線性代數(shù)復(fù)習(xí)資料-資料下載頁(yè)
2025-01-09 10:36本頁(yè)面
【正文】 零向量 X 和數(shù) ? 使 AX＝ ? X，則稱 ? 是矩陣 A 的特征值，向量 X 稱為矩陣 A 的對(duì)應(yīng)于特征值 ? 的特征向量。 2．特征值和特征向量的求解： 求出特征方程 0?? AI? 的根 即為特征值，將特征值 ? 代入對(duì)應(yīng)齊次線性方程組 (? IA)X＝ 0 中求出方程組的所有非零解即為特征向量。 3．重要結(jié)論： （ 1） A 可逆的充要條件是 A 的特征值不等于 0； （ 2） A 與 A 的轉(zhuǎn)置矩陣有 A? 有相同的特征值； （ 3）不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線性無(wú)關(guān)。 六、矩陣的相似 1．定義 對(duì)同階方陣 A、 B，若存在可逆矩陣 P，使BAPP ??1 ，則稱 A 與 B 相似。 2．求 A與對(duì)角矩陣∧相似的方法與步驟（求 P和∧）： 求出所有特征值； 求出所有特征向量； 若所得線性無(wú)關(guān)特征向量個(gè)數(shù)與矩陣階數(shù)相同，則 A可對(duì)角化（否則不能對(duì)角化），將這 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)特征向量組成矩陣即為相似變換的矩陣 P，依次將對(duì)應(yīng)特征值構(gòu)成對(duì)角陣即為∧。 3．求通過(guò)正交變換 Q與實(shí)對(duì)稱矩陣 A相似的對(duì)角陣： 方法與步驟和一般矩陣相同，只是第三歩要將所得特征向量正交化且單位化。 七、二次型 1．定義 n元二次多項(xiàng)式 ? ? ???nji jiijn xxaxxxf 1,21 , ?稱為二次型，若 ? ?jiaij ?? 0 ，則稱 為二交型的標(biāo)準(zhǔn)型。 2．二次型標(biāo)準(zhǔn)化： 配方法和正交變換法。正交變換法步驟與上面對(duì)角化完全相同，這是由于對(duì)正交矩陣 Q， ???1 ，即正交變換既是相似變換又是合同變換。 3．二次型或?qū)ΨQ矩陣的正定性： （ 1）定義（略）； （ 2）正定的充要條件： ① A 為正定的充要條件是 A 的所有特征值都大于 0； ② A 為正定的充要條件是 A 的所有順序主子式都大于 0
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