【正文】 ?ba, 的平均值??? ba dxxfaby )(1 ，均方根值 ? ???? ba dxxfabf 2)(1 。 33 第七章 微分方程 一、 微分方程及有關(guān)概念 1．微分方程 含有未知函數(shù)一階或高階導數(shù)的等式稱為微分方程。其中未知函數(shù) 導數(shù) 的最高階數(shù)稱為微分方程的階。 n 階微分方程的一般形式為 ? ? 0, )( ?? nyyyxF ? (*) 2．微分方程的解 一個函數(shù) ? ?xfy? ，如果代入（ *）成為恒等式 ? ? ? ? ? ?? ? 0, )( ?? xfxfxfxF n? 則 ? ?xfy? 稱為（ *）的解。如果（ *）的解 ? ?xfy? 不含有任意常數(shù)，則稱它為（ *）的一個特解。如果 n 階（ *）的解 ? ?nCCxfy , 1 ?? 含有 n 個不可減少的任意常數(shù)，則稱 ? ?nCCxfy , 1 ?? 為（ *）的通解。通解一定是微分方程的解，但 不一定是全部解 ． ． ． ． ． ． ． 。 3．微分方程的核心問題： （ 1）求微分方程的通解，稱為通解問題；（ 2）求微分方程滿足一定條件（稱為初值條件）的解，稱為初值問題。 單獨一個微分方程提出通解問題；初值問題的提法是 ? ?????????????????????1)1(10)(0000,nxxnxxxxnyyyyyyyyyxF?? （ **） (后 n 個等式是初值條件）。 求微分方程的解（通解或特解）稱為解微分方程。 1． 初值問題的解法 （ 1） 求出微分方程的通解 ? ?nCCxfy , 1 ?? ；（ 2）用 n 個初值條件確定 n 個任意常數(shù)的值，即解關(guān)于 nCC ,1? 的方程組 ? ?? ?? ????????????110)1(110010,,,nnnnnyCCxfyCCxfyCCxf???? 把這些 nCC ,1? 的值代回 ? ?nCCxfy , 1 ?? 即得滿足初值條件的解（這步是代數(shù)問題）。 34 可見，不管是解通解問題還是解特解問題，都要求微分方程的通解。 記?。阂话愕卣f，解微分方程是世界難題。只有幾種特殊類型的微分方程已有簡單可行的解法。并且，不同類型的微分方程有自己獨有的解法。我們的任務是：（ 1）辨認各種方程的類型；（ 2）熟練各種類型方程獨有的解法。 二、辨認類型，熟練解法 1．已分離變量的微分方程 ? ?xfy n ?)( 稱為已分離變量的微分方程。 解法： (注意：不定積分的結(jié)果有任 意常數(shù) ) ? ?dxyydxyydxxfykkn???????????)()1()1( 2．可分離變量的微分方程 如果一階微分方程 0, ??????? dxdyyxF （ *1） 能通過恒等變形化為 ? ? ? ?dxxfdyyg ? （ *2） 則稱為可分離變量的微分方程。 解法：（ 1）分離變量（從（ *1）到（ *2）稱為分離變量）；（ 2）隱式通解 ? ? ? ? Cdxxfdyyg ?? ?? 其中積分的任意常數(shù)已單獨寫出。 記住：分離變量解微分方程的方法是微分方 程解法的總根。 2． 齊次方程 如果方程能恒等地變?yōu)? ??????? xydxdy ? (*3) 則稱為齊次方程。 解法：作函數(shù)變換 xyu? ，則 dxduxudxdy ?? 代入（ *3）得方程 ? ? uudxdux ??? 35 分離變量再兩邊積分得 ? ? Cxu ??? ln 其中 ? ? ? ????? uuduu ?，常數(shù)統(tǒng)一寫在右邊。代回 xyu? 得隱式通解 Cxxy ????????? ln 3． 一階線性微分方程 ? ? ? ?xQyxPdxdy ?? 稱為一階線性微分方程。 解法：通解公式 ? ? ? ? ? ? ?????? ???? ?? CdxexQey dxxPdxxP 其中的不定積分不再寫任意常數(shù)。 注意：有的方程把 y 看成 x 的函數(shù)時不是線性方程，但把 x 看成 y 的函數(shù)時就成了線性方程。 6．貝努利方程 ? ? ? ? ? ?1,0, ??? nyxQyxPdxdy n 稱為貝努利方程。 解法：（ 1）變形 ? ? ? ?xQyxPdxdyy nn ?? ?? 1 （ 2）作變換 nyu ?? 1 ， ? ? dxdyyndxdu n??? 1 ，變?yōu)榫€性方程 ? ? ? ? ? ? ? ?xQnuxPndxdu ???? 11 則 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????? ????? ? ??? CdxexQneu dxxPndxxPn 11 1 即 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????? ????? ? ???? CdxexQney dxxPndxxPnn 111 1 7．不含 y 的二階方程 ? ?yxfy ???? , 36 解法：（ 1）作變換 yp ?? ，dxdpdxdydxdy ??????????，變?yōu)橐浑A方程 ? ?pxfdxdp ,? （ 2）用一階方程的解法解得 ? ? 0, 1 ?CpxF （ 3）再用一階方程的解法解 ? ? 0, 1 ?? CyxF 8．不含 x 的二階方程 ? ?yyfy ???? , 解法：（ 1）作變換 yp ?? ，用 y 作新的自變量，dydppdxdydydpdxdpdxdydxdy ????????????，變?yōu)橐浑A方程 ? ?pyfdydpp ,? （ 2）用一階方程的解法解得 ? ? 0, 1 ?CpyF （ 3）再用一階方程的解法解 ? ? 0, 1 ?? CyyF 10．二階常系數(shù)線性方程 0?????? qyypy 解法：（ 1）求出特征方程 02 ??? qprr 的兩個根 21,rr ；（ 2）根據(jù)下表確定通解 21,rr 的情況 通解 21 rr? 都是實根 xrxr eCeCy 21 21 ?? 21 rr? 是實根 ? ? xrexCCy 121 ?? 37 ?? ir ??1 是復根 ? ?xCxCey x ??? s inc o s 21 ?? 常系數(shù)線性方程有往高階的推廣。 11．常系數(shù)非齊次方程 ? ?xPeqyypy mx??????? （ *4） 其中 ??xPm 是 m 次多項式。 解法：（ 1）確定解的形式： ? ?xQxy mk? ，其中 ??xQm 是 m 次多項式， ? 是特征多項式 02 ??? qprr 的 k 重根， ? ? 210 ，不是根??k ；（ 2）待定系數(shù)地設 ? ? mmm xAxAAxQ ???? ?10 把 ? ?xQxy mk? 代入（ *4）并比較兩邊 x 同次冪的系數(shù)得關(guān)于 mAAA , 10 ? 方程組，解出 mAAA , 10 ? 就得（ *4）的一個解 ? ?xQxy mk?* ；（ 3）求出 0?????? qyypy 的通解 ? ?21, CCxY ；（ 4）（ *4）的通解為 ? ? ? ?xQxCCxYy mk?? 21 , 12．常系數(shù)非齊次方程 ? ? xxPeqyypy mx ?? c o s?????? （ *5） ? ? xxPieqyypy mx ?? s in?????? （ *6） 解法：（ 1）利用歐拉公式，（ *5）和（ *6）的右邊相加得（ *4）型的方程 ? ? ? ?xPeqyypy mxi?? ??????? （ *7） （ 2）用 11 法解之得（ *7）的復通解 ? ? ? ?2121 , CCxiGCCxFy ?? 其中 ? ?21, CCxF 和 ? ?21, CCxG 都是實函數(shù)；（ 3） ? ?21 , CCxFy ? 是（ *5）的通解，? ?21, CCxGy ? 是 ? ? xxPeqyypy mx ?? s in?????? 的通解。 13．歐拉方程 ? ?xfypyxpyxpyx nnnnnn ?????? ??? 1)1(11)( ? 38 解法：作變換 xt ln? 。 三、線性微分方程解的結(jié)構(gòu) 1．線性微分方程解的結(jié)構(gòu) 設 ? ? ? ?xyxy 21 , 都是齊次方程 ? ? ? ? 0?????? yxqyxpy （ *8） 的 解 ， 則 ? ? ? ?xyCxyCy 2211 ?? 也是（ *8 ） 的 解 ； 如 果 ????xyxy21不 是 常 數(shù) ， 則? ? ? ?xyCxyCy 2211 ?? 是（ *8）的通解。 如果 ? ? ? ?xyCxyCy 2211 ?? 是（ *8）的通解并且 ??xy* 是 ? ? ? ? ? ?xfyxqyxpy ?????? （ *9） 的 隨便一個特解，則 ? ? ? ? ? ?xyxyCxyCy *2211 ??? 是（ *9）的通解。 2．疊加原理 （ 1） 如果 ? ?xyy i? 是 ? ? ? ? ? ?xfyxqyxpy i?????? 的解， 2,1?i ，則 ? ? ? ?xyxyy 21 ?? 是 ? ? ? ? ? ? ? ?xfxfyxqyxpy 21 ??????? 的解。把一個復雜的方程化為兩個簡單的方程。 （ 2） 如果 ? ? ? ?xiyxyy 21 ?? 是 ? ? ? ? ? ? ? ?xifxfyxqyxpy 21 ??????? 的解，則 ? ?xyy j? 是 ? ? ? ? ? ?xfyxqyxpy i?????? 的解， j=1,2。把兩個不會解的方程化為一個 會解 的方程。 四、 常數(shù)變異 法 設已知齊次方程 （ *8） 的一個不恒為 0 的解 )(1xy 。令 )()(1 xuxyy ? 以求非 齊次方程（ *9）的通解。 2 、 設 已 知 齊 次 方 程 （ *8 ） 的 兩 個 線 性 無 關(guān) 解 )(1xy 和 )(2 xy 。令 39 )()()()( 2211* xuxyxuxyy ?? ，解 ??? ?????????? )()()( 0)()(22112211 xfxyuxyu xyuxyu 以求非齊次方程（ *9）的 特 解 )()()()( 2211* xuxyxuxyy ?? 。 五、 相關(guān)題目 1．根據(jù)題目的內(nèi)容列出微分方程 (和初始值條件 )； 2．求二中各種類型微分方程的通解； 3．求二中各種類型微分方程的初值問題的解； 4．用三中的疊加原理把方程化為幾個簡單方 程，再求總方程的一個特解； 5．用三中線性微分方程解的結(jié)構(gòu)組成（ *9）型方程的通解。 6．利用常數(shù)變異法求方程的特解。 結(jié)束語 拿出高考的干勁， 100 分沒問題。 祝你考得 100 分！