【正文】 0 ??x ）， 由 040 0012 ???? xy，得唯一駐點 1020?x （ 1020??x 舍去），又 0)1020( ???y ， 于是 1020?x 是唯一的極小值點，也是最小值點，所以最經(jīng)濟的行車 速度為 ??x km/h， 行車的總費用是 ?)1020(y 253 元 ． 2． a 為何值時，函數(shù) xxaxf 3s in31s in)( ?? 在 3??x 處有極值？求出此極值 ． 并且說明該極值 是極大值還是極小值． 解： xxaxf 3c o sc o s)( ??? ，由函數(shù) xxaxf 3s in31s in)( ?? 在 3??x 處有極值，有 012c os3c os)3( ?????? aaf ??? ，得 2?a ． 此時 3s in313s in2)3( ??? ???f ， 又因為 03s i n33s i n2)3( ???????? ???f ，所以 3)3( ??f 是極大值 ． 3． 設函數(shù) xbxxaxf ??? 2ln)( 在 2,1 21 ??x 都取極值，求 a 與 b 的值，并說明 )1(f 、)2(f 是極大值還是極小值． 解： bxaxfbxxaxf 2)(12)( 2 ????????? ，由函數(shù)在 2,1 21 ?? xx 都取極值，有 ??? ?? ?? ，0)2( 0)1(ff 即??? ??? ??? ，028 012ba ba解得 61,32 ???? ba ； 此時 3132)(2 ???? xxf， 因為 031)1( ????f ，所以 )1(f 是極小值， 因為 061)2( ?????f ，所以 )2(f 是極大值 ． 4． 證明函數(shù) xxy )11( ?? 在區(qū)間 )1( ???， 內(nèi)單調(diào)增加． 證明： ]1 1)11[l n()11( xxxy x ??????? ，記 ?)(xg xx ??? 1 1)11ln( ，則 22 )1( 1)1( 1)1( 1)( xxxxxxg ?????????，當 1??x 時， 0)( ??xg ，在區(qū)間)1( ???， 內(nèi)函數(shù) )(xg 單調(diào)增加 ， 0]1 1)11[l n(l i m)(l i m)( ?????? ?????? xxxgxg xx ， 從而 0??y ，所以函數(shù) xxy )11( ?? 在區(qū)間 )1( ???， 內(nèi)單調(diào)增加． 5． 若函數(shù) )(xf 在區(qū)間 ),0[ ?? 上有二階導數(shù)，且 0)( ??? xf ， 0)0( ?f ，證明函數(shù)xxfxg )()( ? 在區(qū)間 ),0( ?? 內(nèi)單調(diào)增加． 證明：2 )()()( x xfxfxxg ????，記 )()()( xfxfxxh ??? ，則 )()( xfxxh ???? ，在 ),0( ??內(nèi) 0)( ?? xh ，又 )(xh 在 0?x 點右連續(xù)，從而 )(xh 在區(qū)間 ),0[ ?? 內(nèi)單調(diào)遞增，則 當0?x 時， 0)0()( ??hxh ，進而 0)()( 2 ??? xxhxg ，所以函數(shù) xxfxg )()( ? 在區(qū)間),0( ?? 內(nèi)單調(diào)增加． 6． 求函數(shù) nxnxxf )1()( ?? 在區(qū)間 ]1,0[ 上的最大值 )(nM ，并求極限 )(lim nMn ??． 解： )1()1()1()1()( 12 nxxxnxxnxnxf nnn ????????? ?，由 0)( ?? xf ，在區(qū) 間 )10(， 內(nèi)得駐點 nx ??11 ． 由 0)0( ?f ， 1)1()1 1( ???? nnnnf ， 0)1( ?f ，得函數(shù)nxnxxf )1()( ?? 在區(qū)間 ]1,0[ 上的最大值 為 nnnnM ??? 1)1()( ． e1e11)/11( 11l i m)1(l i m)(l i m 1 ???????? ??????? nnnnn nnnnnnM． 7． 在 由直線 0?y ， 8?x 與拋物線 2xy? 圍成的曲邊三角形的曲邊上求一點，使該點的切線 與兩直角邊 圍成的三角形面積最大 ． 解： 設所求點為 )( 2ttP ， ，該點的切線斜率為 ttyk 2)( ??? ， 切線方程為 )(22 txtty ??? ， 令 0?y ，得 2tx? ，令 8?x ，得 216 tty ?? ，于是 AMN? 的面積 4 )16()16)(28(21 22 tttttS ????? 4/864 32 ttt ??? （ 80 ??t ）， 由 0)16)(163(41431664 2 ???????? ttttS ，得 316?t （ 16?t 舍去）， 因為 0)0( ?S ， 2716)316( 3?S ， 321648)8( 33 ??S ，所以面積最大值為 2716)316( 3?S ， 從而 P 點的橫坐標為 316?t ，縱坐標為 62562 ?t ， 所求點為 )9256316( ， ． 8． 求直線 02???yx 與拋物線 xy ?2 的最近距離． 解： 設 ),( 2xx 是拋物線上任一點，取該點到給定直線距離的平方 22 )2(21 ??? xxD 為目標函數(shù)，由 0)21)(2( 2 ?????? xxxD ，得唯一駐點 21?x ，由實際意義 D 有最小值，于是當 21?x 時， D 取最小值，所以拋物線 2xy? 與直線 01???yx 的最近距離為8 272 4/12/12 ????D． 9． 求橢圓 322 ??? yxyx 上縱坐標的最大值和最小值． 解： 方程 322 ??? yxyx 兩邊同時對 x 求導，有 022 ?????? yyyxyx ，令 0??y ，有xy 2? ，代入到方程 322 ??? yxyx 之中，有 33 2?x ，得駐點 1??x ，而 2)1( ?y ，2)1( ???y ，由于橢圓是有界閉曲線，其縱坐標一定有最小值與最大值，所以橢圓322 ??? yxyx 上縱坐標的最大值 2)1( ?y ，最小值 2)1( ???y ． 10． 證明下列不等式： （ 1） 當 20 ???x 時， xxx 2tansin ?? ； （ 2） 當 100 ??? ?，x 時， xx ??? ???1 ； （ 3） 當 2021 ???? xx時，1212tantan xxxx ? ． 證明： （ 1）設 xxxxf 2tans in)( ??? （ /0 ??? ）， 2s e cc o s)( 2 ???? xxxf ， )c os2(c oss i ntans e c2s i n)( 332 xxxxxxxf ???????， 當 20 ???x 時， 0)( ??xf ， )(xf? 單調(diào)遞增， 由 )(xf? 在 0?x 點連續(xù)， 于是 當20 ???x 時， 0)0()( ???? fxf ，進而得 )(xf 單調(diào)遞增， 同樣 0)0()( ?? fxf ，所以當 20 ???x 時， xxx 2tansin ?? ． （ 2） 設函數(shù) ?)(xf xx ??? ???1 （ 0?x ）， 則 ?? ? ?? ?1)( xxf ，由 0)( ?? xf ，得唯一駐點 1?x ， 又 2)1()( ????? ??? xxf ， )1()1( ???? ??f ，由于 10 ??? ，有0)1( ??f ，于是 1?x 是函數(shù) ?)(xf xx ??? ???1 的極大值點，也是最大值點，所以當 100 ??? ?，x 時，恒有 0)1()( ?? fxf ，即 xx ??? ???1 ． （ 3）設函數(shù) xxxf tan)( ? （ 20 ???x ），則 xx xxxx xxxxf2222 c os c oss i ntans e c)( ????? ， 記 xxxxxxg 2s i n21c oss i n)( ???? ，則 xxg 2cos1)( ??? ，當 20 ???x 時，0)( ??xg ，于是函數(shù) )(xg 單調(diào)增加， 由 )(xg 在 0?x 點連續(xù)，所以當 20 ???x 時，有0)0()( ?? gxg ，從而 0)( ?? xf ，于是函數(shù) )(xf 單調(diào)增加 ． 當 20 21 ???? xx 時， 有)()( 12 xfxf ? ，即1122 tantan x xx x ? ，所以1212tantan xxxx ? ． 11． 討論方程 1)1ln( ??? xx 的實根個數(shù)． 解： 設函數(shù) 1)1ln ()( ???? xxxf （ 1??x ），則 )(xf 在區(qū)間 )0( ??， 內(nèi)連續(xù)且可導，xxxxf ??????? 111 1)( ，由 0)( ??xf ，得駐點 0?x ，它將定義域分為兩個區(qū)間]01( ，? ， )0[ ??， ． 在區(qū)間 )01( ，? 內(nèi)： 0)( ??xf ，函數(shù) )(xf 單調(diào)遞增，于是方程 1)1ln( ??? xx 在)01( ，? 內(nèi)至多有一個實根，又 01)0( ??f ， ??????? ?? ???? ]1)1[l n (l i m)(l i m 11 xxxf xx ，根據(jù)極限的保 號性，在 1??x 點的右側附近 0)( ?xf ，取一點 0x 使得 0)( 0 ?xf ，根據(jù) 連續(xù)函數(shù)的 零點定理，方程 1)1ln( ??? xx 在 )0( 0，x 內(nèi)至少有一個實根，從而在 )01( ，? 內(nèi)至少有一個實根，所以方程 1)1ln( ??? xx )01( ，? 內(nèi) 有且僅有一個實根． 同理可證方程 1)1ln( ??? xx 在區(qū)間 )0( ??， 內(nèi)有且僅有一個實根． 所以方程 1)1ln( ??? xx 一共有兩個實根 ． 12． 證明方程 12210 ?????? nnn xxaxaxaa ?（其中 0?ia ， ni ,2,1,0 ?? ）在區(qū)間)0( ??， 內(nèi)有且僅有一個實根． 證明： 因為方程 12210 ?????? nnn xxaxaxaa ?與方程 112110 ????? ?? xaxaxaxa nnnn ? 在 )0( ??， 內(nèi) 共同的實根 ，所以只需證明方程 112110 ????? ?? xaxaxaxa nnnn ?在 )0( ?， 內(nèi)有且僅有一個實根．為此設函數(shù) 1)(12110 ?????? ?? xaxaxaxaxf nnnn ?（ 0?x ）， 則 0)1()1()(22112 0 ?????????? ?? xax anxnax anxf nnnn ?， )(xf 單調(diào)遞減，于是方程 112110 ????? ?? xaxaxaxa nnnn ?在 )0( ?， 內(nèi)至多有一個實根，由 0)(lim0 ?????? xfx， 01)(lim ?????? xfx，由廣義 的連續(xù)函數(shù)的 零點定理， 得 方程112110 ????? ?? xaxaxaxa nnnn ?在 )0( ??， 內(nèi) 至 少 有 一 個 實 根 ， 所 以 方 程112110 ????? ?? xaxaxaxa nnnn ?在 )0( ??， 內(nèi) 有 且 僅 有 一 個 實 根 ， 進 而 方 程12210 ?????? nnn xxaxaxaa ?在區(qū)間 )0( ??， 內(nèi)有且僅有一個實根． （注：廣義零點定理為：若函數(shù) )(xf 在開區(qū)間 )( ba， 內(nèi)連續(xù)，又 )(?af 與 )(?bf 存在且異號，則函數(shù) )(xf 在 )( ba， 內(nèi)至少有一個零點 （參見總習題一， 20） ．對無窮區(qū)間有類似結論） 習題 3— 5（ A） 1． 下列敘述是否正確？并按照你的 判斷說明理由： （ 1）根據(jù)定理 ，只有對二階可導的函數(shù)的曲線才討論凹凸性 ； （ 2）曲線 )(xfy? 的拐點是 )(xf? 的零點； （ 3）如果 ??? )(lim0 xfxx， 則 直線 0xx? 就一定 是曲線 )(xfy? 的鉛直漸近線； （ 4）如果 axfx ??? )(lim，則 直線 ay? 就一定 是曲線 )(xfy? 的水平漸近線 ． 答： （ 1）不正確 ． 定理 只是 真 對具有二階導數(shù)的函數(shù) 的曲線 討論 凹凸 性的， 而 在曲線的凹 凸性 的 定義中并不要求函數(shù)具有二階導數(shù)， 如??? ??? ? 0e 0e)( xxxfxx， ，在 )( ????，內(nèi)是凹曲線 ， 但是 )(xf 在 0?x 點不可導，當然也沒有二階導數(shù) ． （ 2）不正確 ． ① 拐點要在曲線上 ，它是一個二元有序數(shù)組 ))(( 00 xfx， ，而 )(xf? 的零點只有 橫坐標 0xx? ； ② 在曲線的 拐點處函數(shù)可能沒有二階導數(shù) ，如 3 5)( xxf ? 在)00(， 點 取得拐點，但是 )0(f? 不存在 ． （ 3） 正確 ． 鉛直 漸近線 的定義 （也可以是 ???? )(lim0 xfxx，或 ???? )(lim0 xfxx） ． （ 4）正確 ． 水平 漸近線 的定義（也可以是 axfx ???? )(lim，或 axfx ???? )(lim） ． 2． 證明曲線 3 2xy? 在區(qū)間 ]0( ，?? 和區(qū)間 )0[ ??， 內(nèi)都是凸的 ． 證明：