【正文】 是由橢球面 1222222 ??? czbyax 所圍成的區(qū)域。 解 : 令 ??? cossinax ? ， ??? sinsinby ? ， ??coscz? ，則 J ＝),( ),( ????? zyx＝?? sin2abc ，故有所求＝ ??? 10 22020 s in ?????? ?? dddabc ＝ abc?54 ★★★ 226 yxz ??? 及 22 yxz ?? 所圍立體的體 積。 解： 利用柱坐標(biāo)計(jì)算，積分區(qū)域 ? 的上半曲面是拋物面，下方是開口向上的錐面 ，由2222 6 yxzyx ????? ? 26 rzr ?? 又兩曲面的交線為??? ?? ???22226yxz yxz消 z 得2222 6 yxyx ???? 即 42 ??yx )2( ?z ，故 ? 在 xOy 面上的投影區(qū)域?yàn)閳A域 xyD ： 422 ??yx 于是所求 V ＝ ????dv ＝ ??? ?262020 rr dzrdrd? ? ＝ ? ?? ??20 262 drrrr? ＝ 203423432 ?????? ?? rrr?＝ ?332 ★★★ 222 4aazyx ??? 將球 azzyx 4222 ??? 分成兩部分，求這兩部分的體積比。 解： 球面方程 ? ? 2222 42 aazyx ???? ，球體體積 ?V 3332a? ，題設(shè)曲面與球面的交線在 xOy 面上的投影區(qū)域?yàn)?322 3ayx ?? ，球面的下部與曲面 222 4aazyx ??? 之間的體積為 1V ＝???1V dxdydz ＝ ???1V dzrdrd? ＝ ??? ? ?? ara raaa dzrdrd 2 224 423020 ? ? ＝ ?? ???????? ????a r drraaarad 30 22220 424? ? ＝ 3637a? 球面的上部與曲面之間的體積 2V ＝ V 1V = 3627a? 所以 1V ： 2V ＝ 27:37 ★★★ 222 zyx ???? 的立體 ? 的 質(zhì)量 M ，這里 ? 是由球面 2222 Rzyx ??? 與錐面 22 yxz ?? 所圍成的區(qū)域（錐面的內(nèi)部） 解： 由題意知 M ＝ ? ???? ??V dvzyx222，用球面坐標(biāo)表示積分區(qū)域，有 ? ： R???0 , 40 ???? , ?? 20 ?? ，于是 M ＝ ??? R ddd 0 44020 s in ????? ?? ＝ ?? ??????40 0520 5s in?? ???? dd R＝ ? ? R0540 5c os2 ????????? ???? ＝)221(52 5 ?R? ★★★ ， 半徑為 R 的球體，在其上任意一點(diǎn)的密度的大小與該點(diǎn)到球心的距離成正比，求該球體的質(zhì)量。 解： 密度函數(shù) 222),( zyxkzyx ???? ， k 是比例系數(shù)， 質(zhì)量元素 dM ＝ dvzyxk 222 ?? ，所求的質(zhì)量 ???? ??? dvzyxkM222 ，由于 ? 是球體，故宜采用球面坐標(biāo)， ??? ?? R drrrddkM0 2020 s i n ??? ??＝ ? ? Rrk040 4c os2 ????????? ??? = 4Rk? ★★★ 222 yxz ?? ， 1?z 所圍成的立體的重心（設(shè)密度 1?? ）。 解： 這是一個(gè)錐體，由對(duì)稱性易知， 0??yx ，利用柱坐標(biāo)計(jì)算，投影區(qū)域 xyD : 122 ??yx 及122 ??? zyx ，即 1??zr ，于是 M ＝ ???? ?dv1＝ ??? 11020 r rdzdrd? ?＝ ?? ?1020 )1( drrrd? ?＝ ? ?????? ?? ?20103232 drr＝ 3? 靜矩 xyM ＝ ???? zdv?＝ ??? 11020 r zdzrdrd? ?＝ ? ??? ?10 32021 drrrd? ? ＝ 104242 ?????? ?rr?＝ 4? ∴ z ＝ MMxy ＝ 43 ，故重心坐標(biāo)為 ?????? 43,0,0 ★★★ Rzzyx 2222 ??? 內(nèi)，各點(diǎn)處的密度的大小等于該點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方，求該球體的重心。 解： 由于此球體關(guān)于 xOz ， yOz 坐標(biāo)面對(duì)稱，所以 0??yx ，下面求 z 。 ? 為球體，用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分，將球坐標(biāo)代入球面方程，得 ?cos20 Rr ?? ，又易見 ?? 20 ?? ， 20 ???? 所以??? ?? ??? ??? c os20 222020 s i nR drrrddM ＝ ? ?? 20 c os20520 s in51 ? ?? ??? drd R ＝ ??? 20 5205 c osc os532 ?? ??? ddR ＝ ? ??????? ? ? ??2020656c o s532 dR＝ 51532R? 靜矩 xyM ＝ ???? zdv?＝ ??? ????? ???? c o s20 222020 s i nc osR drrrrdd ＝ ? ?? ?20 6c os261c oss i n2 ? ????? dR= ? ??? 20 76 c osc os364 ? ???R ＝ ? ? 20868co s364?????????? R ＝ 38 6R? ∴ z ＝ MMxy ＝ 45R ， 故 該球體的 重心坐標(biāo)為 ?????? 45,0,0 R ★★★ （密度 ? 為常量）占有的閉區(qū)域 ? 由曲面 22 yxz ?? 和平面 0?z ， ax? ，ay? 所圍成， （ 1）求物體的重心； （ 2） 求物體關(guān)于 z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 。 解： （ 1）由 ? 為常量和物體關(guān)于 xOz ， yOz 坐標(biāo)面對(duì)稱知， 0??yx ， M ＝ ??? ? 220004 yxaa dzdydx?＝ ? ??? ?aa dyyxdx0 2204 ?＝ ? ???????? ?a a dxyyx0 03234?＝ ? ???????? ?a dxaax0 32 34? ＝ axaax 033 334 ???????? ?? ＝ 438a? ＝ 0M? z ＝ ???? zdvM ?1 ＝ ??? ? 2200004 yxaa zdzdydxM ＝ ? ??? ??aa dyyyxxdxM0 422400 22 ＝ ? ???????? ??a dxaxaaxM052340 5322 ＝ 60 5192512 aM ?????? ?? ＝ 2157a 所 以 物 體 的 重 心 坐 標(biāo) 為?????? 2157,0,0 a （ 2） zI ＝ ???? ? dvyx )(22?＝ ? ???? ? ?220 22022 yxaa dzyxdydx?＝ ? ??? ??aa dyyyxxdx 0 42240 24 ? ＝ 645284 a?? ＝ 645112 a? ★★★ R 的均勻球體（ 1?? ）， 球外一點(diǎn) P 放置一單位質(zhì)點(diǎn)，試求球體對(duì)該 質(zhì)點(diǎn)的引力。 解 :設(shè)球心為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，使 P 點(diǎn)在 z 軸上，坐標(biāo)為 ),0,0( h )( Rh? ，由對(duì)稱性知0?? yx FF ， zF ＝ ??? ??? ?V hzyxdvhzK 2/322 ])([ )(? = ?????? ddr drhrhr hrKV s i n]c os2[ )c os( 22/322 ??? ???? = ????? ??? ?????? 0 2/3220 220 s i n]c os2[ )c os( dhrhr hrdrrdK R = ?? ?????? ?? ?????? ??????0 2/322222/1220 2 s i n]c os2[]c os2[ 1 dhrhr rhhrhrdrrhKR = ? ?? ?????? ?? ????? R drhrhr rhhrhrrhK0 02/122222/1222 ]c os2[ 2]c os2[22????? = ?? R drrhK0 22 82??= 32 34 RhK ????=2hKM? 故所求引力 F = khKM??2，其中 M 為球的質(zhì)量， K 為引力常數(shù)，上式負(fù)號(hào)表示引力的方向與軸的正方向相反。 總習(xí)題九 ★★ ： （ 1） ??Ddxdyyx22 ，其中 D 是由 2?xy ， 21 xy ?? 及 2?x 所圍成的區(qū)域。 （ 2） ??D dxdyyx226，其中 D 是由 xy? ， xy ?? 及 22 xy ?? 所圍成的在 x 軸上方的區(qū)域。 （ 3） ??Ddxy ?3 ，其中 D ： 122 ??yx ， xy 230 ?? （ 4） ???D xad2?（ 0?a ），其中 D 是由圓心在點(diǎn) ),( aa ，半徑為 a 且與 坐標(biāo)軸相切的圓周的較短的一段弧和坐標(biāo)軸所圍成的區(qū)域。 解： （ 1）視 D 為 X 型區(qū)域， 21 ??x ， 212 xyx ??? ???Ddxdyyx22 ＝ ?? ? 212 2221 xx dyyxdx ＝ ? ???????? ????21 32 21 11 dxxx ＝ 42arctan87 ??? （ 2）視 D 為 X 型區(qū)域， ?積分區(qū)域 D 關(guān)于 y 軸對(duì)稱，且被積函數(shù) 226),( yxyxf ? 滿足 ),(),( yxfyxf ?? ，故由對(duì)稱性知 ??D dxdyyx226＝ ??12262D dxdyyx＝ ?? ? 22 2210 62 xx dyyxdx ＝ ? ?? ?? ??10 5322 2222 dxxxx＝ 3151066 （ 3） 畫出積分區(qū)域 D 的草圖， 從 D 的形狀來看，似乎應(yīng)先對(duì) x 積分，但從被積函數(shù)來看， 這樣會(huì)對(duì)第二次積分帶來困難，故選擇先對(duì) y 積分，易知題設(shè)兩曲線的交點(diǎn)為 ???????? 23,21 ??D dxy ?3 ＝ ??13Ddxy ? +??23Ddxy ? ＝ ?? x dyyxdx 230 3210 + ?? ? 210 3121 x dyyxdx ＝ ?? 2104941 xdx + ? ?12122 )1(41 dxxx＝ 2102329x + ? ?????? ??12132141 dxxxx ＝ 1289 +121424ln41 ???????? ?? xxx ＝ 2ln41 25615 （ 4） 解 :圓的方程為 222 )()( aayax ???? ，區(qū)域 D 的邊界所涉及的圓弧為 22 xaxay ??? ，所以 ???D xad2?＝ ?? ??? 2200 2 xaxaa dyxadx＝ ? ? ??a dxxa xaxa0 222 ＝ ? ?????? ??a dxxxaa0 2 ＝ axxaa0233222 ???????? ??? ＝ 233822 a?????? ? 注：本題的積分域涉及圓，雖可以考慮使用極 坐標(biāo)系，但這段圓弧的極坐標(biāo)表達(dá)式并不簡單，同時(shí)被積函數(shù)化為極坐標(biāo)后也會(huì)增加難度，所以使用直角坐標(biāo)系較為簡單。 ★★ ： （ 1） ?? x dyyxfdx s in020 ),(? （ 2） ???ax xaxa dyyxfdx 2220 2 ),(（ 0?a ） 解： （ 1） 積分區(qū)域 D ： ?20 ??x ， xy sin0 ?? D ＝ 21 DD? 其中 1D ： yxy a r c s ina r c s in ??? ?， 10 ??y 2D ： yxy a r c s in2a r c s in ???? ?? ， 01 ??? y 所以 I ＝ ?? ??? yy dxyxfdy a r c s in2 a r c s in01 ),(??+ ?? ? yy dxyxfdy a r c s ina r c s in10 ),(? （ 2）積分區(qū)域 D ： ax 20 ?? ， axyxax 22 2 ??? 將 D 分成 1D 、 2D 及 3D 三部分， 1D ：2222 yaaxay ???? ， ay??0 2D ： axay 222 ?? ， aya 2?? 3D ： axyaa 222 ???? ， ay??0 故 I ＝ ?? ?? 22220 ),(yaaaya dxyxfdy + ?? aayaa dxyxfdy222 2 ),( + ?? ??a yaaa dxyxfdy 20 22 ),( ★★ ： （ 1） ?? xx dyyydx