[理學(xué)]第十章第3節(jié)格林公式及應(yīng)用-資料下載頁
2024-12-08 01:16本頁面
【正文】 yxyy a r c t a na r c t a na r c t a n ??? 1yxa r c t a n??2?xyar c t an?? ?? x yx xdy 1 22或 33 故積分路徑可取圓弧 例 4. 設(shè)質(zhì)點在力場 ? ?xyrkF ?? ,2?作用下沿曲線 L : xy c o s2??由 ),( 20 ?A移動到 ,),( 02?B求力場所作的 功 W. ( 其中 ) 22 yxr ??解 : dsFW L? ?? ? )(? ?? L yxdxdyrk2令 , 22 r xkQr ykP ???則有 )()( 022422????????? yxxQr yxkyP?曲線積分在除原點外的 單連通開區(qū)域 上與路徑無關(guān) , :ABBAyLO x)(2 yxdxdyrkW AB ?? ? ???? dk )c o s( s i n2022 ??? ?思考 ：積分路徑是否可以取 為什么？ ?OBAO ?):(s i n,c o s 0222 ??? ??? ??? yxk2??34 5例設(shè)函數(shù) 平面上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， 曲線積分 xoyyxQ 在),(? ?L dyyxQx y d x ),(2與路徑無關(guān)，并且對任意 t恒有 ?? ??? ),( ),(),( ),( ),(),( tt dyyxQxy dxdyyxQxy dx 1 00100 22).,( yxQ求解 ：由積分與路徑無關(guān)的條件知 xxyyxQ 22 ?????? )(待定)()(),( yCyCxyxQ ??? 235 ? ?),( ),( ),(100 2t dyyxQxy dx? ? ?? 10 2 dyyCt )]([??? 102 dyyCt )(? ?),( ),( ),(t dyyxQxy d x1 00 2 ? ?? t dyyC0 1 )]([??? t dyyCt 0 )(?? ???? t dyyCtdyyCt 0102 )()(兩邊對 t求導(dǎo)得 12)()(12 ???? ttCtCt 所以12 ?? yyC )( 122 ??? yxyxQ ),(36 ? ?),( ),( ),(100 2t dyyxQxy dx? ? ?? 10 2 dyyCt )]([??? 102 dyyCt )(? ?),( ),( ),(t dyyxQxy d x1 00 2 ? ?? t dyyC0 1 )]([??? t dyyCt 0 )(?? ???? t dyyCtdyyCt 0102 )()(兩邊對 t求導(dǎo)得 1212 ???? ttCtCt )()( 所以12 ?? yyC )( 122 ??? yxyxQ ),(37 2. 設(shè) ? ? ,56,4),(g r a d 42234 yyxxyxyxu ??? 求 ).,( yxu提示 : ?),( yxud xdxyx )4( 34 ? ydyyx )56( 422 ????? ),( )0,0(),( yxyxuC?yo x),( yx)0,(xxdxx?? 0 4 ydyyxy? ?? 0 422 )56(C?551 x? 322 yx? Cy ?? 5xdxyx )4( 34 ? ydyyx )56( 422 ??38 小結(jié) 。 3. 格林公式的應(yīng)用 . —— 格林公式 。 ??? ??????? LD Qd yP d xd x d yyPxQ )(39 1. 格林公式 ? ?L Q dyP dx2. 等價條件 在 D 內(nèi)與路徑無關(guān) yPxQ?????在 D 內(nèi)有 ydQxdPud ??d x d yyPxQD?? ??????????????? ?L Q dyP dx對 D 內(nèi)任意閉曲線 L 0??? L Q dyP dx在 D 內(nèi)有 設(shè) P, Q 在 D 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) , 則有 小結(jié) 40 1 1 3310 P?習(xí)題Ａ組 ,12,10),3)(1(8,6,4,2,1
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