【正文】 ASTOPLASTICITY OF SOLIDS 〈 3〉 為了得出空間坐標(biāo)系間的旋轉(zhuǎn)變換，我們分別以 和 為基矢建立正交坐標(biāo)系 Oxyz和 Ox’y’z’，于是各坐標(biāo)軸間夾角的方 向余弦亦可寫成上述的形式： kji , 39。,39。,39。 kji333231232221131211lllllllll 39。39。39。 zyxzyx〈 4〉 今給定一空間矢量 設(shè)在 Oxyz系中， 在 Ox39。y39。z39。系中， 則有： ,r? zkyjxir ????39。39。39。39。39。39。 kzjyixr ????(237) krzjryirx ?????? ??? ,39。39。,39。39。,39。39。 krzjryirx ?????? ???(239) (238) (240) 在式（ 236）兩邊同時點乘 有： ,r???????????????39。39。39。39。39。39。39。39。39。333231232221131211zlylxlzzljlilyzlylxlx???????????????????????????????39。39。39。333231232221131211zyxlllllllllzyx（ 241） 簡記為： }39。){(}{ xCx ? （ 241） ′ 或 45 應(yīng)用彈塑性力學(xué) APPLIED ELASTOPLASTICITY OF SOLIDS ???????????????????????????????zyxlllllllllzyx33231332221231211139。39。39。同理可得到： 簡記為： }{)(}39。{ xCx T? （ 242） 于是，按以上的分析，對空間任意矢量 {n}經(jīng)旋轉(zhuǎn)變換后成為 {n’}， 便有： }{)(}39。{ nCn T? }39。){(}{ nCn ?和 特別地，當(dāng) {n}為單位矢量時， {n’}也為單位矢量。 **（？） 46 應(yīng)用彈塑性力學(xué) APPLIED ELASTOPLASTICITY OF SOLIDS 〈 5〉 不同坐標(biāo)系下一點的應(yīng)力狀態(tài)： 設(shè)一點的應(yīng)力狀態(tài)在坐標(biāo)系 Oxyz中為 ，在坐標(biāo)系 Ox’y’z’中 為 ，由坐標(biāo)系 Oxyz到 Ox’y’z’ 間的變換矩陣為 [C]，則有： )( ij?)39。( ij?])[(][)39。( CC ijTij ?? ?Tijij CC ])[39。]([)( ?? ?（ 243） （ 244） 或 證明：事實上，由前面討論的應(yīng)力分量互換定理，在不同的坐標(biāo)系 中確定該點在 截面上的應(yīng)力矢量在 方向上的投影 ： n? 1n? 1NN?}){(}{ 11 nn ijTNN ?? ?}39。){39。(}39。{ 11 nn ijTNN ?? ? }{)(}39。{ nCnT?}{])[39。]([}{ 11 nCCn TijTNN ?? ?比較知： Tijij CC ])[39。]([)( ?? ?}39。]{)[(][}39。{ 11 nCCn ijTTNN ?? ?}39。){(}{ nCn ?])[(][)39。( CC ijTij ?? ? **思考： NN?47 應(yīng)用彈塑性力學(xué) APPLIED ELASTOPLASTICITY OF SOLIDS 〈 6〉 上面給出的應(yīng)力狀態(tài)的轉(zhuǎn)換關(guān)系對于主應(yīng)力和主應(yīng)變的討論 是有幫助的。由： 我們根據(jù)定理，可找正交 矩陣 [C]，使 成對角形矩陣 結(jié)論：對角形應(yīng)力狀態(tài)矩陣 是由應(yīng)力狀態(tài)的三個主應(yīng)力組成的 對角矩陣。 這是很顯然的，因為： 1176。 的對角線元素是 的特征行列式的全部特征值。 2176。 特征行列式的特征值定義為主應(yīng)力。 ])[(][)39。( CC ijTij ?? ?)39。( ij? )( i?)( i?)( i? )( ij?)( ij?])[(][)( CC ijTi ?? ?由此： 注意到： ?????????????????????????????????????????333231232221131211332313322212312111321000000llllllllllllllllllzzyzxyzyyxxzxyx????????????48 應(yīng)用彈塑性力學(xué) APPLIED ELASTOPLASTICITY OF SOLIDS 即 }])[{(}][{)( iijTii nn ?? ? （ 245） 顯然有：把 變換成對角陣 的正交矩陣 [C] 是由應(yīng)力主平面的方位（對應(yīng)于各特征值的特征向量）組成的矩陣。 )( ij? )( i?**[附注 ] 定理：對于任意一個 n 級實對稱矩陣 [A] ，都存在一個 n 級正交矩陣 [T] ，使 成對角形。 ]][[][]][[][ 1 TATTAT T ??〈 7〉 由于應(yīng)力狀態(tài)具有的這些特性，根據(jù)數(shù)學(xué)上的定義，確定一 點的應(yīng)力狀態(tài)的九個應(yīng)力分量 是一二階張量，并且由切應(yīng)力互等 定理， 是一個二階對稱張量。 ???????????zzyzxyzyyxxzxyxij?????????? )()( ij?)( ij? 25 球型應(yīng)力張量和應(yīng)力偏量： 形變：體積改變 + 形狀改變 1176。 體積改變：由于各向相等的正應(yīng)力引起的 。 試驗證明 ， 在這 種應(yīng)力狀態(tài)作用下 ， 固體材料一般表現(xiàn)為彈性性質(zhì) 。 2176。 形狀改變：材料的塑性變形主要是由物體產(chǎn)生形狀改變時產(chǎn) 生的 。 應(yīng)力分解：任一點的應(yīng)力狀態(tài) ， 根據(jù)以上特點 ， 可以分解成 兩部分： 其中： 49 應(yīng)用彈塑性力學(xué) APPLIED ELASTOPLASTICITY OF SOLIDS ij?ijij S?? ?????????????mmm????000000??????????????mzzyzxyzmyyxxzxymxijS????????????定義為球形應(yīng)力張量，簡稱球張量，引起體積改變。 定義為偏斜應(yīng)力張量，或應(yīng)力偏量，引起形狀改變。 應(yīng)力狀態(tài)的幾何解釋： 1 應(yīng)力二次曲面： 考察一點應(yīng)力狀態(tài)的任意斜截面上的正應(yīng)力表示式： 50 應(yīng)用彈塑性力學(xué) APPLIED ELASTOPLASTICITY OF SOLIDS 831 )( ????? ???? zyxm而 }){(}{ nn ijTN ?? ? （ 214） 在直角坐標(biāo)系中，由于 前式兩邊同乘以 r2 ，便有： ???????????????????????zyxnmlrnrr }{}{}){(}{2 rrr ijTN ?? ? （ 246） 令 NKr ?22 ?? 便有： 2}){(}{ Krr ijT ??? （ 247） 展開得： 此式給出一空間二次曲面的方程，“ +、 ”號的選取以使曲面為實面為原則。 2222 222 Kzxyzxyzyx zxyzxyzyx ??????? ?????? （ 248） 討論： 1176。 式 （ 247） 的幾何解釋： 即在 Oxyz系中取一矢徑 r ， 其長度與該方向的正應(yīng)力 存在關(guān)系 51 應(yīng)用彈塑性力學(xué) APPLIED ELASTOPLASTICITY OF SOLIDS 22 Kr N ???NKr??N?2176。 應(yīng)力二次曲面（ 248）的應(yīng)用：給定一點的應(yīng)力狀態(tài)后，可用幾何方法求出所要求截面上的應(yīng)力矢量、正應(yīng)力和切應(yīng)力。 步驟如下： a、作出應(yīng)力二次曲面。 b、垂直與所給的截面 S， 做矢量 r 交二次曲面 于 Q點。 c、由式 ，算出 的值。在 上取一線段 ，使 22rKN ??? N?QP0 AP0 NAP ??0K為常數(shù)。 0PSA r?Q d、過 Q點做切面 QT（切面 Q點的法線是 N′） e、過 P0點做切平面 QT 的垂線與 QT 交于 B 。 f、過 A點作 P0Q 的垂線 AE 與 P0B 相交于 E 。 則矢量 P0E 便代表 S 平面上的應(yīng)力矢量， 切應(yīng)力用矢量 AE 來代表。 52 應(yīng)用彈塑性力學(xué) APPLIED ELASTOPLASTICITY OF SOLIDS 3176。 論證截面 S 上的應(yīng)力矢量 與 Q 點的法線方向 相一致。 事實上，我們只要令： Np?39。N?zxyzxyzyxzyxF zxyzxyzyx ?????? 222),(2 222 ??????（ 249） 便有： ????????????????????????????????NzyzzxzyzzxzFNyzyxyyzyxyyFNxzxyxxzxyxxFrZnmlrzyxrYnmlrzyxrXnmlrzyx)()()(??????????????????（ 250） 0PSA r?EB39。N?Q T 顯然 53 NNN ZYXzFyFxF :::: ??????? 應(yīng)用彈塑性力學(xué) APPLIED ELASTOPLASTICITY OF SOLIDS （ 251） 而我們可寫 Q 點的法向 其中 又 的方向可寫成 則結(jié)論得證。 ),(39。 GzFGyFGxFN???????NzFyFxF rpG ???? ?????? 222 )()()(Np? ),(0 NNNNNN pZpYpXNp?4176。 由解析幾何知，二次曲線的形狀不隨坐標(biāo)系的不同而改變， 并且總可以經(jīng)過坐標(biāo)變換，把二次曲線 (248)化成標(biāo)準(zhǔn)型： (252) 5176。 設(shè)有坐標(biāo)變換 或 則（ 247）式成為