【正文】 ?（ n∈ N+），則 {an}為等差數(shù)列是 {bn}為等比數(shù)列的 ________條件。 （ 1）設(shè) ak（ 1≤ k≤ n）為第 k 位職工所得資金額，試求 a2， a3，并用 k， n 和 b 表示 ak（不必證明）； （ 2）證明： akak+1（ k=1， 2，?， n1），并解釋此不等式關(guān)于分配原則的實際意義。 解題思路分析： ∵ {an}為等差數(shù)列 ∴ {bn}為等比數(shù)列 從求解 {bn}著手 ∵ b1b3=b22 ∴ b23=81 ∴ b2=21 ∴ ??????????41bb817bb2131 ∴ ????? ??81b2b31 或 ???????2b 81b21 ∴ n231nn 2)41(2b ?? ?? 或 5n21nn 2481b ?? ??? ∵ nan )21(b ? ∴ n21n bloga ? ∴ an=2n3 或 an=2n+5 注：本題化歸 為 {bn}求解，比較簡單。 ∵ 1aS2 nn ?? ∴ 4Sn=(an+1)2 ∴ 4Sn1=(an1+1)2（ n≥ 2） ∴ 4(SnSn1)=(an+1)2(an1+1)2 ∴ 4an=an2an12+2an2an1 整理得： (an1+an)(anan12)=0 ∵ an0 ∴ anan1=2 ∴ {an}為公差為 2的等差數(shù)列 在 1aS2 nn ?? 中，令 n=1， a1=1 ∴ an=2n1 （ II） )1n2 11n2 1(21)1n2)(1n2( 1b n ??????? ∴ 21a2 121)a 1a1(21)]a 1a 1()a 1a 1()a 1a 1[(21B 1n1n11nn3221n ???????????? ???? 注：遞推是學(xué)好數(shù)列的重要思想，例本題由 4Sn=(an+1)2推出 4Sn1=(an1+1)2，它其實就是函數(shù)中的變量代換法。 解題思路分析： 從尋找新、舊數(shù)列的關(guān)系著手 設(shè) {an}首項為 a1，公差為 d ∵ a1， a5， a17成等比數(shù)列 ∴ a52=a1a17 ∴（ a1+4d） 2=a1(a1+16d) ∴ a1=2d 設(shè)等比數(shù)列公比為 q，則 3a d4aaaq 1n15 ???? 對nka項來說， 在等差數(shù)列中：1nn1k a2 1kd)1k(aa n ????? 在等比數(shù)列中： 1n11n1k 3aqaan ?? ?? ∴ 132k 1nn ??? ? ∴ n)331(2)132()132()132(kkk 1n1n10n21 ????????????????? ?? ??? 1n3n ??? 注：本題把 k1+k2+? +kn看成是數(shù)列 {kn}的求和問題，著重分析 {kn}的通項公式。 等比數(shù)列 （ 1） 定義：n1naa? =q（ q為常數(shù)， an≠ 0）； an2=an1an+1（ n≥ 2， n∈ N+）； （ 2） 通項公式： an=a1qn1， an=amqnm。 研究數(shù)列，首先研究對應(yīng)法則 —— 通項公式： an=f(n)， n∈ N+，要能合理地由數(shù)列前 n項寫出通項公式，其次研究前 n項和公式 Sn： Sn=a1+a2+? an，由 Sn定義，得到數(shù)列中的重要公式：??? ?? ?? ? 2nSS 1nSa 1nn1n。 1 設(shè) f(x)=12 2a x ??， x∈ R （ 1） 證明：對任意實數(shù) a， f(x)在（ ∞， +∞）上是增函數(shù)； （ 2） 當(dāng) f(x)為奇函數(shù)時，求 a； （ 3） 當(dāng) f(x)為奇函數(shù)時，對于給定的正實數(shù) k，解不等式k x1log)x(f 21 ???。 1求值：bcacabcbcaba xx1 1xx1 1xx1 1 ?????? ????????=__________。 1已知 f(x)=log3x+3， x∈ [1， 9]，則 y=[f(x)]2+f(x2)的最大值是 __________。 四、鞏固練習(xí) （一） 選擇題 定義在 R上的偶函數(shù) f(x)滿足 f(x+1)=f(x)，且在 [1， 0]上單調(diào)遞增，設(shè) a=f(3)，b=f( 2 )， c=f(2)，則 a， b， c大小關(guān)系是 A、 abc B、 acb C、 bca D、 cba 方程 x)2x(log a ??? （ a0且 a≠ 1）的實數(shù)解的個數(shù)是 A、 0 B、 1 C、 2 D、 3 |x1|)31(y ??的單調(diào)減區(qū)間是 A、（ ∞， 1） B、（ 1， +∞） C、（ ∞， 1）∪（ 1， +∞） D、（ ∞， +∞） 函數(shù) )12x4x(lo gy221 ???的值域為 A、 （ ∞， 3] B、（ ∞， 3] C、（ 3， +∞） D、（ 3， +∞） 函數(shù) y=log2|ax1|（ a≠ b）的圖象的對 稱軸是直線 x=2，則 a等于 A、 21 B、21? C、 2 D、 2 有長度為 24的材料用一矩形場地，中間加兩隔墻，要使矩形的面積最大，則隔壁的長度為 A、 3 B、 4 C、 6 D、 12 （二） 填空題 已知定義在 R 的奇函數(shù) f(x)滿足 f(x+2)=f(x)，且當(dāng) 0≤ x≤ 1時， f(x)=x，則)215(f =__________。利用單調(diào)性的性質(zhì)去掉符號“ f”得到關(guān)于 x的代數(shù)不等式，是處理抽象函數(shù)不等式的典型方法。 f(2xx2)1，求 x的取值范圍。 分析： 用待定系數(shù)法求 f(x)解析式 設(shè) f(x)=ax2+bx+c（ a≠ 0） 則 f(x)+g(x)=(a1)x2+bx+c3 由已知 f(x)+g(x)為奇函數(shù)??? ?? ?? 03c 01a ∴ ?????3c 1a ∴ f(x)=x2+bx+3 下面通過確定 f(x)在 [1， 2]上何時取最小值來確定 b，分類討論。 例 設(shè) f(x)是定義在（ ∞， +∞）上的函數(shù)，對一切 x∈ R 均有 f(x)+f(x+2)=0，當(dāng)1x≤ 1時， f(x)=2x1，求當(dāng) 1x≤ 3時，函數(shù) f(x)的解析式。 主要思想方法：數(shù)形結(jié)合，分類討論，函數(shù)方程，化歸等。 對于抽象函數(shù)，通常是抓住函數(shù)特性是定義域上恒等式，利用賦值法（變量代換法）解題。應(yīng)掌握常見的圖象變換。 求周期的重要方法：①定義法；②公式法；③圖象法；④利用重要結(jié)論：若函數(shù) f(x)滿足 f(ax)=f(a+x)， f(bx)=f(b+x)， a≠ b， 則 T=2|ab|。 判斷函數(shù)單調(diào)性的方法：①定義法，即比差法；②圖象法；③單調(diào)性的運算性質(zhì)（實質(zhì)上是不等式性質(zhì)）；④復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷法則。 奇偶性的幾何意義是兩種特殊的圖象對稱。求已知類型函數(shù)解析式的方法是待定系數(shù)法，抽象函數(shù)的解析式常用換元法及湊合法。理解函數(shù)定義域，應(yīng)緊密聯(lián)系對應(yīng)法則。逆過來，值域也會限制定義域。若 A中不同元素的象也不同，則稱映射為單射，若 B中每一個元素都有原象與之對應(yīng)，則稱映射為滿射。 1 設(shè) A={x|x2+px+q=0}≠φ， M={1， 3， 5， 7， 9}， N={1， 4， 7， 10}，若 A∩ M=φ， A∩ N=A，求 p、 q的值。 1 命題“若 ab=0，則 a、 b中至少有一個為零”的逆否命題為 ____________。 由 ??? ??? ??? 01y5x3 03y2x2得 ?1， ?2交點 P（411,417） ∵ ?過點 P ∴ 0b411417a ???? ∴ 17a+4b=11 充分性：設(shè) a， b 滿足 17a+4b=11 ∴ 4 a1711b ?? 代入 ?方程： 04 a1711yax ???? 整理得： 0)417x(a)411y( ???? 此方程表明，直線 ?恒過兩直線 0417x,0411y ????的交點（411,417） 而此點為 ?1與 ?2的交點 ∴ 充分性得證 ∴ 綜上所述，命題為真 說明：關(guān)于充要條件的證明，一般有兩種方式，一種是利用“ ? ”，雙向傳輸，同時證明充分性及必要性；另一種是分別證明必要性及充分性，從必要性著手，再檢驗充分性。 例 若 A是 B的必要而不充分條件， C是 B的充要條件， D是 C的充分而不必要條件，判斷 D是 A的什么條件。 例 已知集合 A={x|x23x+2=0}， B+{x|x2mx+2=0}，且 A∩ B=B，求實數(shù) m范圍。 M={y|y=x2+1，x∈ R}={y|y≥ 1}， N={y|y=x+1， x∈ R}={y|y∈ R} ∴ M∩ N=M={y|y≥ 1} 說明：實際上，從函數(shù)角度看，本題中的 M， N 分別是二次函數(shù)和一次函數(shù)的值域。 三、典型例題 例 已知集合 M={y|y=x2+1， x∈ R}， N={y|y=x+1， x∈ R}，求 M∩ N。 反證法是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要方法。 充分條件與必要條件 （ 1）定義：對命題“若 p 則 q”而言，當(dāng)它是真命題時， p 是 q 的充分條件， q 是 p 的必要條件，當(dāng)它的逆命題為真時， q 是 p的充分條件， p 是 q的必要條件，兩種命題均為真時，稱 p是 q的充要條件； （ 2）在判斷充分條件及必要條件時，首先要分清哪個命題是條件，哪個命題是結(jié)論，其次，結(jié)論要分四種情況說明：充分不必要條件，必要不充分條件，充分且必要條件，既不充分又不必要條件。對 p或 q 而言，當(dāng) p、 q均為假時，其為假；當(dāng) p、 q中有一個為真時，其為真；當(dāng) p為真時，非 p為假；當(dāng) p為假時，非 p為真。如數(shù)集 {y|y=x2}，表示非負實數(shù)集，點集 {(x， y)|y=x2}表示開口向上，以 y軸為對稱軸的拋物線； （ 3） 集合的表示法： ①列舉法：用來表示有限集或具有顯著規(guī)律的無限集，如 N+={0， 1， 2， 3，? }；②描述法。 二、學(xué)習(xí)指導(dǎo) 集合的概念： （ 1） 集合中元素特征，確定性，互異性，無序性； （ 2） 集合的分類： ① 按元素個數(shù)分：有限集，無限集； ②按元素特征分； 數(shù)集，點集。 命題： （ 1） 命題分類：真命題與 假命題，簡單命題與復(fù)合命題； （ 2） 復(fù)合命題的形式： p且 q， p或 q，非 p； （ 3）復(fù)合命題的真假：對 p且 q而言，當(dāng) q、 p為真時，其為真；當(dāng) p、 q中有一個為假時，其為假。因此，四種命題為真的個數(shù)只能是偶數(shù)個。 A=B時，p是 q的充要條件； （ 3） 當(dāng) p和 q互為充要時，體現(xiàn)了命題等價轉(zhuǎn)換的思想。學(xué)會用集合的思想處理數(shù)學(xué)問題。其次要化簡集合，或者說使集合的特征明朗化。集合中元素特征與 代表元素的字母無關(guān)，例 {y|y≥ 1}={x|x≥ 1}。 解題思路分析： 假設(shè) x1且 y1，由不等式同向相加的性質(zhì) x+y2與已知 x+y≥ 2矛盾 ∴ 假設(shè)不成立 ∴ x、 y中至少 有一個大于 1 說明；反證法的理論依據(jù)是：欲證“若 p則 q”為真，先證“若 p 則非 q”為假，因在條件 p下， q與非 q是對立事件（不能同時成立，但必有一個成立），所以當(dāng)“若 p則非 q”為假時，“若 p則 q”一定為真。 解題思路分析： 從必要性著手，分充分性和必要性兩方面證明。 1 關(guān)于 x的方程 |x||x1|=a有解的充要條件是 ________________。 1 已知拋物線 C： y=x2+mx1，點 M（ 0， 3）， N（ 3， 0），求拋物線 C 與線段 MN 有兩個不同交點 的充要條件。 二、學(xué)習(xí)指導(dǎo) 函數(shù)的概念： （ 1）映射：設(shè)非空數(shù)集 A， B，若對集合 A中任一元素 a，在集合 B中有唯一元素 b與之對應(yīng)，則稱從 A到 B 的對應(yīng)為映射， 記為 f： A→ B， f表示對應(yīng)法則， b=f(a)。定義域，對應(yīng)法則，值域構(gòu)成了函數(shù)的三要素，從邏輯上講，定義域，對應(yīng)法則決定了值域，是兩個最基本的因素。復(fù)合函數(shù)定義域，不僅要考慮內(nèi)函數(shù)的定義域，還要考慮到外函數(shù)對應(yīng)法則的要求。其中解析式是最常見的表現(xiàn)形式。 函數(shù)的通性 （ 1）奇偶性：函