【正文】 BD=BC,從而 四邊形 BCFD 為菱形 【解】 四邊形 BCFD 是菱形，理由如下： ∵點(diǎn) D、點(diǎn) E 分別是 AB、 AC 的中點(diǎn) ∴ 12DE BC=， DE∥ BC 又∵ CFE? 是由 ADE? 旋轉(zhuǎn) 180? 而得 ∴ DE=EF ∴ DF∥ BC， DF=BC ∴四邊形 BCFD 是平行四邊形 又∵ AB=2BC，且點(diǎn) D 為 AB 的中點(diǎn) ∴ BD=BC ∴ 四邊形 BCFD 是菱形 【說(shuō)明】 這類(lèi)題給出問(wèn)題的條件，讓解題者根據(jù)條件探索相應(yīng)的結(jié)論 .它要求解題者充分利用條件進(jìn)行大膽而合理的猜想，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出結(jié)論 .這類(lèi)題主要考察解題者的發(fā)散性思維和所學(xué)知識(shí)的應(yīng)用能力． 3． 規(guī)律類(lèi)探究題 規(guī)律類(lèi)探究題則是綜合合情推理與演繹推理，使得問(wèn)題得解 ． 例 3 觀察下表，回答問(wèn)題： 第 個(gè)圖形中“△”的個(gè)數(shù)是“○”的個(gè)數(shù)的 5 倍． 【分析】 根據(jù)上表中圖形的數(shù)量，列出下表： 圖形序號(hào) 1 2 3 ? “△”的個(gè)數(shù) 1 4 9 ? “○”的個(gè)數(shù) 4 8 12 ? 把表中 “△”的個(gè)數(shù)與“○”的個(gè)數(shù)分別與圖形序號(hào)進(jìn)行比較，可以發(fā)現(xiàn)在第 n (n為正整數(shù) )個(gè)圖形中，“△”的個(gè)數(shù)是 n2，“○”的個(gè)數(shù) 4n 要使圖形中 “△”的個(gè)數(shù)是“○”的個(gè)數(shù)的 5倍，則需 n2=5﹙ 4n﹚ 解得 n1=0,n2=20（因?yàn)檎麛?shù)，故 0不合題意，舍去），所以第 20個(gè)圖形中 “△”的個(gè)數(shù)是“○”的個(gè)數(shù)的 5倍． 序號(hào) 1 2 3 ? 圖形 ? 【解】 20 【說(shuō)明】 探索規(guī)律問(wèn)題在中考試卷中已經(jīng)屢見(jiàn)不鮮，通常以探索一種圖形數(shù)量規(guī)律的居多，而本題要同時(shí)探索兩種圖形的數(shù)量規(guī)律，而且通過(guò)兩種圖形數(shù)量之間的等量關(guān)系，把方程融入其中，別具一格。我們?cè)诮虒W(xué)中，也應(yīng)該學(xué)會(huì)洞察知識(shí)之間新的契合點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。 4． 開(kāi)放性探究題 開(kāi)放性探究題中的“開(kāi)放性”是與傳統(tǒng)問(wèn)題中條件結(jié)論的“封閉性”相對(duì)而言的．其開(kāi)放性主要體現(xiàn)在問(wèn)題的答案不唯一，在知識(shí)結(jié)構(gòu)方面要 求學(xué)生有較全面、扎實(shí)的數(shù)學(xué)功底，在思維方式方面要求學(xué)生會(huì)自主地進(jìn)行多層次、多角度的探索，其解答往往能很好地考查學(xué)生的基本數(shù)學(xué)素質(zhì)，體現(xiàn)了“以人為本”的思想 —— 對(duì)于同一問(wèn)題，不同的學(xué)生站在不同的角度有著不同的理解． 例 4 一輛汽車(chē)從 A 地駛往 B 地，前 13路段為普通公路，其余路段為高速公路．已知汽車(chē)在普通公路上行駛的速度為 60km/h，在高速公路上行駛的速度為 100 km/h，汽車(chē)從 A 地到 B 地一共行駛了 ． 請(qǐng)你根據(jù)以上信息，就該汽車(chē)行駛的“路程”或“時(shí)間”，提出一個(gè)用 二元一次 ． ． ． ．方程組 ． ． ． 解決的問(wèn)題，并寫(xiě)出解答過(guò)程． 【分析】 本題要求就該汽車(chē)行駛的“路程” 或“時(shí)間”，提出問(wèn)題，而且只能用“二元一次方程組”來(lái)解決問(wèn)題。下面從列表分析，看能有多少種不同的提問(wèn)方式： 普通路 高速路 總計(jì) 路程 (km) A B C 速度 (km/h) 60 100 時(shí)間 (h) D E 表中有 A、 B、 C、 D、 E 5 個(gè)空，我們可以任意選 2 個(gè)空作為問(wèn)題提出來(lái)，都滿(mǎn)足題目要求。這樣就有 10 種提問(wèn)方式下面僅列舉 4 種方式。 方式 1：從 A、 B 這 2 個(gè)空來(lái)提問(wèn)：普通公路和高速公路各為多少千米？ 【解】 設(shè)普通公路長(zhǎng)為 xkm，高速公路長(zhǎng)為 ykm. 根據(jù)題意，得 2x=y， 60 100xy?? 解得 x=60， y=120 方式 2：從 D、 E 這 2 個(gè)空來(lái)提問(wèn)：汽車(chē)在普通公路和高速公路各行駛了多少小時(shí)？ 【解】 設(shè)汽車(chē)在普通公路上行駛了 xh，高速公路上行駛了 yh 根據(jù)題意，得 ?? ， 60 2 100xy?? 解得 x=1， y= 方式 3：從 A、 C 這 2 個(gè)空來(lái)提問(wèn)，普通公路和兩地公路總長(zhǎng)各為多少千米？ 【解】 設(shè)普通公路長(zhǎng)為 xkm，兩地公路總長(zhǎng)為 ykm 根據(jù)題意，得 13xy?， 60 100x y x??? 解得 x=60， y=180 方式 4： 從 A、 D這 2個(gè)空來(lái)提問(wèn)：普通公路有多少千米，汽車(chē)在普通公路上 行駛了多少小時(shí)？ 【解】 設(shè)普通公路長(zhǎng)為 xkm，汽車(chē)在普通公路上行駛了 yh 根據(jù)題意，得 x=60y， 2x=100(﹣ y) 解得 x=60， y=1 【說(shuō)明】 本題是一道應(yīng)用題，給出一些條件，但沒(méi)有明確提問(wèn) .該題要求考生根據(jù)所給信息，就自己提出的問(wèn)題進(jìn)行解答 .這屬于結(jié)論“有限”開(kāi)放型題目 .說(shuō)到“有限”，是因?yàn)轭}目實(shí)際上限定了只能就該汽車(chē)的“路程”或“時(shí)間”提問(wèn)，并且提出的問(wèn)題要能用“二元一次方程組”解決 .它要求解題者從分利用條件進(jìn)行大膽而合理的猜測(cè) ,發(fā)現(xiàn)規(guī)律 ,得出結(jié)論 .這類(lèi)題主要考察考生的發(fā)散性思維和所學(xué)知識(shí)的 應(yīng)用能力 . 5。 存在性探究題 存在性探究題一般在假設(shè)存在的基礎(chǔ)上建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型 (如函數(shù)、方程、不等式等 )，運(yùn)用一定的數(shù)學(xué)思想方法 (如數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論等 )，通過(guò)計(jì)算或推理確定是否存在． 例 5 如圖 163，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 ? ?2,0? ，連結(jié) OA，將線段 OA 繞原點(diǎn) O順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 120?，得到線段 OB. (1)求點(diǎn) B 的坐標(biāo)； (2)求經(jīng)過(guò) A， O， B 三點(diǎn)的拋物線的解析式； (3)在 (2)中拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn) C，使BOC? 的周長(zhǎng)最小？若存在，求出點(diǎn) C 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 . (4)如果點(diǎn) P 是 (2)中的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且在 x軸的下方，那么 PAB? 是否有最大面 積？若有，求出此時(shí) P 點(diǎn)的坐標(biāo)及 PAB? 的最大面積；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由 . 【分析】 (3)中要使 BOC? 的周長(zhǎng)最小，只需在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上找點(diǎn) C 使得 OC﹢BC 最?。?根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，利用軸對(duì)稱(chēng)性可得點(diǎn) O 關(guān)于拋物線對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn) A，連結(jié)點(diǎn) A 點(diǎn) B 與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn) C (4)假設(shè) ? ?,Pxy ，則 PAB? 的面積 可表達(dá)為 23 1 9 32 2 8x??? ? ?????.故可得 當(dāng) 12x??時(shí)，B A O y x 圖 163 D B A O y x P 圖 165 PAB? 的面積的最大值為 938 ， 此時(shí)13,24P???????? 【解】 (1) ? ?1, 3B (2)設(shè)拋物線的解析式為 ? ?y ax x a??，代入點(diǎn) ? ?1, 3B ，得 33a?， 因此 23 2 333y x x?? (3)如圖 164，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線 1x?? ， 當(dāng)點(diǎn) C位于對(duì)稱(chēng)軸與線段 AB的交點(diǎn)時(shí)，BOC? 的周長(zhǎng)最小 . 設(shè)直線 AB 為 y kx b?? 所以33, 32 0 . 233kkbkb b? ??? ??????? ? ??? ? ???解 得 ， 因此直線 AB 為 3 2 333yx??， 當(dāng) 1x?? 時(shí)， 33y? 因此點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 ? ?1, 3? ． (4） 如圖 165，過(guò) P 作 y 軸的平行 線交 AB 于 D． 21 ( ) ( )21 3 2 3 3 2 3 32 3 3 3 3P A B P A D P B D D P B AS S S y y x xx x x? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? 233 322xx? ? ? ? C B A O y x 圖 164 23 1 9 32 2 8x??? ? ? ????? 當(dāng) 12x??時(shí)， PAB? 的面積的最大值為 938，此時(shí) 13,24P???????? 【說(shuō)明】 本題同時(shí)涉及代數(shù)與幾何知識(shí)，是綜合性很強(qiáng)的題型． (3)中拋物線的對(duì)稱(chēng)軸相當(dāng) 于一條河流 ,點(diǎn) B 、點(diǎn) C相當(dāng)于兩個(gè)村莊，此小題的數(shù)學(xué)模型為“一條河流兩個(gè)村莊” .(4)中利用圖形的分割表達(dá)出三角形的面積，得到數(shù)學(xué)模型“二次函數(shù)”，再應(yīng)用二次函數(shù)的最值解決問(wèn)題 .重點(diǎn)考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力及想象、推理能力．在復(fù)習(xí)時(shí)要對(duì)函數(shù)、一元二次方程及圖形的變換等內(nèi)容熟練掌握，并對(duì)此類(lèi)題型作重點(diǎn)練習(xí)． 6． 動(dòng)手操作類(lèi)探究題 例 6 在平面直角坐標(biāo)中 ，邊長(zhǎng)為 2 的正方形 OABC 的兩頂點(diǎn) A, C 分別在 y 軸、x 軸的正半軸上 ，點(diǎn) O 在原點(diǎn) .現(xiàn)將正方形 OABC 繞 O 點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng) A 點(diǎn)第一次落在直線 y＝ x 上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中， AB 邊交直線 y＝ x 于點(diǎn) M， BC 邊交 x軸于點(diǎn) N（如圖 166） . (1)求邊 OA 在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所掃過(guò)的面積； (2)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng) MN 和 AC 平行時(shí)，求正方形 OABC 旋轉(zhuǎn)的度數(shù)； (3)設(shè) MBN? 的周長(zhǎng)為 p，在旋轉(zhuǎn)正方形OABC 的過(guò)程中， p 值是否有變化？請(qǐng)證明你的結(jié)論 . 【分析】 ⑴ 邊 OA 在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所 形成的圖形是以 OA 為半徑， 45? 為圓心角的 扇形 . ⑵ 求正方形 OABC 旋轉(zhuǎn)的度數(shù) 即求AOM? 的度數(shù) .易得 OAM? ≌ OCN? ,從而AOM CON? ?? ,又由于 直線 y=x 與 x 軸的夾角為 45?, 所以 1 ( 9 0 4 52A O M? ? ? ? ?? ? ???? ? ⑶ 延長(zhǎng) BA 交 y軸于 E點(diǎn) ,得 OME? ≌ OMN? ,從而 MN=ME,再由線段的等量代換的 MBN? 的周長(zhǎng) p=AB﹢ BC=4?【解】 (1)∵ A 點(diǎn)第一次落在直線 y=x 上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)， ∴ OA 旋轉(zhuǎn)了 45?. ∴ OA 在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所掃過(guò)的面積為 245 2360 2??? ?. (2)∵ MN∥ AC， ∴ 45B M N B A C? ? ? ? ?, 45B NM B CA? ? ? ? ?. 圖 166 O A B C M N yx? x y ∴ BMN BNM? ?? . ∴ BM=BN. 又∵ BA=BC， ∴ AM=CN. 又∵ OA=OC, OAM OCN? ?? , ∴ OAM? ≌ OCN? . ∴ AOM CON? ?? . ∴ 1 ( 9 0 4 52A O M? ? ? ? ?? ? ???? ?. ∴旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng) MN 和 AC 平行時(shí)，正方形 OABC 旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為 45?? ?????? ?????. (3)答： p 值無(wú)變化 . 【證明】 延長(zhǎng) BA 交 y 軸于 E 點(diǎn)， 則 ?AOE＝ 45?－ ?AOM， ?CON＝ 90?－ 45?－ ?AOM＝ 45?－?AOM， ∴ AOE CON? ?? . 又∵ OA=OC， ?OAE＝ 180?－ 90?＝90?＝ ?OCN, ∴ AOE? ≌ OCN? . ∴ OE=ON,AE=CN. 又∵ 045M O E M O N? ? ? ?,OM=OM, ∴ OME? ≌ OMN? . ∴ MN=ME=AM﹢ AE. ∴ MN= AM﹢ CN.， ∴ 4p M N B N B M A M C N B N B M A B B C? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. ∴在旋轉(zhuǎn)正方形 OABC 的過(guò)程中， p 值無(wú)變化 . 【說(shuō)明】 操作型問(wèn)題主要借助三角板、紙片等工具進(jìn)行圖形的折與展、割與補(bǔ)、平移與旋轉(zhuǎn)等變換，通過(guò)操作和理解性的思考，考察解題者的空間想象、推理和創(chuàng)新能力 .題目既有難度中等的小型題，也有注重知識(shí)形成過(guò)程、體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法的探索性問(wèn)題 .解決此問(wèn)題的關(guān)鍵是抓住圖形變化中的不變性 .引導(dǎo)學(xué)生一步步思考，層次分明，層層遞進(jìn)，能較好 地培養(yǎng)學(xué)生的探究能力 . 【命題趨勢(shì)與復(fù)習(xí)建議】 1．命題趨勢(shì) 探究性問(wèn)題命題的設(shè)置往往綜合觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、猜想、論證等探究性活動(dòng)．通過(guò)對(duì)近幾年各地中考試題的分析，不難發(fā)現(xiàn)如下趨勢(shì)： (1)探究題未必是難題．許多探究性問(wèn)題都是以經(jīng)典的基礎(chǔ)題甚至是課本習(xí)題為背景改編而成． 圖 167 O A B C M N yx? x y E (2)對(duì)于《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中“新增”內(nèi)容或增加篇幅的內(nèi)容，如概率統(tǒng)計(jì)、圖形的變換、課題學(xué)習(xí)等，因?yàn)槠洹靶隆?，故而引發(fā)了命題者的無(wú)限遐想，于是以此為背景產(chǎn)生了眾多新試題． (3)新課程強(qiáng)調(diào)學(xué)生的活動(dòng)，于是，實(shí)驗(yàn)操作也就自然地走進(jìn)了中考試題． (4)探究問(wèn)題往往是各地中考“壓軸題”的命題方向，在實(shí)際探究過(guò)程中．往往要用到各種數(shù)學(xué)思想方法，如分類(lèi)討論思想、數(shù)形結(jié)合、化歸思想、函數(shù)與方程思想，等等． 2．復(fù)習(xí)建議 為使學(xué)生能更好地適應(yīng)探究性問(wèn)題的挑戰(zhàn)，在復(fù)習(xí)中，教師應(yīng)注意以下幾個(gè)方面： (1)在課堂教學(xué)中，問(wèn)題的呈現(xiàn)方式應(yīng)具有多樣性，活潑多樣的題型更有利于激發(fā)學(xué)生的探究欲望． (2)在所選課堂例題的問(wèn)題設(shè)置方面，跨度不妨適當(dāng)大一點(diǎn)，從而使得問(wèn)