【正文】 22121122121112c o sc o sc o s2c o sc o sc o sc o s????????????????????BBBB 10． 推導(dǎo) P波入射到自由表面時(shí)位移振幅比與位移位振幅比之間的關(guān)系。 ppPP vvAASSr1212 ?? spPS vvAASSr1414 ?? 解：入射 P波、反射 P波和反射 SV波的位函數(shù)分別為 (1)入射 P波 )cossi n(11 pv zxtjeA ???? ??? (2)反射 P波 )co ss i n(22 pvzxtjeA ???? ??? (3)反射 SV波 )c oss in(44 sv zxtjeA ???? ??? 將入射 P 波、反射 P 波和反射 SV 波位移位 1? 、 2? 和 4? ，分別代入式， ???????????????????xzwzxu???? 得到各類波相應(yīng)的位移分量 ),( 11 wu 、 ),( 22 wu 、 ),( 44 wu ； ????????????????????????????????)c o ss in(444)c o ss in(222)c o ss in(111c o ss i ns i nsppvzxtjsvzxtjpvzxtjpevjAzuevjAxuevjAxu?????????????????? ?????????????????????????????)c o ss in(444)c o ss in(222)c o ss in(111s i nc o sc o ssppvzxtjsvzxtjpvzxtjpevjAxwevjAzwevjAzw?????????????????? 0z? 處的位移 s 根據(jù)其分量計(jì)算 入射 P波： )s in(121211 pvxtjpeAvjwuS ??? ???? 反射 P波： )s in(222222 pvxtjpeAvjwuS ??? ???? 反射 SV 波： )s in(424244 svxtjseAvjwuS ??? ???? 得到 0z? 處的反射波和入射波振幅比：（利用廣義 Snell 定律sp vv?? sinsin ? ，后面的 e指數(shù)是相同的） ppPP vvAASSr1212 ?? spPS vvAASSr1414 ?? 位移振幅比等于位移位振幅比乘以相應(yīng)波傳播速度之比的倒數(shù)。 ？具有什么特點(diǎn)？ 推 導(dǎo) 瑞雷面波的位函數(shù) ? ?? ?RRRRik C t xqzik C t xszAe eBe e??????? ?????? 。 推導(dǎo)瑞雷面波的存在條件，即 ????RC 。 答：瑞雷面波是由于縱波與橫波入射到自由表面時(shí)干涉而產(chǎn)生的 。 Rayleigh面波是沿 x方向平行于自由表面?zhèn)鞑?，波的振幅與 z坐標(biāo)有關(guān)，并且在 z0，即下半空間隨著 z 的增大，振 幅呈指數(shù)衰減，當(dāng) z→∞時(shí)，該波不存在。 瑞雷面波 的位函數(shù) ?和 ? 滿足齊次波動(dòng)方程 01 2222 ????? ??pvt 01 2222 ????? ?? svt 波動(dòng)方程的通解可以表示為： )1()c oss in( 22 ????? ?? pxp vczxctjkv zxtj AeAe ???? )1()c oss in( 22 ????? ?? sxs vczxctjkv zxtj BeBe ???? 設(shè)波沿 x 方向的視速度為 c，視波長為 xk ， ckx?? ， ?sinpvc? 瑞雷面波是沿 x 方向以 c 為速度傳播的平面簡諧波，則波函數(shù)形式可以寫成： )(122xctjkvczjk xpx eAe ???? )(122 xctjkvczjk xsx eBe ???? 把第一項(xiàng)改造為振幅沿 z方向 (z0)衰減的項(xiàng)，而所討論的瑞雷面波正是具有這樣的性質(zhì)。為此將 c改寫為 Rv ，表示瑞雷面波的傳播速度， xk 改寫為 Rk ，取 2222 11pRRpRR vvzkvvzjk ???? 222 11 sRRsR vvzkzjk ???? 為了使上面兩項(xiàng)為實(shí)數(shù)，要求 0122 ??pRvv ， 01 22 ??sRvv ，即 ????Rv 。 令 2222222222222 11PRpRp RRRpRRpRR kkvkv vkkvvvvvkr ?????????? ?? 222222 2222222 11 SRsRsRRRsRRsRR kkvkv vkkvvvvvks ?????????? ?? 所以瑞雷波波函數(shù)為 )( xtvikrz RReAe ???? )( xtviksz RReBe ???? 12．設(shè) 0P 點(diǎn)有一震源，激發(fā)簡諧振動(dòng) itAe? ，以球面波形式向四周傳播，經(jīng) 0t 時(shí)間后，傳播至以 00r ct? 為半徑的球面 S上，試用 Kichhoff 積分公式 ? ? 1114 1),( 2? ?????? ????????? ??????????? ???SdSnrrtnrCrnrtP ????? 推導(dǎo)計(jì)算球面外任意一點(diǎn) P處波場的 Kichhoff衍射公式。 解： 圍繞 P點(diǎn)確定一個(gè)閉合曲面 S，它由三部分構(gòu)成： Q點(diǎn)處（ WW ?? ） , （ 22 SS ?? ）（ 33 SS ?? ）至無限遠(yuǎn)處。 0r? 是 0P 點(diǎn)至 Q 點(diǎn)的矢量； r? 是 P 點(diǎn)至 Q 點(diǎn)的矢量； n? 是 S曲面 Q點(diǎn)處外法線方向 ? ： n? 與 r? 之間的夾角； 0? ：n? 與 0r? 之間的夾角。 由惠更斯原理可知， 0P 處振動(dòng)為簡諧振動(dòng) tiAe? ， 0P 發(fā)出的球面波到達(dá) Q點(diǎn)處的波函數(shù)為： 00reAe ikrti ?? 閉合曲面 S內(nèi)無震源，因此利用齊次波動(dòng)方程的克其霍夫積分解得到： ? ? 1114 1),( 2?? ?????? ????????? ??????????? ???WWdSfnrrtfnrCrnfrtPf ? 在曲面 S 上00reAef ikrti ?? ? ，代入上式整理： （ 1）nrrfrnfr ??????????????????? 0011 其中 )1()(0000000 ikrreAereAerrf ik rtiik rti ???????? ?? ?? 所以 )1(00)(00 ikrreAerfik rcrti ????????? ?? ??? 000000000000 c os)c os ()c os (l i ml i ml i ml i m ????? ????? ????????????????? ???????? nnnrn rrnrnr nnnn? 因此000 c os)1(10 ?? ikrrereAenfr ik rik rti ????????? ???? （ 2） ?c os11 ?????? ????????? ???? tfCrtfnrCr 其中 ?? c osc osl i ml i m00 ????????? ???? nnnrnr nn 00reeAitf ikrti ???? ?? ，00reeeAitf ik rik rti ????????? ?? ?? 所以 ?? ? c os100rereAeCitfnrCr ik rik rti ????????? ???? （ 3） ? ? ?? c os11020rereAerfnrr ik rik rti ????? 因此 Q點(diǎn)對(duì) P點(diǎn)波場的貢獻(xiàn)為： c os)1(c os)1(4 1),( 0000?????????? ?????WWi k ri k rti dSCirikrrereAetPf ???? ? 如果 ???0r 和 ???r 的條件成立，即波的傳播距離 0r 和 r 遠(yuǎn)大于波長，則有 ??210 iikr ??， ??? 21 iCir ?? 再考慮到整個(gè) 1S 曲面對(duì) P點(diǎn)波場的貢獻(xiàn)，則 )c os(c os2),( 0020 dSirereAetPf Sik rik rti ???? ?? ???? 這就是求外部空間波場的克其霍夫衍射公式。 02222 ????? uCtu 的 Kirchhoff 積分公式 dstunrcrrnunurtpu S?? ?????? ??????????? ][1)1(][][14 1),( ?。 （格林公式為： ???? ?????????? sv dsnUUnUUdvUUUU )()( //2//2 ） 解：齊次波動(dòng)方程 02222 ????? uCtu （ 1） A．對(duì)方程（ 1）進(jìn)行時(shí)間域傅立葉變換： ???? ?? dtetzyxuzyxU ti?? ),(),( 則有亥姆霍茲方程 022 ??? UkU 其中222 ck ?? B．另選一個(gè)函數(shù) /U ，使它與 U 具有相同的性質(zhì)，即同是 波動(dòng)方程的解， 滿足亥姆霍茲方程；滿足格林公式 ?????????????? sv dsnUUnUUdvUUUU )()( //2//2 因?yàn)?022 ??? UkU 和 0/2/2 ??? UkU ， 所以 0//2 ???? UUUU 代入格林公式得到 0)( // ????????s dsnUUnUU （ 2） C．取一個(gè)球面波解函數(shù) reU ikr??/ ，它在 0?r 處是奇異的，為了使之滿足格林公式，用一個(gè)以 p 為中心，以 ? 為半徑的球面 /s 將 p點(diǎn)包圍，把它剔除，這樣（ 2）式變?yōu)?))(())((/???????????? ???? ????sikiksi k ri k r dsnUeenUdsnUrerenU ?? ?? （ 3） D．通過整理計(jì)算 ????? 4)())((/pUdsnUeenUsikik ?????????? （ 4） 代入（ 3）式得 ?? ???????? sik rik r dsrenUnUrepU )]([41)( ? （ 5） E．再經(jīng)反傅立葉變換????? dtezyxUtzyxu ti??? ),(21),(并整理得 Kirchhoff 積分公式dstunrcrrnunurtpuS?? ?????? ??????????? ][1)1(][][14 1),( ? ，其中)(][ crtuu ??為 u的推遲位，其它雷同。 P0 發(fā)出簡諧波 tiAe? ,平行于地面的界面 S 的反射系數(shù)為ξ ,利用 Kirchhoff 衍射公式 ?? ?? ??10 )c osc os(2),( 00sik rik rti dsirereAetpf ???? 求 P點(diǎn)接收到的反射波函數(shù) ),( tpf 。 解：在 S 面上取任意點(diǎn) R，在 R處的面積元為 ds，波入射到 R點(diǎn)時(shí)乘以反射系數(shù)，因此 R處的反射波函數(shù)為： 00ikriteAer??? ，反射波沿原入射路徑返回 地面觀測點(diǎn) P，其波場值為： ? ?0000ikr ikrit eeA e krr?????? ， 其中反射波傳播路徑為 RP ，與 0PR相同。 S反射面對(duì) P點(diǎn)波場的總貢獻(xiàn)為： ? ?0000( , ) ik r ik rits eef p t A e k d srr?????? ?? 其中? ? ? ?0c o s c o s2ik ? ? ???? 從右圖可以看出 0? ? ??? ? ? ? ?? ?0c o s c o s2c o s c o s c o