第二部分專(zhuān)題二第四講沖刺直擊高考-資料下載頁(yè)
2025-01-09 08:33本頁(yè)面
【正文】 F分別落在線(xiàn)段 BC， AD上．已知 AB＝ 20米， AD＝ 10 3米，記 ∠ BHE＝ θ. (1)試將污水凈化管道的長(zhǎng)度 L表示為 θ的函數(shù)，并寫(xiě)出定義域； (2)若 sin θ＋ cos θ＝ 2，求此時(shí)管道的長(zhǎng)度 L； (3)當(dāng) θ取何值時(shí)，污水凈化效果最好？并求出此時(shí)管道的長(zhǎng)度． 解： (1)EH＝ 10cos θ， FH＝ 10sin θ， EF＝ EH2＋ FH2＝ 10sin θcos θ?? ??0θπ2 . 由于 BE＝ 10tan θ≤ 10 3， AF＝ 10tan θ≤ 10 3， 所以 33 ≤ tan θ≤ 3，所以 θ∈ ?? ??π6， π3 . 所以 L＝ 10cos θ＋ 10sin θ＋ 10sin θcos θ， θ∈ ?? ??π6， π3 . (2)當(dāng) sin θ＋ cos θ＝ 2時(shí)，則 sin θcos θ＝ 12， L＝ 10?sin θ＋ cos θ＋ 1?sin θcos θ ＝ 20( 2＋ 1)(米 )． (3)L＝ 10?sin θ＋ cos θ＋ 1?sin θcos θ ，設(shè) sin θ＋ cos θ＝ t， 則 sin θcos θ＝ t2－ 12 ，所以 L＝20t－ 1. ∵ θ∈ ?? ??π6， π3 ， ∴ t＝ sin θ＋ cos θ＝ 2sin?? ??θ＋ π4 ∈ ??? ???1＋ 32 ， 2 . 由于 L＝ 20t－ 1在 ??? ???1＋ 32 ， 2 上單調(diào)遞減 ， 所以當(dāng) t＝ 3＋ 12 即 θ＝ π6或 θ＝ π3時(shí) ， L取得最大值 20( 3＋ 1)米． 答：當(dāng) θ＝ π6或 θ＝ π3時(shí)，污水凈化效果最好，此時(shí)管道的長(zhǎng)度為 20( 3＋ 1)米．
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