電大高等數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)綜合練習(xí)題解答-資料下載頁
2025-06-03 06:19本頁面
【正文】 + — + sin2x 2cos2x? 4? sin2x 8 cos2x 2 sin2xx dx? ＝ 22 c o s 8 s in 1 6 c o s2 2 2x x xx x C? ? ? ? 1計算不定積分 3xxe dx?? 解： x 1 0 ＋ — 3xe? 313 xe?? 319 xe? 3xxe dx?? ＝ 313 xxe?? 319 xeC??? 第 10 頁 共 12 頁 四、應(yīng)用題 要做一個有底無蓋的圓柱體容器 ,已知容器的容積為 4立方米 ,試問如何選取底半徑和高的尺寸 ,才能使所用材料最省。 解： 設(shè)圓柱體底半徑為 r ，高為 h ， 則體積 2 4V r h???24h r??? 材料最省即表面積最小 表面積 S ＝ 2 2r rh??? ＝ 2242rrr?????＝ 2 8rr? ? 39。S ＝ 282 r r? ? ，令 39。S ＝ 0，得唯一駐點 3 4r ?? 所以當?shù)装霃綖?34?米，此時 高為 34?米時表面積最小即材料最省。 要做一個有底無蓋的圓柱體容器 ,已知容器的容積為 16立方米 ,底面單位面積的造價為 10元 /平方米，側(cè)面單位面積的造價為 20 元 /平方米，試問如何選取底半徑和高的尺寸 ,才能使建造費用最省。 解： 設(shè)圓柱體底半徑為 r ，高為 h ， r 則體積 2 16V r h???216h r??? h 且造價函數(shù) 22 6401 0 2 0 2 1 0f r r h r r? ? ?? ? ? ? ? 令26402 0 0frr??? ? ?，得唯一駐點 3 42r?? 所以當?shù)装霃綖?342?米，此時高為 34?米時造價最低。 要用同一種材料建造一個有底無蓋的容積為 108 立方米的圓柱體容器，試問如何選取底半徑和高的尺寸 ,才能使建造費用最省。 解： 要使 建造 費用最省，就是在體積不變的情況下，使圓柱體的表面積最小。 設(shè)圓柱體底半徑為 r ，高為 h ， 則體積 2 108V r h???2108h r??? 則圓柱體倉庫的表面積為 S ＝ 2 2r rh??? ＝ 221082rrr?????＝ 2 216r r? ? 39。S ＝ 22162 r r? ? ，令 39。S ＝ 0，得唯一駐點 3 108r ?? 3 43 ??? , 第 11 頁 共 12 頁 所以當?shù)装霃綖?3 43??米，此時高為 3 43??米時表面積最小即建造 費用 最省。 在半徑為 8 的半圓和直徑圍成的半圓內(nèi)內(nèi)接一個長方形（如圖）， 為使長方形的面積最大，該長方形的底長和高各為多少。 解： 設(shè)長方形的底邊長為 2x ，高為 y ， 則 2 2 28 xy?? 264yx? ? ? 8 y 面積 22 2 64S xy x x? ? ? x x 令 2222 6 4 064xSx x??? ? ? ? ??????，得唯一駐點 42x? 所以當?shù)走呴L為 82米，此時高為 42米時面積最大。 在半徑為 8 的圓內(nèi)內(nèi)接一個長方形，為使長方形的面積最大， 該長方形的底長和高各為多少。 解：設(shè)長方形的底邊長為 2x ，高為 2y ， 則 2 2 28 xy?? 264yx? ? ? 面積 24 4 64S xy x x? ? ? 令 2224 6 4 064xSx x??? ? ? ? ??????，得唯一駐點 42x? 所以當?shù)走呴L為 82米，此時高為 82米時面積最大。 求由拋物線 2y x x??與直線 yx? 所圍 的面積。 解： 拋物線 2y x x??與直線 yx? 的交點為 ? ?0,0 ， ? ?2,2 面積 A ＝ ? ?? ?2 20 x x x dx???= ? ?2 20 2x x dx?? ＝ 223013xx???????＝ 43 求由拋物線 22yx?? 與直線 yx?? 所圍的面積。 解： 拋物線 22yx?? 與直線 yx?? 的交點為 ? ?1,1? ， ? ?2, 2? ， yx??22yx??yx2y x x??yx?xy第 12 頁 共 12 頁 面積 A ＝ ? ?2 21 2 x x dx? ???＝ 2321112 32x x x?????????＝ 92 求由拋物線 2yx? 與直線 2yx?? 所圍的面積。 解： 拋物線 2yx? 與直線 2yx?? 的交點為 ? ?1,1 ， ? ?2,4? ， 面積 A ＝ ? ?1 22 2 x x dx? ???＝ 1232112 23x x x?????????＝ 92 求由拋物線 26yx?? 與直線 yx? 所圍的面積。 解： 拋物線 26yx?? 與直線 yx? 的交點為 ? ?3, 3?? ,? ?2,2 面積 A ＝ ? ?2 23 6 x x dx? ???＝ 1256 求由拋物線 2 2yx??與直線 yx? 所圍的面積。 解： 拋物線 2 2yx??與直線 yx? 的交點為 ? ?1, 1?? ， ? ?2,2 ， 面積 A ＝ ? ?2 21 2x x dx? ???＝ 2321112 32x x x?????????＝ 92 xyyx?26yx??1 yyx?2 2yx??x2yx??2yx?yx
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