【正文】 解。 【精講精析】 (I)由正弦定理得 2 2 22a c ac b? ? ? 由余弦定理得 2 2 2 2 c osb a c ac B? ? ? 。 數(shù)學(xué)試卷 第 27 頁(yè)（共 64 頁(yè)） 故 2cos 2B? ，因此 45B? 。 （ II） si n si n( 30 45 )A ?? si n 30 c os 45 c os 30 si n 45?? 264?? 故 s in 2 6 13s in 2Aab B ?? ? ? ? ? s in s in 6 026s in s in 4 5Ccb B? ? ? ? ?. (19)(本小題滿 分 l2分 )(注意： 在試題卷上作答無(wú)效 ． ． ． ． ． ． ． ． ． ) 根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料，某地車主購(gòu)買甲種保險(xiǎn)的概率為 ，購(gòu)買乙種保險(xiǎn)但不購(gòu)買甲種保險(xiǎn)的概率為 . (I)求該地 1位車主至少購(gòu)買甲、乙兩種保險(xiǎn)中的 1種的概率； （Ⅱ）求該地 3位車主中恰 有 1位車主甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買的概率 . 【思路點(diǎn)撥】此題第（ I）問(wèn)所求概率可以看作“ 該地的 1位車主購(gòu)買乙種保險(xiǎn)但不購(gòu)買甲種保險(xiǎn)”和“該地的 1 位車主購(gòu)買甲種保險(xiǎn)”兩個(gè)事件的和。由于這兩個(gè)事件互斥，故利用互斥事件概率計(jì)算公式求解。 (II)第（ II）問(wèn)，關(guān)鍵是求出“ 該地的 1 位車主甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買”的概率，然后再借助 n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)發(fā)生 k次的概率計(jì)算公式求解即可 . 【精講精析】 記 A表示事件：該地的 1位車主購(gòu)買甲種保險(xiǎn)： B 表示事件：該地的 1位車主購(gòu)買乙種保險(xiǎn)但不購(gòu)買甲種保險(xiǎn)。 C 表示事件：該地的 1位車主至 少購(gòu)買甲、乙兩種保險(xiǎn)中的 1種； D 表示事件：該地的 1位車主甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買； E 表示事件：該地的 3位車主中恰有 1位車主甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買。 （ I） P(A)=,P(B)=,C=A+B P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=. 數(shù)學(xué)試卷 第 28 頁(yè)（共 64 頁(yè)） (II)D=C ,P(D)=1P(C)==, P(E)= 223 ? ? ?. (20） (本小題滿 分 l2 分 )(注意： 在試題卷上作答無(wú)效 ． ． ． ． ． ． ． ． ． ) 如圖，四 棱錐 S ABCD? 中， AB ∥ CD ,BC CD? ，側(cè)面SAB 為等邊三角形 . 2 , 1AB BC C D SD? ? ? ?. (I) 證明： SD SAB?平 面 (II) 求 AB與平面 SBC 所成角的大小。 【思路點(diǎn)撥】第（ I）問(wèn)的證明的突破口是利用等邊三角 形 SAB這個(gè)條件，找出 AB的中點(diǎn) E，連結(jié) SE， DE，就做出了解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵輔助線。 (II)本題直接找線面角不易找出，要找到與 AB 平行的其它線進(jìn)行轉(zhuǎn)移求解。 【精講精析】 證明：（ I）取 AB中點(diǎn) E，連結(jié) DE，則四邊形 BCDE為矩形， DE=CB=2。 連結(jié) SE，則 ,3SE AB SE?? 又 SD=1，故 2 2 2ED SE SD?? 所以 DSE? 為直角。 由 ,AB D E AB SE D E SE E? ? ?，得 AB SDE?平 面 ,所以 AB SD? . SD 與兩條相交直線 AB、 SE 都垂直。 所以 SD SAB?平 面 （ II）由 AB SDE? 平 面 知， ABC D SDE?平 面 平 面 作 SF DE? ，垂足為 F，則 SF ABC D? 平 面 , 32S D S ESF DE??? 作 FG BC? ，垂足為 G，則 FG=DC=1。 連結(jié) SG，則 SG BC? 又 FG BC? ， SG FG G? ,故 ,BC SFG SBC SFG??平 面 平 面 平 面， DCASBEFGHDCASB數(shù)學(xué)試卷 第 29 頁(yè)（共 64 頁(yè)） 作 FH SG? ， H為垂足，則 FH SBC? 平 面 . 37S F F GFH SG??? 即 F到平面 SBC的距離為 217 。 由于 ED//BC，所以 ED//平面 SBC， E到平面 SBC 的距離 d也為 217 。 設(shè) AB與平面 SBC所成的角為 ? ，則 21sin 7dEB? ??, 21arcsin 7? ? . 解法二： 以 C為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線 CD為 x軸正半軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系 Cxyz,設(shè) D（ 1， 0， 0），則 A（ 2， 2， 0）， B（ 0， 2， 0）。 又設(shè) S（ x,y,z），則 x0,y0,z0. (I) ( 2 , 2 , ) , ( , 2 , ) , ( 1 , , )A S x y z B S x y z D S x y z? ? ? ? ? ? ? 由 2 2 2 2 2 2| | | | ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )A S B S x y z x y z? ? ? ? ? ? ? ? ?得 故 x=1. 由 | | 1DS? 得 221yz??， 又由 | | 2BS? 得， 2 2 2( 2) 4x y z? ? ? ? 即 22 4 1 0y z y? ? ? ?，故 13,22yz??。 于是 1 3 3 3 3 3 1 3( 1 , , ) , ( 1 , , ) , ( 1 , , ) , ( 0 , , )2 2 2 2 2 2 2 2S A S B S D S? ? ? ? ? ?， 0 , 0D S A S D S B S? ? ? ? 故 ,DS AS DS BS??，又 AS BS S? 所以 SD SAB?平 面 . （ II）設(shè)平面 SBC的法向量 ( , , )a m n p? ， 數(shù)學(xué)試卷 第 30 頁(yè)（共 64 頁(yè)） 則 , , 0 , 0 ,a B S a CB a B S a CB? ? ? ? ? ? 又 33(1 , , ) , ( 0 , 2 , 0 )22B S C B? ? ? 故 33 02220m n pn? ? ? ?????? 取 2p? 得 ( 3,0,2)a ?? ，又 ( 2,0,0)AB ?? 21c o s , 7| | | |A B aA B a A B a?? ? ? ??. 故 AB與平面 SBC所成的角為 21arcsin 7 . （ 21） (本小題滿 分 l2 分 )(注意： 在試題卷上作答無(wú)效 ． ． ． ． ． ． ． ． ． ) 已知函數(shù) ? ?32( ) 3 ( 3 6 ) + 1 2 4f x x a x a x a a R? ? ? ? ? ? (Ⅰ )證明：曲線 ( ) 0y f x x??在 處 的 切 線 過(guò) 點(diǎn) （ 2 ， 2 ） ； （Ⅱ）若 00()f x x x x??在 處 取 得 最 小 值 ， （ 1 ， 3 ） ，求 a的取值范圍。 【思路點(diǎn)撥】第 (I)問(wèn)直接利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線的斜率，然后易寫出直接方程。 (II)第（ II）問(wèn)是含參問(wèn)題，關(guān)鍵是抓住方程 ( ) 0fx? ? 的判別式進(jìn)行分類討論 . 【精講精析】 解：（ I） 2( ) 3 6 3 6f x x ax a? ? ? ? ?. 由 ( 0) 12 4 , ( 0) 3 6f a f a?? ? ? ?得曲線 ()y f x? 在 x=0處的切線方程為 (3 6 ) 12 4y a x a? ? ? ? 由此知曲線 ()y f x? 在 x=0處的切線過(guò)點(diǎn)（ 2， 2）。 （ II）由 ( ) 0fx? ? 得 2 2 1 2 0x ax a? ? ? ? （ i） 當(dāng) 2 1 2 1a? ? ? ? ?時(shí)， ()fx沒(méi)有極小值； (ii)當(dāng) 21a??或 21a?? ? 時(shí)，由 ( ) 0fx? ? 得 數(shù)學(xué)試卷 第 31 頁(yè)（共 64 頁(yè)） 22122 1 , 2 1x a a a x a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 故 02xx? 。由題設(shè)知 21 2 1 3a a a? ? ? ? ? ?， 當(dāng) 21a??時(shí)，不 等式 21 2 1 3a a a? ? ? ? ? ?無(wú)解； 當(dāng) 21a?? ? 時(shí)，解不等式 21 2 1 3a a a? ? ? ? ? ?得 5 212 a? ? ? ? ? 綜合 (i)(ii)得 a 的取值范圍是 5( , 2 1)2? ? ? 。 （ 21）已知 O為坐標(biāo)原點(diǎn)， F為橢圓 22:12yCx??在 y軸正半軸上的焦點(diǎn)，過(guò) F且斜 率為2的直線 l 與 C交與 A、 B兩點(diǎn)，點(diǎn) P滿足 A O B O P? ? ? (Ⅰ )證明：點(diǎn) P在 C上； （Ⅱ）設(shè)點(diǎn) P關(guān)于點(diǎn) O 的對(duì)稱點(diǎn)為 Q，證明： A、 P、 B、 Q四點(diǎn)在同一圓上 . 【思路點(diǎn)撥】方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理是解決這類問(wèn)題的基本思路，注意把 A O B O P? ? ?用坐標(biāo)表示后求出 P點(diǎn)的坐標(biāo)，然后再結(jié)合直線方程把 P點(diǎn)的縱坐標(biāo)也用 A、 B 兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示出來(lái)。從 而求出點(diǎn) P的坐標(biāo)代入橢圓方程驗(yàn)證即可證明點(diǎn) P 在 C 上。 (II)此問(wèn)題證明有兩種思路：思路一：關(guān)鍵是證明,APB AQB??互補(bǔ) .通過(guò)證明這兩個(gè)角的正切值互補(bǔ)即可，再求正切值時(shí)要注意利用倒角公式。 思路二：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)圓心一定在弦的垂直平分線上，所以根據(jù)兩條弦的垂直平分線的交點(diǎn)找出圓心 N，然后證明 N到四個(gè)點(diǎn) A、 B、 P、 Q的距離相等即可 . 【精講精析】 (I)設(shè) 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 直線 : 2 1l y x?? ? ， 與 22 12yx ??聯(lián)立得 24 2 2 1 0xx? ? ? 126 2 6 2,44xx???? 1 2 1 221,24x x x x? ? ? ? 數(shù)學(xué)試卷 第 32 頁(yè)（共 64 頁(yè)） 由 A O B O P? ? ?得 1 2 1 2( ( ), ( ))P x x y y? ? ? ? 12 2() 2xx? ? ? ?, 1 2 1 2 1 2( ) ( 2 1 2 1 ) 2 ( ) 2 1y y x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 222 ( 1)( ) 122?? ? ? 所以點(diǎn) P在 C上。 （ II）法一：12121212( 1 ) ( 1 )22( ) ( )ta n ( 1 ) ( 1 )1 122( ) ( )22P A P BP A P ByyxxkkAPB yykkxx? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ??? ? ? ? 2 1 2 11 2 1 23 ( ) 4( )33 2 93 ( )22x x x xx x x x????? ? ? 同理 212121211122 ()22ta n111 122()22Q B Q AQ A Q ByyxxkkA Q B yykkxx???? ? ??? ? ? ??? ??? ? ? 1 2 2 11 2 1 2( ) 4( )3213 ( )22x x x xx x x x??? ? ?? ? ? 所以 ,APB AQB??互補(bǔ)， 因此 A、 P、 B、 Q四點(diǎn)在同一圓上。 法二：由 2( , 1)2P ??和題設(shè)知， 2( ,1)2Q ,PQ 的垂直平分線 1l 的方程為 22yx?? ? ① 數(shù)學(xué)試卷 第 33 頁(yè)（共 64 頁(yè)） 設(shè) AB的中點(diǎn)為 M，則 21( , )42M ， AB的垂直平分線 2l 的方程為 2124yx??? ② 由 ① ② 得 1l 、 2l 的交點(diǎn)為 21( , )88N ? 222 2 1 3 1 1| | ( ) ( 1 )2 8 8 8NP ? ? ? ? ? ? ?, 2 21 32| | 1 ( 2 ) | | 2A B x x? ? ? ? ? ? 32||4AM ? , 222 2 1 1 3 3| | ( ) ( )4 8 2 8 8MN ? ? ? ? ?, 22 3 1 1| | | | | | 8N A A M M N? ? ? 故 | | | |NP NA? .| | | |, | | | |N P N Q N A N B?? 所以 A、 P、 B、 Q四點(diǎn)在同一圓圓 N 上 . 數(shù)學(xué)試卷 第 34 頁(yè)（共 64 頁(yè)） 2022 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（全國(guó)卷 Ⅱ ） 數(shù)學(xué)（文科）解析 一、 選擇題 （ 1）設(shè)全 集 ? ?*U6x N x? ? ?，集合 ? ? ? ?A 1,3 B 3,5??， ,則 U()AB?240。 （ ） （ A） ? ?1,4 （ B） ? ?1,5 （ C） ? ?2,4 （ D） ? ?2,5 【解析】 C ：本題考查了 集合的基本運(yùn)算 . 屬于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算的考查 . ∵ A={1,3}。 B={3,5}， ∴ {1,