【正文】 自自 適適 應(yīng)應(yīng) 信信 號(hào)號(hào) 處處 理理 －－ 最最 優(yōu)優(yōu) 線(xiàn)線(xiàn) 性性 濾濾 波波 理理 論論對(duì)于線(xiàn)性定常系統(tǒng)而言，一致完全可控和一致完全可觀測(cè)分別與完全可控和完全可觀測(cè)是一樣的。對(duì)于線(xiàn)性定常系統(tǒng)，還有一個(gè)比定理 1 更強(qiáng)的漸進(jìn)性質(zhì)。 定理 2 ： 對(duì)于完全可控和完全可觀測(cè)的線(xiàn)性定常系統(tǒng)，存在一個(gè)唯一的正定陣 P ，使得從任意的初始方差陣0P出發(fā)，當(dāng)??k時(shí)，恒有PP ?k。 Note ： 定理 2 表明，對(duì)于完全可控和完全可觀測(cè)的線(xiàn)性定常系統(tǒng)，無(wú)論如何選取濾波初值，當(dāng)時(shí)間充分長(zhǎng)之后，其濾波誤差方差陣kP將趨于一個(gè)唯一確定的正定陣，從而其增 益矩陣kK將趨于一個(gè)唯一確定的增益矩陣。此時(shí)稱(chēng)濾波達(dá)到穩(wěn)態(tài)。這時(shí)可免去對(duì)于增益矩陣的遞推計(jì)算，因而將大大減小濾波的計(jì)算量。 自自 適適 應(yīng)應(yīng) 信信 號(hào)號(hào) 處處 理理 －－ 最最 優(yōu)優(yōu) 線(xiàn)線(xiàn) 性性 濾濾 波波 理理 論論167。167。 33 .. 66 卡卡 爾爾 曼曼 濾濾 波波 應(yīng)應(yīng) 用用 中中 的的 問(wèn)問(wèn) 題題 只要一個(gè)多變量、時(shí)變系統(tǒng)可以用 KF 的模型來(lái)描述，就可以應(yīng)用 KF 算法來(lái)解決各種實(shí)際問(wèn)題，如： 1) 阿波羅計(jì)劃中登月艙與指揮船會(huì)合時(shí)，對(duì)登月艙位置估計(jì)。 2) ATC 對(duì)飛機(jī)航道進(jìn)行估計(jì)，以完成導(dǎo)航調(diào)度的任務(wù)。 3) 雷達(dá)對(duì)彈道式再入體進(jìn)行軌道估計(jì)和彈著點(diǎn)預(yù)測(cè)。 4) 跟蹤雷達(dá)跟蹤目標(biāo)的航跡。 5) DS CD MA 中的盲多用戶(hù)檢測(cè)問(wèn)題 自自 適適 應(yīng)應(yīng) 信信 號(hào)號(hào) 處處 理理 －－ 最最 優(yōu)優(yōu) 線(xiàn)線(xiàn) 性性 濾濾 波波 理理 論論 建模問(wèn)題： 卡爾曼濾波要求信號(hào)的狀態(tài)模型已知。但對(duì)于很多實(shí)際問(wèn)題，精確給出狀態(tài)模型是很困難的。 給出的模型越精確，濾波和預(yù)測(cè)的精度也就越高。實(shí)際上，模型總是近似的，近似的結(jié)果不僅將造成精度上的損失，而且還可能造成濾波器發(fā)散。 此外，實(shí)際模型常會(huì)突破線(xiàn)性模型形式。有些模型是非線(xiàn)性的，有些模型是隨機(jī)采樣的，有些不是白噪聲。 建立模型后，需要判斷由所建立模型決定的收斂性。 自自 適適 應(yīng)應(yīng) 信信 號(hào)號(hào) 處處 理理 －－ 最最 優(yōu)優(yōu) 線(xiàn)線(xiàn) 性性 濾濾 波波 理理 論論 坐標(biāo)系的選擇 影響目標(biāo)模型、跟蹤濾波算法是否容易實(shí)現(xiàn)、跟蹤誤差的大小 一般地，有以雷達(dá)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系、球極坐標(biāo)系、正弦坐標(biāo)系、 NED 坐標(biāo)系及混合坐標(biāo)系等。 1. 消息模型 一般采用直角坐標(biāo)系，其明顯優(yōu)點(diǎn)在于濾波可以在線(xiàn)性動(dòng)態(tài)模型上實(shí)現(xiàn)。 2. 觀測(cè)模型 一般跟蹤雷達(dá)能提供的觀測(cè)值是),( ??R，相控陣?yán)走_(dá)能提供的觀測(cè)值是)c os,c os,( BAR。 PD 雷達(dá)還可以提供速度量測(cè)。 3. 濾波算法 直角坐標(biāo)系：優(yōu)點(diǎn)是濾波和 外推可以在線(xiàn)性動(dòng)態(tài)模型上實(shí)現(xiàn)；缺點(diǎn)是： 1 ) . 為將觀測(cè)值轉(zhuǎn)換到直角坐標(biāo)系，必須利用測(cè)量的 R 值，而在某些應(yīng)用下得不到 R 值。 2 ) . 觀測(cè)誤差是耦合的。 其他坐標(biāo)系：出現(xiàn)視在加速度－導(dǎo)致復(fù)雜的濾波和外推，且可能導(dǎo)致精度降低。 4. 濾波輸出 與實(shí)際應(yīng)用系統(tǒng)的要求有關(guān)。 自自 適適 應(yīng)應(yīng) 信信 號(hào)號(hào) 處處 理理 －－ 最最 優(yōu)優(yōu) 線(xiàn)線(xiàn) 性性 濾濾 波波 理理 論論 建模 舉例：目標(biāo)跟蹤問(wèn)題 1. 目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型 —— 消息模型 目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是未知的 : 是否機(jī)動(dòng)？何時(shí)機(jī)動(dòng)？ 1) 微分多項(xiàng)式模型 （ .L. ， 197 7 ） 在直角坐標(biāo)系中，目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌道可用 n 次多項(xiàng)式準(zhǔn)確的描述，即： nn tatataatx ?????2210)( nn tbtbtbbty ?????2210)( nn tctctcctz ?????2210)( 式中)( tx、)( ty、)( tz是運(yùn)動(dòng)軌跡分別在三個(gè)坐標(biāo)系上的投影。 其中任一分量均可寫(xiě)成1?n階微分方程式形式。以)( tx分量為例，有 ? ?? ??????????njnjdttxdjj , , 00)(11 其中 n 為運(yùn)動(dòng)模型的階次，其大小反映了目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，當(dāng) n=1 時(shí)為等速運(yùn)動(dòng) ，n=2 為等加速運(yùn)動(dòng)等 0 1 2( ) ( ) ( )x t a a x t a x t? ? ?。 自自 適適 應(yīng)應(yīng) 信信 號(hào)號(hào) 處處 理理 －－ 最最 優(yōu)優(yōu) 線(xiàn)線(xiàn) 性性 濾濾 波波 理理 論論可把系統(tǒng)的狀態(tài)變量定義為： )()(1 txtx ? ? nnndttxdtx)()(1?? 則狀態(tài)方程為：)()()( ttt XFX ?? 其中? ? Tn txtxtxt )()()()( 121 ?? ?X ? ? Tn txtxtx )()()( )(??? ? ? ? ? )11()(0010000010)(1,)1()1(??????????????????????????njitftjiijnn，???????????????F 分別為狀態(tài)向量和系統(tǒng)矩陣，此系統(tǒng)矩陣為牛頓矩陣。 自自 適適 應(yīng)應(yīng) 信信 號(hào)號(hào) 處處 理理 －－ 最最 優(yōu)優(yōu) 線(xiàn)線(xiàn) 性性 濾濾 波波 理理 論論2) . 二階常速（ CV ）和三階常加速模型（ CA ） （ F rie . 1973 ） a . 連續(xù)時(shí)間狀態(tài)方程（消息模型） 為：（只考慮了 x 軸一維） )()()()()( ttttt uGxFx ??? ? CV 模型： 假設(shè)目標(biāo)作勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)， 即 taatx 10)( ??，則可以設(shè)狀態(tài)變量為： )()(1 txtx ? )()(2 txtx ?? 寫(xiě)成矩陣形式為：???????)()()(txtxt?X 同時(shí)假設(shè)：???????0010)( tF，???????10)( tG )(10)()(0010)()(39。tutxtxtxtx????????????????????????????? ??????)()()()( tutxtxtx???? 即當(dāng)目標(biāo)非勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，認(rèn)為目標(biāo)的加速度為白噪聲。 自自 適適 應(yīng)應(yīng) 信信 號(hào)號(hào) 處處 理理 －－ 最最 優(yōu)優(yōu) 線(xiàn)線(xiàn) 性性 濾濾 波波 理理 論論? CA 模型： 設(shè)目標(biāo)作勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)， 即 2/＋)( 2210 tataatx ??，則可設(shè)狀態(tài)變量為： )()()()()()(321txtxtxtxtxtx?????? 寫(xiě)成矩陣形式為：???????????)()()()(txtxtxt???X 同時(shí)假設(shè)：???????????000100010)( tF，???????????100)( tG )(100)()()(000100010)()()(39。tutxtxtxtxtxtx????????????????????????????????????????????? ?????????)()()()()()( tutxtxtxtxtx????????? 自自 適適 應(yīng)應(yīng) 信信 號(hào)號(hào) 處處 理理 －－ 最最 優(yōu)優(yōu) 線(xiàn)線(xiàn) 性性 濾濾 波波 理理 論論b. 離散時(shí)間狀態(tài)方程 ? 前面的連續(xù)時(shí)間狀態(tài)方程的解為： ?????tttttdetet00 )()()( )(0)(???GuxxFF 令TkTttkTtt )1(0 ?????? ， ????????TttTtT deteTt ??? )()()( )( Guxx FF 其中 T 為采樣間隔 。 則相應(yīng)的離散時(shí)間狀態(tài)方程為： kkTk e uxxF ???? 1 =kkk uxΦ ?? 其中)( kTk xx ?，? ?11 )( ?? ??? FIΦ F sLe Tk, ? ??????TkkTTkk de)1()1( )( ??? Guu F 自自 適適 應(yīng)應(yīng) 信信 號(hào)號(hào) 處處 理理 －－ 最最 優(yōu)優(yōu) 線(xiàn)線(xiàn) 性性 濾濾 波波 理理 論論CV 模型 ：?? 1kx kkk uxΦ ?? ???????kkkxx?x，???????101 TkΦ，( 1 ) ( 1 )()1kTkkTkTud???? ????? ?????u， ?????????????TTTTu2232232?Q，? ? kjjkC o v ??? Quu , CA 模型 ：?? 1kx kkk uxΦ ?? ???????????kkkkxxx???x，???????????????10010212TTTkΦ，? ?2( 1 )( 1 )2( 1 ) ( )1kTkkTkTk T u d?? ? ????????????? ? ??????????u ?????????????????TTTTTTTTTu262686820232343452?Q，? ? kjjkC o v ??? Quu , 自自 適適 應(yīng)應(yīng) 信信 號(hào)號(hào) 處處 理理 －－ 最最 優(yōu)優(yōu) 線(xiàn)線(xiàn) 性性 濾濾 波波 理理 論論2. 觀測(cè)模型 111 ??? ??? kkk wxHz ? ?10T ?H（ CV 模型 ）或? ?1 0 0T ?H（ C A 模型 ） 對(duì)于 CV 模型，若考慮三維坐標(biāo)，即 當(dāng)???????????????1111kkkkzyxz，? ? Tkkkkkkk zzyyxx ????? 1x時(shí) 有1 0 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 0 1 0???????????H，,11 , 1,1xkk y kzkwww???????????????w 而得到的雷達(dá)觀測(cè)一般為),( ??R，故需將?? ,R ? zyx ,，且R?，??，x?? ? ?，y?，z?，xy?，yz?，xz? 自自 適適 應(yīng)應(yīng) 信信 號(hào)號(hào) 處處 理理 －－ 最最 優(yōu)優(yōu) 線(xiàn)線(xiàn) 性性 濾濾 波波 理理 論論 設(shè)球極坐標(biāo)系下雷達(dá)的觀測(cè) 噪聲協(xié)方差陣為： 自自 適適 應(yīng)應(yīng) 信信 號(hào)號(hào) 處處 理理 －－ 最最 優(yōu)優(yōu) 線(xiàn)線(xiàn) 性性 濾濾 波波 理理 論論 自自 適適 應(yīng)應(yīng) 信信 號(hào)號(hào) 處處 理理 －－ 最最 優(yōu)優(yōu) 線(xiàn)線(xiàn) 性性 濾濾 波波 理理 論論 實(shí)時(shí)能力問(wèn)題 提高實(shí)時(shí)能力即設(shè)法減少計(jì)算機(jī)負(fù)擔(dān)，以避免濾波受計(jì)算機(jī)運(yùn)算速度和存儲(chǔ)量的限制而不能實(shí)時(shí)處理。 一般有 幾種 可能的途徑解決此問(wèn)題：改進(jìn)計(jì)算技術(shù)、減少狀態(tài)維數(shù) 、 采用近似增益