【正文】 3sin(α +β )sinα =0 同除以 cos(α +β )cosα得： tan(α +β )tanα =313 （ 2） 以三角函數(shù)結構特點出發(fā) ∵ 3ta n 1ta n2c o s3s in c o ss in2 ?? ?????? ??? ∴ 53tan 1tan2 ???? ?? ∴ tanθ =2 ∴ 57t a n1 t a n8t a n33c o ss i n c o ss i n8)s i n(c o s32s i n42c o s3 2222 22 ??? ???????? ?????????? 注；齊次式是三角函數(shù)式中的基本式，其處理方法是化切或降冪。 例 已知函數(shù) 2xsin2xsin 24a)x(f ?? （ a∈ (0， 1)），求 f(x)的最值，并討論周期性，奇偶性，單調性。 分析： 對三角函數(shù)式降冪 81x2c o s2x2c o s141xs i n41)xs i n21(2xc o s2xs i n)2xs i n1(2xs i n2xs i n2xs i n22222224???????????????? ∴ f(x)= 8 1x2cosa ? 令 81x2cos81u ?? 則 y=au ∴ 0a1 ∴ y=au是減函數(shù) ∴ 由 ]k2,k2[x2 ????? 得 ]k,2k[x ?????，此為 f(x)的減區(qū)間 由 ]k2,k2[x2 ????? 得 ]2k,k[x ?????，此為 f(x)增區(qū)間 ∵ u(x)=u(x) ∴ f(x)=f(x) ∴ f(x)為偶函數(shù) ∵ u(x+π )=f(x) ∴ f(x+π )=f(x) ∴ f(x)為周期函數(shù)，最小正周期為π 當 x=kπ（ k∈ Z）時， ymin=1 當 x=kπ +2?（ k∈ Z）時， ynax= 41a 注：研究三角函數(shù)性質，一般降冪化為 y=Asin(ω x+φ )等一名一次一項的形式。 四、 同步練習 （一） 選擇題 下列函數(shù)中，既是（ 0，2?）上的增函數(shù)，又是以π為周期的偶函數(shù)是 A、 y=lgx2 B、 y=|sinx| C、 y=cosx D、 y= x2sin2 1 如果函數(shù) y=sin2x+acos2x圖象關于直線 x=8?對稱，則 a值為 A、 2 B、 1 C、 1 D、 2 函數(shù) y=Asin(ω x+φ )（ A0，φ 0），在一個周期內，當 x=8?時， ymax=2；當 x= ?85時，ymin=2，則此函數(shù)解析式為 A、 )42xsin(2y ??? B、 )4x2sin(2y ??? C、 )4xsin(2y ??? D、 )8x2sin(2y ???? 已知?? ??tan1 1tan=1998，則 ??? 2tan2sec 的值為 A、 1997 B、 1998 C、 1999 D、 2022 已知 tanα， tanβ是方程 04x33x 2 ??? 兩根，且α，β )2,2( ????，則α +β等于 A、 ??32 B、 ??32或3? C、3??或 ?32 D、3? 若3yx ???，則 sinx siny的最 小值為 A、 1 B、 21 C、43? D、41 函數(shù) f(x)=3sin(x+100)+5sin(x+700)的最大值是 A、 B、 C、 7 D、 8 若θ∈（ 0， 2π ]，則使 sinθ cosθ cotθ tanθ成立的θ取值范圍是 A、（2,4 ??） B、（ ?? ,43） C、（ ??23,45） D、（ ?? 2,47） 下列命題正確的是 A、 若α，β是第一象限角，α β，則 sinα sinβ B、 函數(shù) y=sinx cotx的單調區(qū)間是 )2k2,2k2( ??????， k∈ Z C、 函數(shù)x2sin x2cos1y ??的最小正周期是 2π D、 函數(shù) y=sinxcos2φ cosxsin2x的圖象關于 y軸對稱，則42k ?????， k∈ Z 函數(shù) )x2c o sx2(s inlo g)x(f31 ??的單調減區(qū)間是 A、 )8k,4k( ?????? B、 ]8k,8k( ?????? B、 )83k,8k( ?????? D、 )85k,8k( ?????? k∈ Z （二） 填空題 1 函數(shù) f(x)=sin(x+θ )+ 3 cos(xθ )的圖象關于 y軸對稱，則θ =________。 1 已知α +β =3?，且 3 (tanα tanβ +c)+tanα =0（ c為常數(shù)），那么 tanβ =______。 1 函數(shù) y=2sinxcosx 3 (cos2xsin2x)的最大值與最小值的積為 ________。 1 已知 (x1)2+(y1)2=1，則 x+y的最大值為 ________。 1 函數(shù) f(x)=sin3x 圖象的對稱中心是 ________。 （三） 解答題 1 已知 tan(α β )=21， tanβ =71?，α，β∈（ π， 0），求 2α β的值。 1 是否存在實數(shù) a，使得函數(shù) y=sin2x+acosx+23a85 ?在閉區(qū)間 [0，2?]上的最大值是1？若存在，求出對應的 a值。 1已知 f(x)=5sinxcosx 35 cos2x+ 325（ x∈ R） （ 1） 求 f(x)的最小正周期 ； （ 2） 求 f(x)單調區(qū)間； （ 3） 求 f(x)圖象的對稱軸，對稱中心。 平面向量 一、復習要求 1 向量的概念； 向量的線性運算：即向量的加減法，實數(shù)與向量的乘積，兩個向量的數(shù)量積等的定義，運算律； 向量運算的運用 二、學習指導 向量是數(shù)形結合的典范。向量的幾何表示法 —— 有向線段表示法是運用幾何性質解決向量問題的基礎。在向量的運算過程中，借助于圖形性質不僅可以給抽象運算以直觀解釋，有時甚至更簡捷。 向量運算中的基本圖形：①向量加減法則：三角形或平行四邊形；②實數(shù)與向量乘積的幾何意義 — — 共線；③定比分點基本圖形 —— 起點相同的三個向量終點共線等。 1 向量的三種線性運算及運算的三種形式。 向量的加減法，實數(shù)與向量的乘積，兩個向量的數(shù)量積都稱為向量的線性運算，前兩者的結果是向量，兩個向量數(shù)量積的結果是數(shù)量。每一種運算都可以有三種表現(xiàn)形式：圖形、符號、坐標語言。 主要內容列表如下： 運 算 圖形語言 符號語言 坐標語言 加法與減法 ???OA + ???OB = ???OC ???OB ???OA = ???AB 記 ???OA =(x1,y1)， ???OB =(x1,y2) 則 ???OA + ???OB =(x1+x2,y1+y2) ???OB ???OA =（ x2x1,y2y1） ???OA + ???AB = ???OB 實數(shù)與向量 的乘積 ???AB =λ ?a λ∈ R 記 ?a =(x,y) 則λ ?a =(λ x,λ y) 兩個向量 的數(shù)量積 ?a ?b =|?a ||?b | cos?a ,?b 記 ?a =(x1,y1), ?b =(x2,y2) 則 ?a ?b =x1x2+y1y2 運算律 加法： ?a +?b =?b +?a ， (?a +?b )+?c =?a +(?b +?c ) 實數(shù)與向量的乘積：λ (?a +?b )=λ ?a +λ ?b ； (λ +μ )?a =λ ?a +μ ?a ，λ (μ ?a )=(λμ ) ?a 兩個向量的數(shù)量 積： ?a ?b =?b ?a ； (λ ?a ) ?b =?a (λ ?b )=λ (?a ?b )，(?a +?b ) ?c =?a ?c +?b ?c 說明：根據(jù)向量運算律可知，兩個向量之間的線性運算滿足實數(shù)多項式乘積的運算法則，正確遷移實數(shù)的運算性質可以簡化向量的運算，例如 (?a 177。 ?b )2= 22 bba2a ???? ??? 2 重要定理、公式 （ 1）平面向量基本定理；如果 1?e + 2?e 是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于該平面內任一向量 ?a ，有且只有一對數(shù)數(shù)λ 1，λ 2，滿足 ?a =λ 1 1e? +λ 2 2e? ，稱λ 1 1e? λ +λ 2 2e? 為1e? ， 2e? 的線性組合。 根據(jù)平面向量基本定理，任一向量 ?a 與有序數(shù)對 (λ 1,λ 2)一一對應，稱 (λ 1,λ 2)為 ?a 在基底 { 1e? ， 2e? }下的坐標，當取 { 1e? ， 2e? }為單位正交基底 {?i ， ?j }時定義 (λ 1，λ 2)為向量 ?a 的平面直角坐標。 向量坐標與點坐標的關系：當向量起點在原點時，定義向量坐標為終點坐標，即若 A(x，y)，則 ???OA =（ x,y）；當向量起點不在原點時，向量 ???AB 坐標為終點坐標減去起點坐標，即若 A（ x1,y1）， B（ x2,y2）， 則 ???AB =(x2x1,y2y1) （ 2）兩個向量平行的充要條件 符號語言：若 ?a ∥ ?b ， ?a ≠ ?0 ，則 ?a =λ ?b 坐標語言為：設 ?a =（ x1,y1）， ?b =(x2,y2)，則 ?a ∥ ?b ? (x1,y1)=λ (x2,y2)，即??? ?? ?? 21 21 yy xx，或 x1y2x2y1=0 在這里，實數(shù)λ是唯一存在的，當 ?a 與 ?b 同向時，λ 0；當 ?a 與 ?b 異向時，λ 0。 |λ |=|b||a|?? ，λ的大小由 ?a 及 ?b 的大小確定。因此，當 ?a ， ?b 確定時，λ的符號與大小就確定了。這就是實數(shù)乘向量中λ的幾何意義。 （ 3）兩個向量垂直的充要條件 符號語言： ?a ⊥ ?b ? ?a ?b =0 坐標語言：設 ?a =(x1,y1), ?b =(x2,y2)，則 ?a ⊥ ?b ? x1x2+y1y2=0 （ 4）線段定比分點公式 如圖，設 ?????? ?? 21 PPPP 則定比分點向量式： ????????? ????21 11 1 OPOPOP ??? 定比分點坐標式：設 P（ x,y）， P1（ x1,y1）， P2（ x2,y2） 則?????????????????1yyy1xxx2121 特例：當λ =1時，就得到中點公式： )OPOP(21OP 21 ????????? ??，???????????2yyy2xxx211211 實際上，對于起點相同，終點共線三個向量 ???OP ， 1OP??? ， 2OP??? （ O 與 P1P2不共線），總有 ???OP =u 1OP??? +v 2OP??? ， u+v=1，即總可以用其中兩個向量的線性組合表示第三個向量，且系數(shù)和為 1。 （ 5）平移公式： ① 點平移公式，如果點 P（ x， y）按 ?a =（ h， k）平移至 P’（ x’， y’），則??? ?? ?? ky39。y hx39。x 分別稱（ x， y），（ x’， y’）為舊、新坐標， ?a 為平移法則 在點 P新、舊坐標及平移法 則三組坐標中，已知兩組坐標，一定可以求第三組坐標 ②圖形平移：設曲線 C： y=f(x)按 ?a =（ h， k）平移，則平移后曲線 C’對應的解析式為yk=f(xh) 當 h， k中有一個為零時，就是前面已經(jīng)研究過的左右及上下移 利用平移變換可以化簡函數(shù)解析式，從而便于研究曲線的幾何性質 （ 6）正弦定理，余弦定理 正弦定理： R2Cs incBs inbAs ina ??? 余弦定理： a2=b2+c22cbcosA b2=c2+a22cac