高考數(shù)學(xué)失誤大盤點(diǎn)3數(shù)列失誤點(diǎn)-資料下載頁
2025-01-08 14:01本頁面
【正文】 將分式化為整式的思維定勢(shì)造成的 . 解決遞推數(shù)列問題的基本原則是根據(jù)遞推數(shù)列的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化 . 掌握以下幾類遞推關(guān)系的轉(zhuǎn)化，可極大地提高解題效率 . ① a n +1 = qa n +10 形式可用待定系數(shù)法： a n +1 + λ = q ( a n + λ ) ； ② 形式可用取倒數(shù)法； ③觀察法，如 namaannn ???1.2)1( 1)11(2 2221 nanaana nnnn ??? ?????正解 ∵ f ( x ) ＝2 xx ＋ 1， ∴ an ＋ 1＝ f ( an) ＝2 anan＋ 1， ∴1an ＋ 1＝12＋12 an. ∴1an ＋ 1－ 1 ＝12(1an－ 1) ，又 bn＝an1 － an， ∴1bn＝1an－ 1 ， ∴1bn ＋ 1＝121bn， ∴ bn ＋ 1＝ 2 bn，又 b1＝a11 － a1＝ 2 ， ∴ { bn} 是以 2 為首項(xiàng)，公比為 2 的等比數(shù)列． ∴ bn＝ 2n. 變式訓(xùn)練 4 已知函數(shù) f ( x ) 滿足：對(duì)任意的 x ∈ R ， x ≠ 0 ， 恒有 f (1x) ＝ x 成立，數(shù)列 { a n } 、 { b n } 滿足 a 1 ＝ 1 ， b 1 ＝ 1 ，且對(duì)任意 n ∈ N*，均有 a n ＋ 1 ＝a n f ( a n )f ( a n ) ＋ 2， b n ＋ 1 － b n ＝1a n. ( 1 ) 求函數(shù) f ( x ) 的解析式； ( 2 ) 求數(shù)列 { a n } 、 { b n } 的通項(xiàng)公式． 解 ( 1 ) 令 t ＝1x，則 t≠ 0 ， ∵ f (1x) ＝ x ， ∴ f ( t ) ＝1t( t ≠ 0) ，即 f ( x ) ＝1x( x ≠ 0) ． ( 2 ) ∵ f ( an) ＝1an， ∴ an ＋ 1＝anf ( an)f ( an) ＋ 2＝11an＋ 2＝an2 an＋ 1， ∴1an＋1＝1an＋ 2 ，即1an＋1－1an＝ 2. ∴ {1an} 是以 1 為首項(xiàng)，公差為 2 的等差數(shù)列． ∴1an＝ 1 ＋ 2( n － 1) ＝ 2 n － 1 ， ∴ an＝12 n － 1. 又 bn＋1－ bn＝1an＝ 2 n － 1 ， ∴ bn－ bn－1＝ 2 n － 3 ， bn－1－ bn－2＝ 2 n － 5 ， bn－2－ bn－3＝ 2 n － 7 ， … … b3－ b2＝ 3 ， b2－ b1＝ 1 ， ∴ bn－ b1＝ 1 ＋ 3 ＋ 5 ＋ … ＋ (2 n － 3) ＝( 1 ＋ 2 n － 3 ) ( n － 1 )2＝ n2－ 2 n ＋ 1 ， ∴ bn＝ n2－ 2 n ＋ 2.
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