【正文】 11( 2 ) ( 1 )( 1 ) !nn n???? ??例 15. 判別下列級數(shù)的斂散性 11( 3 ) ( 1 )10nnnn? ???? 絕對收斂 條件收斂 設(shè) 為收斂級數(shù) 例 16. 證明下列級數(shù)絕對收斂 . 2411s i n( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) nnnnnnne????????(20226)設(shè) 為非零常數(shù)，則數(shù)項級數(shù) （ ） 有關(guān) ????12n nanaa(20224)下列級數(shù)收斂的是 ( ) A. B. C. D. 2121nnnn????? 11 ( 1) nn n?????1 1nnn?? ??21 2nnn???(20226)下列級數(shù)收斂的是 ( ) A. B. C. D. ?????1)1(1nnn??? ?1 1n nn???122nnn????1)1(nnn(20225) 設(shè) 為正項級數(shù)，如下說法正確的是 ( ) ，則 必收斂 ，則 必收斂 收斂，則 必定收斂 收斂，則 必定收斂 ???1nnu0lim0 ?? nn u0lim 0 ?? nn u ???1nnu1l im ( 0 )nn nu llu??? ? ? ? ? ? ???1nnu???1nnu21nnu???????1)1(nnn u ???1nnu（ 20226） 正項級數(shù) ，則下列說法正 確的是 ( ) （ 1）發(fā)散、則（ 2）必發(fā)散 （ 2）收斂、則（ 1）必收斂 （ 1）發(fā)散、則（ 2）不定 （ 1）、（ 2）斂散性相同 311(1 ) ,( 2)nnnnuu??????考點二十、冪級數(shù)的收斂域及展開 題型 冪級數(shù)的系數(shù) 0 0x ?。1 ??R。??R.0?R1) 當(dāng) ? ≠0 時 , 2) 當(dāng) ? ＝ 0 時 , 3) 當(dāng) ? ＝ ∞時 , 若 的系數(shù)滿足 則 其中 R是收斂半徑 2. 求冪級數(shù)收斂域的方法 的收斂半徑為 1l i m????nnn aaR先求收斂半徑 , 再討論端點的收斂性 . (202211)若冪級數(shù) 的收斂半徑為 ， 則常數(shù) ____a ?1221( 0 )nnna xan????(202212)冪級數(shù) 的收斂區(qū)間為 ________ ????1)12(nnxn(202212)冪級數(shù) 的收斂區(qū)間為 _________ ????1 2)1(nnnx(202212)冪級數(shù) 的收斂域為 __________ 0( 1) n nnxn????(202212)冪函數(shù) 的收斂域為 ________ ??? ?1 2nnnnx(202212)冪級數(shù) 的收斂域為 __________ 0 1nnxn?? ?? ( Taylor ) 級數(shù) ()2000 0 0 0 0( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 ! !nnf x f xf x f x x x x x x xn???? ? ? ? ? ? ? ?為 f (x) 的 泰勒級數(shù) . 當(dāng) x0 = 0 時 , 泰勒級數(shù)又稱為 麥克勞林級數(shù) . 若函數(shù) 在 的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù) , 則稱 ()2()0( 0 ) ( 0 )( ) ( 0 ) ( 0 )2 ! !( 0 )!nnnnnfff x f f x x xnfxn?????? ? ? ? ? ?? ?題型 2. 直接展開法 由泰勒級數(shù)理論可知 , 展開成冪級數(shù)的步函數(shù) )( xf第一步 求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在 x = 0 處的值 。 第二步 寫出麥克勞林級數(shù) , 并求出其收斂半徑 R 。 第三步 判別在收斂區(qū)間 (－ R, R) 內(nèi) )(lim xR nn ??是否為 0 驟如下 : xe? ),( ?????x)1(ln x?? ( 1 , 1 ]x ??201 1 11! 2 ! !nnnx x x xnn??? ? ? ? ? ? ??1 2 3 4 10( 1 ) 1 1 1 ( 1 )1 2 3 4 1nnnnnx x x x x xnn? ?????? ? ? ? ? ? ????x?11230( 1 ) 1 ( 1 ) ,n n n nnx x x x x??? ? ? ? ? ? ? ? ? ??)1,1(??x11 x?2301,nnnx x x x x??? ? ? ? ? ? ? ??)1,1(??x2 1 3 5 7 2 10( 1 ) ( 1 )( 2 1 ) ! 3 ! 5 ! 7 ! ( 2 1 ) !nnnnnx x x x xxnn????? ? ? ? ? ? ? ? ??xsin?xcos? 2 2 4 6 20( 1 ) 1 ( 1 )( 2 ) ! 2 ! 4 ! 6 ! ( 2 ) !nnnnnx x x x x??? ? ? ? ? ? ? ? ??),( ?????x),( ?????x3. 間接展開法 方法： 利用一些已知的函數(shù)展開式及冪級數(shù)的運算性質(zhì) , 將所給函數(shù)展開成冪級數(shù) . 例 17. 將函數(shù) 展開成 x的冪級數(shù) . (20226) 若函數(shù) 的冪級數(shù)展開式 為 ，則系數(shù) 1()2fx x? ?0( ) ( 2 2)nnnf x a x x??? ? ? ?? ? ?na ?111 1 ( 1 ) ( 1 ). . . .2 2 2 2nnn n n nA B C D????(202218) 將函數(shù) 展開為 的冪函數(shù) （要求指出收斂區(qū)間） . )1ln ()( xxf ?? x(202220) 把函數(shù) 展開為 的冪級數(shù)， 并寫出它的收斂區(qū)間 . 21)(?? xxf 2x?