【正文】 ③將該函數(shù)圖象向右平移，當(dāng)圖象經(jīng)過原點時， A， B 兩點隨圖象移 至點 A′， B′， 求 △ OA′B′的面積． 【分析】 ③題利用第②小題求得的與 x 軸的交點求出將原函數(shù)向右平移的距離，即可求得 A′， B′的坐標(biāo)，進(jìn)而構(gòu)造求得△ OA′B′ 面積． 【解】 ①由頂點 A(－ 1， 4)，可設(shè)函數(shù)關(guān)系式為 2( 1) 4 , ( 0)y a x a? ? ? ?．由圖象過點B(2，－ 5)，得－ 5＝ a(2＋ 1)2＋ 4，解得 a＝－ 1．∴二次函數(shù)關(guān)系式為 y＝－ (x＋ 1)2＋ 4． ②令 0?x ，得 y＝－ (0＋ 1)2＋ 4＝ 3，故圖象與 y 軸交點為 (０ ， 3)．令 y＝ 0，得 0＝－ (x＋ 1)2＋ 4，解得 1,3 21 ??? xx ．故圖象與 x 軸交點為 (－ 3， ０ )和 (1， ０ )． ③函數(shù)圖象向右平移 3 個單位后經(jīng)過原點．故 A′(2， 4)． B′(5，－ 5)．從而OABS ??△ 15?． 【說明】 本題拋物線平移的可通過一組對應(yīng)點 (－ 3， ０ )向右平移一個單位到 (０ ， ０ ) 確定平移的距離為 3，從而得到其他點 A(－ 1， 4)， B(2，－ 5)兩點 的對應(yīng)點 A′(2， 4)，B′(5，－ 5)， 然后根據(jù)點的坐標(biāo)求 △ OA′B′面積 ．也可以平移坐標(biāo)軸，如把 x 軸上移 2個單位，把 y 軸左移 3 個單位，相當(dāng)于把拋物線下移 2 個單位，再右移 3 個單位． 平移是初中幾何圖形的四大變換之一， 也和函數(shù)圖象及坐標(biāo)軸緊密相關(guān)， 是中考的?？純?nèi)容．試題的出現(xiàn)形式也不拘一格，選擇、填空、作圖以及壓軸題都有平移的身影，但不管以什么形式出現(xiàn)，牢牢掌握平移的特征是解決此類問題的法寶． 【命題趨勢與復(fù)習(xí)建議】 1．命題趨勢 通過以上分析，運動型問題作為中考試卷中的“區(qū)分題”或“壓軸題”并非偶然或巧合．預(yù)測 2022 年中考運動型問題命題將突出以下幾個特點： (1)運動型問題的設(shè)置會注意知識面的覆蓋，考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識 、 基本 技能 、 基本思想方法的“三基”要求，及邏輯思維能力 、 綜合運算能力 、 空間想象能力和用所學(xué)基礎(chǔ)知識分析和解決問題的能力的 “四能” ． (2)此類試題具有動靜結(jié)合，以靜制動，從特殊到一般的特征，綜合性較 強，既可考查幾何知識 (相似，等腰三角形及特殊的四邊形，圓 )的綜合運用能力，又能聯(lián)系函數(shù)與方程等重點代數(shù)知識，處于知識 點的交匯處，預(yù)測運動型試題作為中考填空或倒數(shù)兩個壓軸題的可能性較大． (3)試題將進(jìn)一步強調(diào)試題的基礎(chǔ)性 、 應(yīng)用性 、 開放性 、 探究性． 2．復(fù)習(xí)建議 (1)學(xué)習(xí)課標(biāo)，深研教材．重視核心內(nèi)容的教學(xué)，抓好基礎(chǔ)，發(fā)展能力，以期達(dá)到“以不變應(yīng)萬變”的效果． (2)加強近幾年試題研究．把握中考運動型問題的考查方式及試題特點，教學(xué)設(shè)計可設(shè)“運動型專題”，在解題教學(xué)中，要充分重視利用多媒體課件直觀演示或?qū)嵨锊僮?，從中發(fā)現(xiàn)運動變化規(guī)律，增強感性認(rèn)識，并適時適度進(jìn)行一題多解、一題多變的訓(xùn)練，達(dá)到舉一反三，融會貫通，克服畏難情緒， 激發(fā)學(xué)生的探究熱情． (3)注重解題后的反思，使學(xué)生在反思中明確解這類試題時，不論是點動，線動還是形動，關(guān)鍵是抓住“靜”的瞬間，“以靜制動”是良策，有機滲透數(shù)學(xué)思想方法是解題關(guān)鍵． (4)平時的教學(xué)實踐多思考設(shè)計一些新穎的動態(tài)場景， (如幾何畫板的運用 )讓學(xué)生通過實驗，操作，觀察，和分析，歸納來發(fā)現(xiàn)規(guī)律等．提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和空間想象能力．讓學(xué)生運用所學(xué)的數(shù)學(xué)基本知識和基本技能，結(jié)合數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想來提高分析問題，解決問題的能力決非朝夕就能實現(xiàn)的，需要師生在平時的教學(xué)中日積月累的． 【 返回目錄 】 專題二 探究性問題 【試題特點】 在近幾年全國各地的中考試卷中，常常能看到許多值得回味的探究性問題．所謂探究性問題，是指問題的條件或結(jié)論尚不明確，需通過探究去補充條件或完善結(jié)論的一類問題．這類問題能很好地實現(xiàn)對學(xué)生數(shù)學(xué)品質(zhì)的考查，這和新課程的理念相符，因此探究性問題也就很自然地成為近幾年新課程中考的熱點問題． 探究性問題的“探究性”是與傳統(tǒng)問題的“明確性”相對而言的．一般情況下，傳統(tǒng)問題條件完備，結(jié)論明確，只需計算結(jié)果或?qū)Y(jié)論加以論證．而探究性問題則是通過 對問題的剖析，選擇并建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，經(jīng)過觀察、試驗、分析、比較、類比、歸納、猜測、推斷等探究性活動來探索解題思路． 【試題分類賞析】 探究性問題按探究方向可分為條件探究題、結(jié)論探究題、規(guī)律類探究題、開放性探究題、存在性探究題、動手操作類探究題等． 1。和 120176。和 75176。”；王華同學(xué)說：“其余兩角是 75176。． 當(dāng)∠ A 是底角時，設(shè)頂角是 β， ∴ 30?＋ 30?＋ β ＝ 180?，β ＝ 120?． ∴其余兩角分別是 0176。=42BF tBE t? ?， t＝ 1． 當(dāng) (2)∠ FEB＝ 90?時 ， cos60186。 存在性探究題 存在性探究題一般在假設(shè)存在的基礎(chǔ)上建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型 (如函數(shù)、方程、不等式等 )，運用一定的數(shù)學(xué)思想方法 (如數(shù)形結(jié)合、分類討論等 )，通過計算或推理確定是否存在． 例 5 如圖 163，在直角坐標(biāo)系中，點 A 的坐標(biāo)為 ? ?2,0? ，連結(jié) OA，將線段 OA 繞原點 O順時針旋轉(zhuǎn) 120?，得到線段 OB. (1)求點 B 的坐標(biāo)； (2)求經(jīng)過 A， O， B 三點的拋物線的解析式； (3)在 (2)中拋物線的對稱軸上是否存在點 C，使BOC? 的周長最??？若存在，求出點 C 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 . (4)如果點 P 是 (2)中的拋物線上的動點，且在 x軸的下方，那么 PAB? 是否有最大面 積？若有，求出此時 P 點的坐標(biāo)及 PAB? 的最大面積；若沒有，請說明理由 . 【分析】 (3)中要使 BOC? 的周長最小，只需在拋物線的對稱軸上找點 C 使得 OC﹢BC 最?。?根據(jù)“兩點之間線段最短”，利用軸對稱性可得點 O 關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為點 A，連結(jié)點 A 點 B 與拋物線的對稱軸的交點就是所求的點 C (4)假設(shè) ? ?,Pxy ，則 PAB? 的面積 可表達(dá)為 23 1 9 32 2 8x??? ? ?????.故可得 當(dāng) 12x??時，B A O y x 圖 163 D B A O y x P 圖 165 PAB? 的面積的最大值為 938 ， 此時13,24P???????? 【解】 (1) ? ?1, 3B (2)設(shè)拋物線的解析式為 ? ?y ax x a??，代入點 ? ?1, 3B ，得 33a?， 因此 23 2 333y x x?? (3)如圖 164，拋物線的對稱軸是直線 1x?? ， 當(dāng)點 C位于對稱軸與線段 AB的交點時，BOC? 的周長最小 . 設(shè)直線 AB 為 y kx b?? 所以33, 32 0 . 233kkbkb b? ??? ??????? ? ??? ? ???解 得 ， 因此直線 AB 為 3 2 333yx??， 當(dāng) 1x?? 時， 33y? 因此點 C 的坐標(biāo)為 ? ?1, 3? ． (4） 如圖 165，過 P 作 y 軸的平行 線交 AB 于 D． 21 ( ) ( )21 3 2 3 3 2 3 32 3 3 3 3P A B P A D P B D D P B AS S S y y x xx x x? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? 233 322xx? ? ? ? C B A O y x 圖 164 23 1 9 32 2 8x??? ? ? ????? 當(dāng) 12x??時， PAB? 的面積的最大值為 938，此時 13,24P???????? 【說明】 本題同時涉及代數(shù)與幾何知識，是綜合性很強的題型． (3)中拋物線的對稱軸相當(dāng) 于一條河流 ,點 B 、點 C相當(dāng)于兩個村莊，此小題的數(shù)學(xué)模型為“一條河流兩個村莊” .(4)中利用圖形的分割表達(dá)出三角形的面積，得到數(shù)學(xué)模型“二次函數(shù)”，再應(yīng)用二次函數(shù)的最值解決問題 .重點考查了學(xué)生綜合分析問題、解決問題的能力及想象、推理能力．在復(fù)習(xí)時要對函數(shù)、一元二次方程及圖形的變換等內(nèi)容熟練掌握，并對此類題型作重點練習(xí)． 6． 動手操作類探究題 例 6 在平面直角坐標(biāo)中 ，邊長為 2 的正方形 OABC 的兩頂點 A, C 分別在 y 軸、x 軸的正半軸上 ，點 O 在原點 .現(xiàn)將正方形 OABC 繞 O 點順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng) A 點第一次落在直線 y＝ x 上時停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中， AB 邊交直線 y＝ x 于點 M， BC 邊交 x軸于點 N（如圖 166） . (1)求邊 OA 在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積； (2)旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng) MN 和 AC 平行時，求正方形 OABC 旋轉(zhuǎn)的度數(shù)； (3)設(shè) MBN? 的周長為 p，在旋轉(zhuǎn)正方形OABC 的過程中， p 值是否有變化？請證明你的結(jié)論 . 【分析】 ⑴ 邊 OA 在旋轉(zhuǎn)過程中所 形成的圖形是以 OA 為半徑， 45? 為圓心角的 扇形 . ⑵ 求正方形 OABC 旋轉(zhuǎn)的度數(shù) 即求AOM? 的度數(shù) .易得 OAM? ≌ OCN? ,從而AOM CON? ?? ,又由于 直線 y=x 與 x 軸的夾角為 45?, 所以 1 ( 9 0 4 52A O M? ? ? ? ?? ? ???? ? ⑶ 延長 BA 交 y軸于 E點 ,得 OME? ≌ OMN? ,從而 MN=ME,再由線段的等量代換的 MBN? 的周長 p=AB﹢ BC=4?【解】 (1)∵ A 點第一次落在直線 y=x 上時停止旋轉(zhuǎn)， ∴ OA 旋轉(zhuǎn)了 45?. ∴ OA 在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積為 245 2360 2??? ?. (2)∵ MN∥ AC， ∴ 45B M N B A C? ? ? ? ?, 45B NM B CA? ? ? ? ?. 圖 166 O A B C M N yx? x y ∴ BMN BNM? ?? . ∴ BM=BN. 又∵ BA=BC， ∴ AM=CN. 又∵ OA=OC, OAM OCN? ?? , ∴ OAM? ≌ OCN? . ∴ AOM CON? ?? . ∴ 1 ( 9 0 4 52A O M? ? ? ? ?? ? ???? ?. ∴旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng) MN 和 AC 平行時，正方形 OABC 旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為 45?? ?????? ?????. (3)答： p 值無變化 . 【證明】 延長 BA 交 y 軸于 E 點， 則 ?AOE＝ 45?－ ?AOM， ?CON＝ 90?－ 45?－ ?AOM＝ 45?－?AOM， ∴ AOE CON? ?? . 又∵ OA=OC， ?OAE＝ 180?－ 90?＝90?＝ ?OCN, ∴ AOE? ≌ OCN? . ∴ OE=ON,AE=CN. 又∵ 045M O E M O N? ? ? ?,OM=OM, ∴ OME? ≌ OMN? . ∴ MN=ME=AM﹢ AE. ∴ MN= AM﹢ CN.， ∴ 4p M N B N B M A M C N B N B M A B B C? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. ∴在旋轉(zhuǎn)正方形 OABC 的過程中， p 值無變化 . 【說明】 操作型問題主要借助三角板、紙片等工具進(jìn)行圖形的折與展、割與補、平移與旋轉(zhuǎn)等變換，通過操作和理解性的思考，考察解題者的空間想象、推理和創(chuàng)新能力 .題目既有難度中等的小型題，也有注重知識形成過程、體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法的探索性問題 .解決此問題的關(guān)鍵是抓住圖形變化中的不變性 .引導(dǎo)學(xué)生一步步思考，層次分明，層層遞進(jìn)，能較好 地培養(yǎng)學(xué)生的探究能力 . 【命題趨勢與復(fù)習(xí)建議】 1．命題趨勢 探究性問題命題的設(shè)置往往綜合觀察、實驗、歸納、猜想、論證等探究性活動．通過對近幾年各地中考試題的分析，不難發(fā)現(xiàn)如下趨勢： (1)探究題未必是難題．許多探究性問題都是以經(jīng)典的基礎(chǔ)題甚至是課本習(xí)題為背景改編而成． 圖 167 O A B C M N yx? x y E (2)對于《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中“新增”內(nèi)容或增加篇幅的內(nèi)容，如概率統(tǒng)計、圖形的變換、課題學(xué)習(xí)等，因為其“新”，故而引發(fā)了命題者的無限遐想，于是以此為背景產(chǎn)生了眾多新試題． (3)新課程強調(diào)學(xué)生的活動，于是，實驗操作也就自然地走進(jìn)了中考試題． (4)探究問題往往是各地中考“壓軸題”的命題方向，在實際探究過程中．往往要用到各種數(shù)學(xué)思想方法，如分類討論思想、數(shù)形結(jié)合、化歸思想、函數(shù)與方程思想，等等． 2．復(fù)習(xí)建議 為使學(xué)生能更好地適應(yīng)探究性問題的挑戰(zhàn)，在復(fù)習(xí)中，教師應(yīng)注意以下幾個方面： (1)在課堂教學(xué)中，問題的呈現(xiàn)方式應(yīng)具有多樣性，活潑多樣的題型更有利于激發(fā)學(xué)生的探究欲望． (2)在所選課堂例題的問題設(shè)置方面，跨度不妨適當(dāng)大一點，從而使得問題更