù) 24秒而綠燈持續(xù) 36秒。試求他途中遇到紅燈的次數(shù)的概率分布及其期望值和方差、標(biāo)準(zhǔn)差。 解 :據(jù)題意，在每個(gè)路口遇到紅燈的概率是 p＝ 24/(24+36)＝ 。 設(shè)途中遇到紅燈的次數(shù)＝ X，因此， X～ B(3， )。其概率分布如下表： 9. 一家人壽保險(xiǎn)公司某險(xiǎn)種的投保人數(shù)有 20220人，據(jù)測(cè)算被保險(xiǎn)人一年中的死亡率為萬(wàn)分之 5。保險(xiǎn)費(fèi)每人 50 元。若一年中死亡，則保險(xiǎn)公司賠付保險(xiǎn)金額 50000 元。試求未來(lái)一年該保險(xiǎn)公司將在該項(xiàng)保險(xiǎn)中（這里不考慮保險(xiǎn)公司的其它費(fèi)用）： （ 1）至少獲利 50萬(wàn)元的概率； （ 2）虧本的概率； （ 3）支付保險(xiǎn)金額的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。 解 :設(shè)被保險(xiǎn)人死亡數(shù)＝ X， X～ B(20220， )。 （ 1）收入＝ 2022050（元）＝ 100萬(wàn)元。要獲利至少 50萬(wàn)元，則賠付保險(xiǎn)金額應(yīng)該不超過(guò) 50萬(wàn)元，等價(jià)于被保險(xiǎn)人死亡數(shù)不超過(guò) 10人。所求概率為： P(X ≤10)＝ 。 （ 2）當(dāng)被保險(xiǎn)人死亡數(shù)超過(guò) 20人時(shí)，保險(xiǎn)公司就要虧本。所求概率為： P(X20)＝ 1－ P(X≤20)＝ 1－ ＝ （ 3）支付保險(xiǎn)金額的均值＝ 50000E(X) ＝ 5000020220（元）＝ 50（萬(wàn)元） 支付保險(xiǎn)金額的標(biāo)準(zhǔn)差＝ 50000σ(X) ＝ 50000(20220)1/2＝ 158074（元） ，試問： （ 1）可否利用泊松分布來(lái)近似計(jì)算？ （ 2）可否利用正態(tài)分布來(lái)近似計(jì)算？ （ 3）假如投保人只有 5000人，可利用哪種分布來(lái)近似計(jì)算？ 解 : （ 1）可以。當(dāng) n很大而 p很小時(shí)，二項(xiàng)分布可以利用泊松分布來(lái)近似計(jì)算。本例中，λ= np=20220=10，即有 X～ P(10)。計(jì)算結(jié)果與二項(xiàng)分布所得結(jié)果幾乎完全一致。 （ 2）也可以。盡管 p很小，但由于 n非常大， np和 np(1p)都大于 5，二項(xiàng)分布也可以利用正態(tài)分布來(lái)近似計(jì)算。 本例中， np=20220=10， np(1p)=20220()=， 即有 X ～ N(10,)。相應(yīng)的概率為： P(X ≤)＝ ， P(X≤)＝ 。 可見誤差比較大（這是由于 P太小，二項(xiàng)分布偏斜太嚴(yán)重）。 【注】由于二項(xiàng)分布是離散型分布，而正態(tài)分布是連續(xù)性分布，所以，用正態(tài)分布來(lái)近似計(jì)算二項(xiàng)分布的概率時(shí)，通常在二項(xiàng)分布的變量值基礎(chǔ)上加減 點(diǎn)，這就是所謂的 “連續(xù)性校正 ”。 （ 3）由于 p＝ ，假如 n=5000，則 np＝ 5，二項(xiàng)分布呈明顯的偏態(tài)，用正態(tài)分 第 17 頁(yè) 共 62 頁(yè) 布來(lái)計(jì)算就會(huì)出現(xiàn)非常大的誤差。此時(shí)宜用泊松分布去近似。 ，且均值為 200小時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差為 30小時(shí)。若規(guī)定壽命低于 150小時(shí)為不合格品。試求該企業(yè)生產(chǎn)的電池的：（ 1）合格率是多少？（ 2）電池壽命在 200左右多大的范圍（取整數(shù)） （ 2） ＝ ＝ 第 4章 抽樣與抽樣分布 ——練習(xí)題 (全免 ) 1. 一個(gè)具有 個(gè)觀察值的隨機(jī)樣本抽自于均值等于 標(biāo)準(zhǔn)差等于 16 的總體。 ⑴ 給出的抽樣分布（重復(fù)抽樣）的均值和標(biāo)準(zhǔn)差 ⑵ 描述的抽樣分布的形狀。你的回答依賴于樣本容量嗎？ ⑶ 計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài) z統(tǒng)計(jì)量對(duì)應(yīng)于 的值。 ⑷ 計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài) z統(tǒng)計(jì)量對(duì)應(yīng)于 的值。 解 : 已知 n=64，為大樣本， μ=20， σ=16， ⑴ 在重復(fù)抽樣情況下，的抽樣分布的均值為 a. 20, 2 b. 近似正態(tài) c. d. 2 . 參考練習(xí) 。 ⑴ 16； ⑵ 23； ⑶ 25； ⑷ .落在 16和 22之間； ⑸14。 解 : a. b. c. d. e. 3. 一個(gè)具有 個(gè)觀察值的隨機(jī)樣本選自于 、 的總體。試求下列概率的近似值： 解 : a. b. c. d. 第 18 頁(yè) 共 62 頁(yè) 4. 一個(gè)具有 個(gè)觀察值的隨機(jī)樣本選自于 和 的總體。 ⑴ 你預(yù)計(jì)的最大值和最小值是什么？ ⑵ 你認(rèn)為至多偏離 多么遠(yuǎn)？ ⑶ 為了回答 b你必須要知道 嗎？請(qǐng)解釋。 解 :a. 101, 99 b. 1 c. 不必 5. 考慮一個(gè)包含 x的值等于 0， 1， 2， … ， 97， 98， 99的總體。假設(shè) x的取值的可能性是相同的。則運(yùn)用計(jì)算機(jī)對(duì)下面的每一個(gè) n值產(chǎn) 生 500個(gè)隨機(jī)樣本，并對(duì)于每一個(gè)樣本計(jì)算。對(duì)于每一個(gè)樣本容量，構(gòu)造的 500個(gè)值的相對(duì)頻率直方圖。當(dāng) n值增加時(shí)在直方圖上會(huì)發(fā)生什么變化？存在什么相似性？這里 和 。 解 :趨向正態(tài) 6. 美國(guó)汽車聯(lián)合會(huì)（ AAA）是一個(gè)擁有 90個(gè)俱樂部的非營(yíng)利聯(lián)盟，它對(duì)其成員提供旅行、 金融、保險(xiǎn)以及與汽車相關(guān)的各項(xiàng)服務(wù)。 1999 年 5 月， AAA 通過(guò)對(duì)會(huì)員調(diào)查得知一個(gè) 4口之家出游中平均每日餐飲和住宿費(fèi)用大約是 213美元（《旅行新聞》 Travel News， 1999年5月 11 日）。假設(shè)這個(gè) 花費(fèi)的標(biāo)準(zhǔn)差是 15美元，并且 AAA所報(bào)道的平均每日消費(fèi)是總體均值。又假設(shè)選取 49個(gè) 4口之家，并對(duì)其在 1999年 6月期間的旅行費(fèi)用進(jìn)行記錄。 ⑴ 描述（樣本家庭平均每日餐飲和住宿的消費(fèi)）的抽樣分布。特別說(shuō)明服從怎樣的分布以及的均值和方差是什么？證明你的回答； ⑵ 對(duì)于樣本家庭來(lái)說(shuō)平均每日消費(fèi)大于 213美元的概率是什么？大于 217美元的概率 呢？在 209美元和 217美元之間的概率呢？ 解： a. 正態(tài)分布 , 213, b. , , 7. 技術(shù)人員對(duì)奶 粉裝袋過(guò)程進(jìn)行了質(zhì)量檢驗(yàn)。每袋的平均重量標(biāo)準(zhǔn)為 克、標(biāo)準(zhǔn)差 為 克。監(jiān)控這一過(guò)程的技術(shù)人者每天隨機(jī)地抽取 36袋，并對(duì)每袋重量進(jìn)行測(cè)量?，F(xiàn)考慮這 36袋奶粉所組成樣本的平均重量。 （ 1）描述的抽樣分布，并給出 和 的值，以及概率分布的形狀； （ 3） 假設(shè)某一天技術(shù)人員觀察到 ，這是否意味著裝袋過(guò)程出 現(xiàn)問題了呢，為什么？ 解： a. 406, , 正態(tài)分布 b. c. 是，因?yàn)樾「怕食霈F(xiàn)了 8. 在本章的統(tǒng)計(jì)實(shí)踐中， 某投資者考慮將 1000美元投資于 種不同的股票。每一種股 票月收益率的均值為 ，標(biāo)準(zhǔn)差 。對(duì)于這五種股票的投資組合，投資者每月的收益率是 。投資者的每月收益率的方差是 它是 ， 投資者所面臨風(fēng)險(xiǎn)的一個(gè)度量。 ⑴ 假如投資者將 1000美元僅投資于這 5種股票的其中 3種，則這個(gè)投資者所面對(duì)的 風(fēng)險(xiǎn)將會(huì)增加還是減少？請(qǐng)解釋； ⑵ 假設(shè)將 1000美元投資在另外 10種收益率與上述的完全一樣的股票，試度量其風(fēng)險(xiǎn)， 并與只投資 5種股票的情形進(jìn)行比較。 解： a. 增加 b. 減少 9. 某制造商為擊劍運(yùn)動(dòng)員生產(chǎn)安全夾克，這些夾克是以劍鋒刺入其中時(shí)所需的最小力量（以 牛頓為單位）來(lái)定級(jí)的。如果生產(chǎn)工藝操作正確，則他生產(chǎn)的夾克級(jí)別應(yīng)平均 840牛頓，標(biāo)準(zhǔn)差 15牛頓。國(guó)際擊劍管理組織（ FIE）希望這些夾克的最低級(jí)別不小于 800 牛頓。為了檢查其生產(chǎn)過(guò)程是否正常，某檢驗(yàn)人員從生產(chǎn)過(guò)程中抽取了 50個(gè)夾克作為一個(gè)隨機(jī)樣本進(jìn)行定級(jí)，并計(jì)算，即該樣本中夾克級(jí)別的均值。她假設(shè)這個(gè)過(guò)程的標(biāo)準(zhǔn)差是固定的，但是擔(dān)心級(jí)別均值可能已經(jīng)發(fā)生變化。 ⑴ 如果該生產(chǎn)過(guò)程仍舊正常，則的樣本分布為何？ ⑵ 假設(shè)這個(gè)檢驗(yàn)人員所抽取樣本的級(jí)別均值為 830牛頓，則如果生產(chǎn)過(guò)程正常的話， 第 19 頁(yè) 共 62 頁(yè) 樣本均值 x≤830牛頓的概率是多少？ ⑶ 在檢驗(yàn)人員假定生產(chǎn)過(guò)程的標(biāo)準(zhǔn)差固定不變時(shí)，你對(duì) b部分有關(guān)當(dāng)前生產(chǎn)過(guò)程的現(xiàn) 狀有何看法（即夾克級(jí)別均值是否仍為 840牛頓）？ ⑷ 現(xiàn)在假設(shè)該生產(chǎn)過(guò)程的均值沒有變化，但是過(guò)程的標(biāo)準(zhǔn)差從 15牛頓增加到了 45牛 頓。在這種情況下 x的抽樣分布是什么？當(dāng) x具有這種分布時(shí)，則 x≤830牛頓的概率是多少？ 解： a. 正態(tài) b. 約等于 0 c. 不正常 d. 正態(tài) , 10. 在任何生產(chǎn)過(guò)程中，產(chǎn)品質(zhì)量的波動(dòng)都是不可避免的。產(chǎn)品質(zhì)量的變化可被分成兩類：由于特殊原因所引起的變化（例如，某一特定的機(jī)器），以及由于共同的原因所引起的變化（例如，產(chǎn)品的設(shè)計(jì)很差）。 一個(gè)去除了質(zhì)量變化的所有特殊原因的生產(chǎn)過(guò)程被稱