【正文】 .2000100011??????????? APP令 則有 注意 : 若令 ? ? ,101011021, 213 ???????? ???? pppP.1121?????????? APP 矩陣 P的列向量和對角矩陣中特征值的位置要相互對應 . 則有 例 3: 設 ?????????00111100xA問 x為何值時 , 矩陣 A能對角化 ? 解 : )1()1(11)1(011110||2 ?????????????????????? xEA得 ?1=－ 1, ?2= ?3= 1. 對應單根 ?1=－ 1, 可求得線性無關(guān)的特征向量恰好 1個 , 故矩陣 A可對角化的充分必要條件是對應重根 ?2= ?3= 1, 有 2個線性無關(guān)的特征向量 , 即方程 (A－ E)x=0有 2個線性無關(guān)的解 , 亦即系數(shù)矩陣 A－ E的 秩 R(A－ E)=1. 由 ????????????10101101xEA r ??????????000100101x要 R(A－ E)=1, 得 x+1=0, 即 x=－ 1. 因此，當 x=－ 1時 , 矩陣 A能對角化 . 三、小結(jié) 1. 相似矩陣 相似是矩陣之間的一種關(guān)系 , 它具有很多良好的性質(zhì) , 除了課堂內(nèi)介紹的以外 , 還有 : (1) 若 A與 B相似 , 則 det(A)=det(B)。 (2) 若 A與 B相似 , f(x)為多項式 , 則 f(A)與 f(B)相似 。 (3) 若 A與 B相似 , 且 A可逆 , 則 B也可逆 , 且 A1與 B1相似 . 2. 相似變換與相似變換矩陣 相似變換 是對 方陣 進行的一種運算 , 它把 A變成 P1AP, 可逆矩陣 P稱為進行這一變換的 相似變換矩陣 . 這種變換的重要意義在于 簡化對矩陣的各種運算 ,其方法是先通過 相似變換 , 將矩陣變成 對角矩陣 , 再對對 角矩陣 進行運算 , 從而將比較復雜的矩陣的運算轉(zhuǎn)化為比較簡單的 對角矩陣 的運算 . 定理 5的意義 : 由于實對稱矩陣 A的特征值 ?i 為實數(shù) , 所以齊次線性方程組 ( A–?iE ) x = 0 是實系數(shù)方程組 , 由 | A–?i E | = 0 知 , 必有實的基礎解系 ,從而對應的特征向量可以取實向量 . 定理 6: 設 ?1, ?2是對稱矩陣 A的兩個特征值 , p1, p2是對應的特征向量 , 若 ?1??2, 則 p1與 p2正交 . 證明 : 由條件知 , Api = ?i pi ( i =1, 2), A = AT. 所以 , ?1 p1T = (?1 p1)T = (Ap1)T = p1TAT = p1TA, 167。 實對稱矩陣的對角化 一、實對稱矩陣的性質(zhì) 說明 : 本節(jié)所提到的 對稱矩陣 , 除非特別說明 , 均指 實對稱矩陣 . 定理 5: 實對稱矩陣的特征值為實數(shù) . ?1 p1Tp2 = (?1 p1T) p2 于是 = p1T(Ap2) = (p1TA) p2 = p1T(?2 p2) = ?2 p1Tp2, 則 (?1 –?2 ) p1Tp2 = 0. 再由 ?1??2 得 , p1Tp2 = [p1, p2] = 0, 即 p1與 p2 正交 . 定理 7: 設 A為 n階對稱矩陣 , 則必有 正交矩陣 P , 使P1AP =?, 其中 ?是以 A的 n個特征值為對角元素的對角矩陣 . 推論 設 A為 n階對稱矩陣 , ?是 A的特征方程的 k 重根 , 則矩陣 (A–?E )的秩 R(A–?E ) = n–k, 從而對應 k重特征值 ? 恰有 k個線性無關(guān)的特征向量 . 證明 : 按定理 7知對稱陣 A與對角陣 ),d i a g ( n1 ?? ???相似 , 從而 A－ ?E與 ?－ ?E=diag(?1－ ?, , ?n－ ?)相似 . 當 ?是 A的 k重特征根時 , ?1, , ?n這 n個特征值中有 k個等于 ?, 有 nk個不等于 ?, 從而對角陣 ?－ ?E的對角元恰好有 k 個等于 0, 于是 ),()( EREAR ?? ????.)( knER ???? ?而 所以 .)( knEAR ??? ?二、對稱矩陣正交對角化的方法 根據(jù)上述結(jié)論 , 利用 正交矩陣 將對稱矩陣 A化為對角矩陣 , 其具體步驟為 : 1. 求 A的特征值 ?1, ?2 , , ?s 。 2. 由 (A–?iE)x=0求出 ?i 的 ri 個特征向量 。 3. 將 ?i 的 ri 個特征向量正交化 。 4. 將所有特征向量單位化 . .020212022?????????????A 例 1: 對實對稱矩陣 A, 求正交矩陣 P, 使 P1AP =?為對角陣 . 解 : 第一步 , 求 A的特征值 . ??????????20212022| A–?E |= =(4–?)(?–1)(? +2)=0 得 A的特征值 ?1=4, ?2=1, ?3=–2. ,04202320223232121????????????xxxxxxx得基礎解系 .1221 ???????????第二步 , 由 (A–?iE)x=0, 求 A的特征向量 . 對 ?1=4,由 (A–4E)x=0, 得 得基礎解系 對 ?2=1,由 (A–E)x=0, 得 ,0202202323121????????????xxxxxx.12112 ????????????得基礎解系 對 ?2=–2,由 (A+2E)x=0, 得 ,02202320243232121?????????????xxxxxxx.11213 ??????????第三步 , 將特征向量正交化 . 由于 ?1, ?2, ?3是屬于 A的 3個不同特征值 ?1, ?2, ?3的特征向量 , 故它們必兩兩正交 . 第四步 , 將所有特征向量單位化 . .3,2,1,|||| ?? iiii ???令 得 ,122311 ??????????? ,1211322 ???????????? .1121323 ??????????.310130004?????????A? ? ,22121212231,321 ????????????? ???P.2000100041??????????? APP作 則 例 2: 對實對稱矩陣 A, 求正交矩陣 P, 使 P1AP =?為對角陣 . 解 : 第一步 , 求 A的特征值 . ??????310130004| A–?E |= = (2–?)(4–?)2=0 得 A的特征值 ?1=2, ?2=?3=4. 第二步 , 由 (A–?iE)x=0, 求 A的特征向量 . ,000232321??????????xxxxx得基礎解系 對 ?1=2,由 (A–2E)x=0, 得 ??????????1101?,00003232???????????xxxx 得基礎解系 對 ?2=?3=4,由 (A–4E)x=0, 得 .110,00132 ?????????????????? ??第三步 , 將特征向量正交化 . 第四步 , 將所有特征向量單位化 . 由于 ?2, ?3恰好正交 , 故 ?1, ?2, ?3兩兩正交 . .3,2,1,|||| ?? iiii ???令 得 ,110211 ??????????? ,0012 ?????????? .110213 ??????????于是得正交陣 ? ????????????10110102021, 321 ???P.4000400021?????????? APP則 三、小結(jié) 1. 對稱矩陣的性質(zhì) : (1)特征值為實數(shù) 。 (2)屬于不同特征值的特征向量正交 。 (3)特征值的重數(shù)和與之對應的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)相等 。 (4)必存在正交矩陣 , 將其化為對角矩陣 , 且對角矩陣對角元素即為特征值 . 2. 利用正交矩陣將對稱陣化為對角陣的步驟 : (1) 求特征值 。 (2) 求特征向量 。 (3)將特征向量正交化 。 (4) 將特征向量單位化 .