【正文】 自自 適適 應(yīng)應(yīng) 信信 號號 處處 理理 －－ 最最 優(yōu)優(yōu) 線線 性性 濾濾 波波 理理 論論對于線性定常系統(tǒng)而言，一致完全可控和一致完全可觀測分別與完全可控和完全可觀測是一樣的。對于線性定常系統(tǒng)，還有一個比定理 1 更強的漸進性質(zhì)。 定理 2 ： 對于完全可控和完全可觀測的線性定常系統(tǒng)，存在一個唯一的正定陣 P ，使得從任意的初始方差陣0P出發(fā)，當??k時，恒有PP ?k。 Note ： 定理 2 表明，對于完全可控和完全可觀測的線性定常系統(tǒng)，無論如何選取濾波初值，當時間充分長之后，其濾波誤差方差陣kP將趨于一個唯一確定的正定陣，從而其增 益矩陣kK將趨于一個唯一確定的增益矩陣。此時稱濾波達到穩(wěn)態(tài)。這時可免去對于增益矩陣的遞推計算，因而將大大減小濾波的計算量。 自自 適適 應(yīng)應(yīng) 信信 號號 處處 理理 －－ 最最 優(yōu)優(yōu) 線線 性性 濾濾 波波 理理 論論167。167。 33 .. 66 卡卡 爾爾 曼曼 濾濾 波波 應(yīng)應(yīng) 用用 中中 的的 問問 題題 只要一個多變量、時變系統(tǒng)可以用 KF 的模型來描述，就可以應(yīng)用 KF 算法來解決各種實際問題，如： 1) 阿波羅計劃中登月艙與指揮船會合時，對登月艙位置估計。 2) ATC 對飛機航道進行估計，以完成導(dǎo)航調(diào)度的任務(wù)。 3) 雷達對彈道式再入體進行軌道估計和彈著點預(yù)測。 4) 跟蹤雷達跟蹤目標的航跡。 5) DS CD MA 中的盲多用戶檢測問題 自自 適適 應(yīng)應(yīng) 信信 號號 處處 理理 －－ 最最 優(yōu)優(yōu) 線線 性性 濾濾 波波 理理 論論 建模問題： 卡爾曼濾波要求信號的狀態(tài)模型已知。但對于很多實際問題，精確給出狀態(tài)模型是很困難的。 給出的模型越精確，濾波和預(yù)測的精度也就越高。實際上，模型總是近似的，近似的結(jié)果不僅將造成精度上的損失，而且還可能造成濾波器發(fā)散。 此外，實際模型常會突破線性模型形式。有些模型是非線性的，有些模型是隨機采樣的，有些不是白噪聲。 建立模型后，需要判斷由所建立模型決定的收斂性。 自自 適適 應(yīng)應(yīng) 信信 號號 處處 理理 －－ 最最 優(yōu)優(yōu) 線線 性性 濾濾 波波 理理 論論 坐標系的選擇 影響目標模型、跟蹤濾波算法是否容易實現(xiàn)、跟蹤誤差的大小 一般地，有以雷達為原點的直角坐標系、球極坐標系、正弦坐標系、 NED 坐標系及混合坐標系等。 1. 消息模型 一般采用直角坐標系，其明顯優(yōu)點在于濾波可以在線性動態(tài)模型上實現(xiàn)。 2. 觀測模型 一般跟蹤雷達能提供的觀測值是),( ??R，相控陣雷達能提供的觀測值是)c os,c os,( BAR。 PD 雷達還可以提供速度量測。 3. 濾波算法 直角坐標系：優(yōu)點是濾波和 外推可以在線性動態(tài)模型上實現(xiàn)；缺點是： 1 ) . 為將觀測值轉(zhuǎn)換到直角坐標系，必須利用測量的 R 值，而在某些應(yīng)用下得不到 R 值。 2 ) . 觀測誤差是耦合的。 其他坐標系：出現(xiàn)視在加速度－導(dǎo)致復(fù)雜的濾波和外推，且可能導(dǎo)致精度降低。 4. 濾波輸出 與實際應(yīng)用系統(tǒng)的要求有關(guān)。 自自 適適 應(yīng)應(yīng) 信信 號號 處處 理理 －－ 最最 優(yōu)優(yōu) 線線 性性 濾濾 波波 理理 論論 建模 舉例：目標跟蹤問題 1. 目標運動模型 —— 消息模型 目標運動狀態(tài)是未知的 : 是否機動？何時機動？ 1) 微分多項式模型 （ .L. ， 197 7 ） 在直角坐標系中，目標運動軌道可用 n 次多項式準確的描述，即： nn tatataatx ?????2210)( nn tbtbtbbty ?????2210)( nn tctctcctz ?????2210)( 式中)( tx、)( ty、)( tz是運動軌跡分別在三個坐標系上的投影。 其中任一分量均可寫成1?n階微分方程式形式。以)( tx分量為例，有 ? ?? ??????????njnjdttxdjj , , 00)(11 其中 n 為運動模型的階次，其大小反映了目標運動的特點，當 n=1 時為等速運動 ，n=2 為等加速運動等 0 1 2( ) ( ) ( )x t a a x t a x t? ? ?。 自自 適適 應(yīng)應(yīng) 信信 號號 處處 理理 －－ 最最 優(yōu)優(yōu) 線線 性性 濾濾 波波 理理 論論可把系統(tǒng)的狀態(tài)變量定義為： )()(1 txtx ? ? nnndttxdtx)()(1?? 則狀態(tài)方程為：)()()( ttt XFX ?? 其中? ? Tn txtxtxt )()()()( 121 ?? ?X ? ? Tn txtxtx )()()( )(??? ? ? ? ? )11()(0010000010)(1,)1()1(??????????????????????????njitftjiijnn，???????????????F 分別為狀態(tài)向量和系統(tǒng)矩陣，此系統(tǒng)矩陣為牛頓矩陣。 自自 適適 應(yīng)應(yīng) 信信 號號 處處 理理 －－ 最最 優(yōu)優(yōu) 線線 性性 濾濾 波波 理理 論論2) . 二階常速（ CV ）和三階常加速模型（ CA ） （ F rie . 1973 ） a . 連續(xù)時間狀態(tài)方程（消息模型） 為：（只考慮了 x 軸一維） )()()()()( ttttt uGxFx ??? ? CV 模型： 假設(shè)目標作勻速直線運動， 即 taatx 10)( ??，則可以設(shè)狀態(tài)變量為： )()(1 txtx ? )()(2 txtx ?? 寫成矩陣形式為：???????)()()(txtxt?X 同時假設(shè)：???????0010)( tF，???????10)( tG )(10)()(0010)()(39。tutxtxtxtx????????????????????????????? ??????)()()()( tutxtxtx???? 即當目標非勻速直線運動時，認為目標的加速度為白噪聲。 自自 適適 應(yīng)應(yīng) 信信 號號 處處 理理 －－ 最最 優(yōu)優(yōu) 線線 性性 濾濾 波波 理理 論論? CA 模型： 設(shè)目標作勻加速直線運動， 即 2/＋)( 2210 tataatx ??，則可設(shè)狀態(tài)變量為： )()()()()()(321txtxtxtxtxtx?????? 寫成矩陣形式為：???????????)()()()(txtxtxt???X 同時假設(shè)：???????????000100010)( tF，???????????100)( tG )(100)()()(000100010)()()(39。tutxtxtxtxtxtx????????????????????????????????????????????? ?????????)()()()()()( tutxtxtxtxtx????????? 自自 適適 應(yīng)應(yīng) 信信 號號 處處 理理 －－ 最最 優(yōu)優(yōu) 線線 性性 濾濾 波波 理理 論論b. 離散時間狀態(tài)方程 ? 前面的連續(xù)時間狀態(tài)方程的解為： ?????tttttdetet00 )()()( )(0)(???GuxxFF 令TkTttkTtt )1(0 ?????? ， ????????TttTtT deteTt ??? )()()( )( Guxx FF 其中 T 為采樣間隔 。 則相應(yīng)的離散時間狀態(tài)方程為： kkTk e uxxF ???? 1 =kkk uxΦ ?? 其中)( kTk xx ?，? ?11 )( ?? ??? FIΦ F sLe Tk, ? ??????TkkTTkk de)1()1( )( ??? Guu F 自自 適適 應(yīng)應(yīng) 信信 號號 處處 理理 －－ 最最 優(yōu)優(yōu) 線線 性性 濾濾 波波 理理 論論CV 模型 ：?? 1kx kkk uxΦ ?? ???????kkkxx?x，???????101 TkΦ，( 1 ) ( 1 )()1kTkkTkTud???? ????? ?????u， ?????????????TTTTu2232232?Q，? ? kjjkC o v ??? Quu , CA 模型 ：?? 1kx kkk uxΦ ?? ???????????kkkkxxx???x，???????????????10010212TTTkΦ，? ?2( 1 )( 1 )2( 1 ) ( )1kTkkTkTk T u d?? ? ????????????? ? ??????????u ?????????????????TTTTTTTTTu262686820232343452?Q，? ? kjjkC o v ??? Quu , 自自 適適 應(yīng)應(yīng) 信信 號號 處處 理理 －－ 最最 優(yōu)優(yōu) 線線 性性 濾濾 波波 理理 論論2. 觀測模型 111 ??? ??? kkk wxHz ? ?10T ?H（ CV 模型 ）或? ?1 0 0T ?H（ C A 模型 ） 對于 CV 模型，若考慮三維坐標，即 當???????????????1111kkkkzyxz，? ? Tkkkkkkk zzyyxx ????? 1x時 有1 0 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 0 1 0???????????H，,11 , 1,1xkk y kzkwww???????????????w 而得到的雷達觀測一般為),( ??R，故需將?? ,R ? zyx ,，且R?，??，x?? ? ?，y?，z?，xy?，yz?，xz? 自自 適適 應(yīng)應(yīng) 信信 號號 處處 理理 －－ 最最 優(yōu)優(yōu) 線線 性性 濾濾 波波 理理 論論 設(shè)球極坐標系下雷達的觀測 噪聲協(xié)方差陣為： 自自 適適 應(yīng)應(yīng) 信信 號號 處處 理理 －－ 最最 優(yōu)優(yōu) 線線 性性 濾濾 波波 理理 論論 自自 適適 應(yīng)應(yīng) 信信 號號 處處 理理 －－ 最最 優(yōu)優(yōu) 線線 性性 濾濾 波波 理理 論論 實時能力問題 提高實時能力即設(shè)法減少計算機負擔，以避免濾波受計算機運算速度和存儲量的限制而不能實時處理。 一般有 幾種 可能的途徑解決此問題：改進計算技術(shù)、減少狀態(tài)維數(shù) 、 采用近似增益