【正文】 ? ? ? ? ?0X?? ? ?或? ?00 x x x x?? ? ? ?或? ?f x M?定義 3 當(dāng) 時(shí) , 有 ? ?? ?? ? ? ?01 l im 0 0 0xxxf x M X????? ? ? ? ? ? ? ? ?或? ?00 x x x X?? ? ? ?或? ?f x M? (2) 當(dāng) 時(shí) , 有 ? ? ? ?0,l im 0 0 0xxxf x M ????? ? ? ? ? ? ? ? ?或 X? ?00 x x x X?? ? ? ?或? ?f x M?? 例 1．證明： 11l im1x x???? (二 )漸近線 如果 ,則直線 是函數(shù) 的圖形的鉛直漸 近線。 ? ?0l imxxfx??? 0xx?? ?y f x?(三 )注意 無(wú)窮大量不是一個(gè)很大的數(shù) ,它表 示變量的一種變化趨勢(shì)。 注意無(wú)窮大量和無(wú)界的區(qū)別 ,在某 一區(qū)間里的無(wú)界量 ,不一定是自變量 在該區(qū)間變化時(shí)的無(wú)窮大量。 例 2．在區(qū)間 上 ,變量 是否有界 ,當(dāng) 時(shí) ,這函數(shù)是否為無(wú)窮大。 ( 0 ,1]211sinxx0x ??（四）無(wú)窮大與無(wú)窮小之間的關(guān)系 定理 2：在自變量的同一變化過(guò)程中，如 果 為無(wú)窮大，則 為無(wú)窮小， 反之，如果 為無(wú)窮小，且 ， 則 為無(wú)窮大。 ? ?fx? ?1fx? ?fx ? ? 0fx ?? ?1fx167。 15 極限運(yùn)算法則 一、無(wú)窮小的性質(zhì)定理 (一 )定理 1： 有限個(gè)無(wú)窮小的和也是無(wú)窮小 (二 )定理 2： 有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小 推論 1： 常數(shù)和無(wú)窮小的乘積仍是無(wú)窮小。 推論 2： 有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小。 二、函數(shù)極限的和、差、積、商的運(yùn)算法則 (一 )定理 3：如果 那么 ? ? ? ?l im , l im ,f x A g x B??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 l im l im l imf x g x f x g x A B? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 l im l im l imf x g x f x g x A B??????? ?? ?? ?? ?? ?l i m3 0 l i ml i mfxfx Ag x g x B? ? ?若 又 有 B 則推論 1：如果 存在，而 c為常 數(shù)，則 即常數(shù)因子 可以提到極限記號(hào)外面。 推論 2：如果 存在，而 n是 正整數(shù)，則 (二 )定理 4：如果 ? ?li m fx? ? ? ?l im l imc f x c f x?????? ?l i m fx? ? ? ?l im l im nnf x f x??????? ??? ? ? ? ? ?l im =x x x a? ? ?? 而? ?l im = ,x b a b? ?那 么三、數(shù)列極限四則運(yùn)算法則 定理 5：設(shè)數(shù)列 如果 ,那么 。 ? ? ? ? ,nnxy和l im l imnnnnx A y B? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?1 l i m2 l i mnnnnnnx y A Bx y A B????? ? ??? ? ? ?3 0 1 , 2 , 0ny n B? ? ?當(dāng) 且 時(shí) ，l im nnnx AyB??? 例 1．求極限 ? ?1l im 2 1xx?? 例 2．求 3221l im53xxxx????四、利用法則求極限的方法及注 意的問(wèn)題 (一 )設(shè)多項(xiàng)式 為有理整函數(shù) ,則 ? ? 101 nn nf x a x a x a?? ? ? ?? ? ? ?00l imxx f x f x? ? (二 )有理分式函數(shù) 極限 其中 皆為有理整函數(shù) 若 ,則 若 ,則不能應(yīng)用商的運(yùn) 算法則 ,此時(shí)應(yīng)考慮將分子、分母的零因 式約掉 ,或根據(jù)無(wú)窮小和無(wú)窮大的關(guān)系 . ? ?? ?0l imxxPxQx?? ? ? ?,P x Q x? ?0l im 0xxQx?? ? ?? ?? ?? ?000l imxxP x P xQ x Q x??? ?00l im 0xx Qx? ? 例 3．求 233l im9xxx??? 例 4．求 2123l im54xxxx???? (三 )有理分式函數(shù) 的極限 設(shè) 其中 , 都是非負(fù)整數(shù) 則 ? ?? ?l imxPxQx??? ? 101mm mP x a x a x a?? ? ? ?? ? 101 nn nQ x b x b x b?? ? ? ?0000ab?? mn和? ?? ?00101101l i m l i m 0mmmnnxxnamnbPx a x a x amnQ x b x b x bmn??? ? ? ?????? ? ? ?? ? ??? ? ???????當(dāng)當(dāng)當(dāng)例 5．求 32323 4 2l im7 5 3xxxxx??????例 6．求 2323 2 1l im25xxxxx?????? 例 7．求 32225l im3 2 1xxxxx??????(四 )根據(jù)無(wú)窮小的性質(zhì)求極限 例 8．求 s i nl i mxxx?? 例 9．已知 其中 是常數(shù)， 求 。 2l im 01xxa x bx????? ? ??????,abab與五、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則 定理 6:設(shè)函數(shù) 是由函數(shù) 與函數(shù) 復(fù)合而成 , 在點(diǎn) 的某去心鄰域內(nèi)有定義 ,若 且存在 有 則 。 ? ?y f g x? ????? ?y f u?? ?u g x? ? ?f g x????0x? ? ? ?000l im l imx x u ug x u f u A?? ??? ?00 0 00,x u x????當(dāng) ? ? 0g x u?? ? ? ?00l im l imx x u uf g x f u A???????? 例 10．求 ? ?? ?l im 1 2 1 2 1nnn??? ? ? ? ? ? ? ?推廣 (在上面定理中把 換成以下幾種情況定理仍成立） ? ? ? ?000l im , l imx x u ux u f u A??? ??? ? ? ?01 . l im l imx x ux f u A?? ? ?? ? ?若? ? ? ?0l im l imx x uf x f u A?? ? ???????則 有? ? ? ?2 . l im l imxu x f u A?? ? ? ?? ? ?若? ? ? ?l im l imxuf x f u A?? ? ? ???????則 有? ? ? ?3 . l im l imx u ax a f u A?? ? ???若? ? ? ?l im l imx u af x f u A?? ? ???????則 有167。 16 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 一、極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則 （一）準(zhǔn)則 Ⅰ ：如果數(shù)列 滿足下列條件： (1)從某項(xiàng)起 ,即 那么數(shù)列 的極限存在且 ? ? ? ? ? ?,n n nx y z及? ?2 l im l imnnnny a z a? ? ? ???? ?nx l imnn xa?? ?00,n N n n? ? ?當(dāng) 時(shí) ，n n ny x z??有 例 1．求 2 2 212l im12nnn n n n n n n????? ? ???? ? ? ? ? ???例 2．求 !l i mnnnn??準(zhǔn)則 ：如果 那么 存在 ,且等于 A 。 準(zhǔn)則 Ⅰ 和準(zhǔn)則 Ⅱ 稱為夾逼準(zhǔn)則 ? ? ? ? ? ?001, x U x r x M??當(dāng) 或 時(shí) ，? ? ? ? ? ?g x f x h x??? ?? ?? ? ? ?? ?002 l im l imxxxxxxg x A h x A????????? ?? ?0l imxxxfx????Ⅰ 例 3．證明 0l im c os 1xx??(二 )準(zhǔn)則 單調(diào)數(shù)列 如果數(shù)列 滿足條件 就稱數(shù)列 是單調(diào)增加的 ,如果數(shù)列 滿足 條件 就稱 數(shù)列 是單調(diào)減少的，單調(diào)增加和單 調(diào)減少的數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列。 ? ?nx1 2 3 1nnx x x x x ?? ? ? ? ? ?? ?nx ? ?nx1 2 3 1nnx x x x x ?? ? ? ? ? ?? ?nxⅡ準(zhǔn)則 Ⅱ ： 單調(diào)有界數(shù)列必有極限，它包 括兩個(gè)方面： ①單調(diào)增加有上界的數(shù)列有極限。 ②單調(diào)減少有下界的數(shù)列有極限 例 4．設(shè) 證明數(shù)列 有極限 ,并求出 ? ?1111 1 2