1672含參量反常積分-資料下載頁
2025-10-03 14:39本頁面
【導(dǎo)讀】下面只對無窮限積分討論，無界函數(shù)的情。設(shè)是定義在無界區(qū)域上,簡稱為含參量反常積分.一致收斂的充要條件;adxxF)(因為收斂，所以由廣義積分一致收斂的柯西。例1在內(nèi)一致收斂???狄利克雷判別法;,),(x，yyxgbaxii且對參量的單調(diào)函數(shù)為函數(shù)??從而，當(dāng)時，有???
【正文】 y 發(fā)散，因此 ????1s i n2 y d ye yx 關(guān)于 ),0[ ???x 不可能一致收斂 . 例 4 計算積分 ? ?? ? ???? 0 ) , 0 ( , s i ns i n abpdxx axbxeI px解 ? ?00 sin sin c o sbpx px ab x a xI e d x e x y d yx? ? ? ??? ???? ? ?s i n s i n c osbabx ax x y dyx? ? ?0 c o sb pxad x e x y d y?? ?? ??220 c o sbb pxaapd y e x y d x d ypy?? ????? ? ?a r c ta n a r c ta nbapp??例 5 利用積分號下求導(dǎo)求積分 ??????012 )()( nn axdxaI （ n 為正整數(shù)， 0?a ） 解 因為 10212 )(1)(1?? ??? nn axax00 ?? aa而 ?????0102 )( naxdx 收斂，故 ??????012 )()( nn axdxaI在 00 ?? aa 一致收斂。 因為 aaxaaxdx2a r c t a n1 |002?????????故 ?????02 axdxdad?????022 )( axdx2/3)21(2??? a??????0222axdxdad????0 32 )(2axdx2/5)23)(21(2???? a?由數(shù)學(xué)歸納法易證 ?????02 axdxdadnn??????012 )(!)1( nnaxdxn2122!)!12()1(2?????nnn an?于是 ??????012 )()( nn axdxaI212!)!2(!)!12(2????nann?例 6 計算積分 ??? ??0)(222dxe xax解 ??? ??0)( 222dxe xax??? ????02)( 2dxeaxax??? ????0)(2 2dxee xaxa令 txax ???????? dte t 2 ??? ????02)()1(2dxxae xax??????0)( 2xade xax??????0)( 2dxe xax在第二項積分中令 yxa ?? 得 ??? ???0)( 2xade xax??? ???0)( 2dye yay故 ??? ??0)(222dxe xax ??? ????0)(2 2dxee xaxaae 22?? ?22 t0tae e d???? ?小結(jié)、5(2), 含參量反常積分一致收斂的定義 。 (1), 含參量反常積分的定義 。 (3), 含參量反常積分一致收斂的判別 。 ? 一致收斂的柯西準(zhǔn)則 : ? 一致收斂的充要條件 。 ? 魏爾斯特拉斯 M判別法 。 ? 阿貝耳判別法 。 ? 狄利克雷判別法 。 (4), 含參量反常積分的性質(zhì) 。 ( i), 連續(xù)性 。 (ii), 可微性 。 (iii), 可積性
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