【正文】 直角三角形，再連接各腰中點，又把它們分成 4 個小等腰直角三角形和 4 個等腰梯形 ． (如圖 ⑴ 所示 )，出于分成正方形、長方形面積相等的要求考慮：分別取出兩個小等腰直角三角形和兩個梯形，就能一一拼出所要求的正方形和長方形了 (如圖 ⑵ 、 ⑶ 所示 )． 876543211 2567348 ⑴ ⑵ ⑶ 【例 39】 有一塊長 8 米、寬 3 米的長方形地毯，現(xiàn)在要把它移到長 6 米、寬 4 米的新房間里．請找出一種剪裁方法，使剪后的各塊拼合 后正好能鋪滿房間的地面，為了使剪后的地毯盡量完整，就要使剪裁的塊數(shù)盡可能地少，應(yīng)怎樣剪拼？ 【解析】 地毯的面積為 8 3 24?? 平方米，新房間的面積為 6 4 24?? 平方米，兩者雖然長、寬不相等，但面積相等．通過對比不難發(fā)現(xiàn)：地毯的長比房間的長多 2 米，房間的寬比地毯的寬多 1 米，因此，我們可以把地毯看做由 12 個 21? (平方米 )的小長方形組成的大長方形，如左 下 圖所示，要達到題目的要求，只要使原地毯的長縮 短一小格．即減少 2 米，使原地毯的寬增加一小格，即增加 1 米，我們可以沿對角線的方向，把它剪成階梯形的兩塊，并使它們的形狀和大小完全相同，如中間圖，然后把它們錯位互相拼接在一起，即陰影部分先向上平行移動 1 米，再向右平行移動 2 米，即得右 下 圖 ． 【例 40】 如何把一個長 20 厘米、寬 12 厘米的長方形切成兩塊，拼成一個長 16 厘米、寬 15 厘米的新長方形． → 43434334 43434343 415 圖形的分割與拼接 題庫 page 19 of 21 圖 d 圖 e 【解析】 因為原長方形比新長方形的長多 4 厘米，新長方形比原長方形的寬多 3 厘米，因此我們把原長方形分成 20 個長 4 厘米，寬 3 厘米的小長方形．因為新長方形的長為 16 厘米，所以原長方形的長應(yīng)減少一個小長方形，而新長方形的寬為 15 厘米，所以原長方形的寬應(yīng)增加一個小長方形．可以沿對角線的方向，把它切成 k 階梯狀的兩塊，并使他們的形狀和大小完全相同，然后把它們相互錯位交在一起， 即白色部分往上爬了一個臺階，這樣便拼成了一個新的長方形． 具體操作中可按圖 d 中的粗線把長方形分成兩塊，一移一錯一對，便可得到如圖 e 所示的長為 16 厘米，寬為 15 厘米的新長方形． 【例 41】 長方形長 24 厘米，寬 15 厘米．把它剪成兩塊，使它們拼成一個長 20 厘米，寬 18 厘米的長方形． 444434334332415 333320183443444 【解析】 長方形面積 24 15 360? ? ? (平方厘米 )，拼成的長方形面積 20 18 360? ? ? (平方厘米 )，面積相等，只是長、寬不等，但它們都可以分成 30 個 4 3 的小長方形，拼成的長方形的一半應(yīng)有 15 個 43? 的小長方形，即 5 4 3 2 1 15? ? ? ? ?．所以才有如上圖的剪切方法． 【例 42】 如下圖長方形的長、寬分別為 120 厘米、 90 厘米，正中央開有小長方形孔，長為 80 厘米，寬為 10 厘米，要拼成面積為 100 平方厘米的正方形．問如何切分，能使劃分的塊數(shù)最少． 【解析】 切分前面積為 1 2 0 9 0 8 0 1 0 1 0 0 0 0? ? ? ?(平方厘 米 )， 應(yīng)與拼成后的正方形面積相等．拼成后正方形的邊長 100x? 厘米．因為： 1 0 0 1 2 0 2 0 9 0 1 0? ? ? ?． 假設(shè)上 圖切成兩塊如下左圖，然后將右塊向上平移 10 厘米，再向左平移 20 厘米，就拼成了一個正方形，切分線不可能是直線，一定是折線段．切分后的兩塊類似階梯形，然后由兩個階梯互相嚙合，組成一個正方形，如下右圖． 102022202220222010201020101020 【例 43】 把下圖中兩個圖形中的某一個分成三塊，最后都拼在一起，使它們成為一個正方形． 415 圖形的分割與拼接 題庫 page 20 of 21 甲 510 乙21074 【解析】 不管分其中的哪一塊，最后拼得 正方形的面積與圖中兩塊面積和相等，甲面積 10 5 50? ? ? (平方厘米 )；乙面積 10 7 7 2 4 70 20 50? ? ? ? ? ? ? ?（ ） (平方厘米 )． 所以甲面積 ? 乙面積 50 50 100? ? ? (平方厘米 )，也就是最后拼得正方形的邊長為 10 厘米．甲、乙兩圖形各有一邊是 10 厘米，可視為正方形的一條邊，然后把乙剪成三塊 (如右下圖所示 )拼成的正方形，即可． 3247102乙 22255 51036 【例 44】 如下圖兩個正方形的邊長分別是 a 和 b ( ab? )，將邊長為 a 的正方形切成四塊大小、形狀都相同的圖形，與另一個正方形拼在一起組成一個正方形． abba OHNMFED CBA ⅣⅢⅡⅠObⅣⅢⅡ Ⅰ ⑴ ⑵ ⑶ 【解析】 拼成大正方形的面積應(yīng)是 a a b b? ? ? ，設(shè)邊長 c ，則有等式 c c a a b b? ? ? ? ?，又因為將邊長為 a 的正方形切成四個全等形，那么分割線一定經(jīng)過正方形中心，假設(shè)切割線 MN 為大正方形邊長，如圖⑴ ，一定有 M N M N a a b b? ? ? ? ?，而 MH a? ，則： NH b? ，所以 2AN C M BH a b? ? ? ? ?（ ），由此可以確定 MN ，然后將 MN 繞中心 O 旋轉(zhuǎn) 90 到 EF 位置，即可把正方形切成符合要求的 4 塊．如圖 ⑵ 與圖 ⑶ ．這種分法同時確保圖 ⑶ 的中間部分就是邊長為 b 的小正方形．這是因為： ⑴中心四邊形的角即邊長為 a 的正方形的四個角，∠ A ，∠ B ，∠ C ，∠ D ，又因為各邊長度相等．因此中心四邊形是正方形． ⑵中心正方形的邊長 [ 2] 2a a b a b a a b b? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（ ） （ ） （ ）． 因此，中間部分是邊長為 b 的正方形． 【例 45】 如下圖所示，這是一張十字形紙片，它是由五個全等正方形組成，試沿一直線將它剪成兩片，然后再沿另一直線將其中一片剪成兩片，使得最后得到的三片拼成兩個并列的正方形． 乙 ’甲 ’乙甲 【解析】 實際拼成兩個并列的正方形就是一個長方形，其長是寬的 2 倍，設(shè)十字形面積是 5 個平方單位，長方形的長為 x 長度單位，寬為 2x 長度單位，那么有 25, 102xxx??，即 2 2 231x ??，由勾股定理可 415 圖形的分割與拼接 題庫 page 21 of 21 知：所求長方形的長可視為一直角三角形直角邊分別是 3和 1的斜邊．它恰是兩個對角頂點的連線．剪拼方法如右圖所示，甲拼在甲 ′位置，乙拼在乙 ′位置，就可得符合題意的圖形． 【總結(jié)】 假若沿第二條線把另一片也剪成兩片，那么共剪成的 4 片是 4 個全等多邊形，這時兩條直線都經(jīng)過十字形的中心，并且互相垂直 ． 剪開的這 4 個圖形其中一個繞中心旋轉(zhuǎn) 90 也和另一個重合 ． 由此我們便得到一個 重要結(jié)論：對于一個正方形來講，如果從中心沿 360 4 90?? 角的兩邊切開，得到整個圖形的 14，這個 14的圖形若繞中心旋轉(zhuǎn) 90 一定和另外的 14的圖形重合．對于一個正三角形來講，如果從中心沿 360 3 120?? 角的兩邊切開，得到整個圖形的 13，這個 13的圖形若繞中心旋轉(zhuǎn) 120 一定也和另外的 13的圖形重合．一般情況：對于一個正 n 邊形，如果從它的中心沿 360n的角的兩邊剪開，得到整個圖形的 1n，這個 1n的圖形若繞中心旋轉(zhuǎn) 360n角，一定也和另一個 1n圖形重合．