【正文】 ?即確定函數(shù)的兩大要素： ①定義域 ②對應(yīng)法則 如果兩個函數(shù)的定義域相同 ,對應(yīng)法則也相同 .那么這兩個函數(shù)是相同的 。 (Ａ ) (Ｂ ) (Ｃ ) (Ｄ ) ? ?1fx ?? ? ? ?0 , 0aa ? ? ?fx? ?1 , 1a ? ? ?1 , 1a??? ?1,aa? ? ?,1aa ?例３．設(shè) 的定義域為 , 求 的定義域。 x xx ? ?x? ?yx?（ 4）分段函數(shù) 在自變量的不同變化范圍中 ,對 應(yīng)法則用不同式子來表示的函數(shù) 稱為分段函數(shù)。 如果存在正數(shù) M,使得 , 對任一 都成立 ,則稱函數(shù) 在 X上有界 ,如果這樣的 M 不存在 ,就 稱 在 X上無界。 ? ?fx I（三）函數(shù)的奇偶性 定義：設(shè)函數(shù) 的定義域 D 關(guān) 于原點對稱，如果對于任意 恒成立，則稱 為偶函數(shù)。 ? ? ? ?f x x x?? 例 7． 設(shè)對任何 ，存在 ,使 ,證明 是周期函數(shù) 。 例 9．設(shè) 求 。 ? ?x y y D??? ? ?y x x D???f1f ? ? ?fD? ?y f x?? ?1y f x?? yx?復(fù)合函數(shù) （ 1）定義：設(shè)函數(shù) 的定義域為 函數(shù) 的定義域為 且其值域 則由下式確定的函數(shù) 稱為由函數(shù) 構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，它的定義域為 ，變量 u稱為中間變量。 例 10．寫出 的復(fù)合過程。 對 ,總 正整數(shù) N,當(dāng) 時 ,就有 成立 ,則 的極限 是 。 (2)所取的 不同 ,找到的正整數(shù) N也 不相同 ,N隨著 的給定而選定 ,但即 使是同一 ,N也可以是不同的。 ? ?? ?211nnxn???? ?nx例 3．設(shè) ，證明等比數(shù)列 的極限是零。 ? ?nxnxnxM? ， ? ?nx? ?nx定理 2（收斂數(shù)列的有界性） 如果數(shù)列 收斂，那么數(shù)列 一定有界。 ? ?l im 0 0nnx a a a??? ? ?且 或0,N n N??當(dāng)? ?0 , 0nnxx?? 或推論：如果數(shù)列 從某項 起有 ， 那么 。 13 函數(shù)的極限 一、函數(shù)極限的定義 (一 )定義 在自變量的某個變化過程中 ,如果 對應(yīng)的函數(shù)值無限接近了某個確定的 數(shù) ,那么這個確定的數(shù)就叫做在這一 變化過程中函數(shù)的極限。 ? ?0l imnxf x A??例１．證明： 此處 C為常數(shù)。 當(dāng) 時 ,有 當(dāng) 時 ,有 0xx從 大 于0x ? ?0xx??記 為0xx從0x ? ?0xx??? ? ? ?? ?00l im 0xx f x A f x A ????? ? ? ? ?或0???00x x x ?? ? ? ? ?f x A ???? ? ? ?? ?00l im 0xx f x A f x A ????? ? ? ? ?或 0???00x x x?? ? ? ? ?f x A ???② 定理： ③注意 :(ⅰ )若 有一個不 存在 ,則 一定不存在。 x ??? ?fx x ??（ 2）定義（ ） 設(shè)函數(shù) 大于某一正數(shù)時有定 義，如果存在常數(shù) A,對于任意給定的正 數(shù) （不論它多么?。┛偞嬖谡龜?shù) ， 使得當(dāng) 滿足不等式 時，對應(yīng) 的函數(shù)值 都滿足不等式 那么常數(shù) A就叫做函數(shù) ，當(dāng) 時的極限記作： X? ? 語 言? ?f x x當(dāng)? Xx xX?? ?fx ? ?f x A ???? ?fx x ??。 ? ?0l imxxf x A??0? ?00 xx ?? ? ?? ?f x M?(三 )函數(shù)極限的局部保號性 定理 3:如果 那么存在常數(shù) ,使得當(dāng) 時 ,有 ? ? ? ?0l im , 0 0xxf x A A A?? ? ?而 且 或0? ?00 xx ?? ? ?? ? ? ?0( 0)f x f x??或定理 :如果 的某一去心鄰域 當(dāng) 時就有 . ? ? ? ?0l im 0 ,xxf x A A???0x那 么 就 存 在 著 ? ?00ux? ?00x u x? ? ?2Afx ?3?推論 :如果在 的某一去心鄰域 內(nèi) ,而且 ,那么 。 ? ?fx0xx?? ?x ??或 ? ?0l im 0xxxfx????? ?fx ? ?0x x x? ? ?或定義 2 當(dāng) 時 ,有 ? ?xX????或 語 言? ?0l im 0 0 0xxxfx ?????? ? ? ? ? ?（ ） 00 xx ?? ? ?? ?fx ??? ?0X ?或 ， ? ?xX?或(二 )注意 零是可以作為無窮小的唯一常數(shù) 除零外 ,無窮小不是一個很小的 數(shù) ,而是一個函數(shù) ,在 的過程中 ,這個函數(shù)的絕對值能小于 任意給定的正數(shù)。 ? ?fx0xx?? ?fx ? ?f x M?? ?fx 0xx? ? ?x ??或? ?0()l imxxxfx?????x ? ?00,x x x X?? ? ? ?或簡記為 為當(dāng) 時的無窮大， 當(dāng) 時 , 有 ? ?: fx ? ?0x x x? ? ?或0M? ? ? ? ?0X?? ? ?或? ?00 x x x x?? ? ? ?或? ?f x M?定義 3 當(dāng) 時 , 有 ? ?? ?? ? ? ?01 l im 0 0 0xxxf x M X????? ? ? ? ? ? ? ? ?或? ?00 x x x X?? ? ? ?或? ?f x M? (2) 當(dāng) 時 , 有 ? ? ? ?0,l im 0 0 0xxxf x M ????? ? ? ? ? ? ? ? ?或 X? ?00 x x x X?? ? ? ?或? ?f x M?? 例 1．證明： 11l im1x x???? (二 )漸近線 如果 ,則直線 是函數(shù) 的圖形的鉛直漸 近線。 ( 0 ,1]211sinxx0x ??（四）無窮大與無窮小之間的關(guān)系 定理 2：在自變量的同一變化過程中，如 果 為無窮大，則 為無窮小， 反之，如果 為無窮小，且 ， 則 為無窮大。 二、函數(shù)極限的和、差、積、商的運算法則 (一 )定理 3：如果 那么 ? ? ? ?l im , l im ,f x A g x B??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 l im l im l imf x g x f x g x A B? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 l im l im l imf x g x f x g x A B??????? ?? ?? ?? ?? ?l i m3 0 l i ml i mfxfx Ag x g x B? ? ?若 又 有 B 則推論 1：如果 存在，而 c為常 數(shù)，則 即常數(shù)因子 可以提到極限記號外面。 ? ?y f g x? ????? ?y f u?? ?u g x? ? ?f g x????0x? ? ? ?000l im l imx x u ug x u f u A?? ??? ?00 0 00,x u x????當(dāng) ? ? 0g x u?? ? ? ?00l im l imx x u uf g x f u A???????? 例 10．求 ? ?? ?l im 1 2 1 2 1nnn??? ? ? ? ? ? ? ?推廣 (在上面定理中把 換成以下幾種情況定理仍成立） ? ? ? ?000l im , l imx x u ux u f u A??? ??? ? ? ?01 . l im l imx x ux f u A?? ? ?? ? ?若? ? ? ?0l im l imx x uf x f u A?? ? ???????則 有? ? ? ?2 . l im l imxu x f u A?? ? ? ?? ? ?若? ? ? ?l im l imxuf x f u A?? ? ? ???????則 有? ? ? ?3 . l im l imx u ax a f u A?? ? ???若? ? ? ?l im l imx u af x f u A?? ? ???????則 有167。 ②單調(diào)減少有下界的數(shù)列有極限 例 4．設(shè) 證明數(shù)列 有極限 ,并求出 ? ?1111 1 2