[理學(xué)]第六章第三節(jié)輻角原理及應(yīng)用-資料下載頁
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【正文】 ? ?00naR? 110()nna a R?? ? ?00naR?00naR? 0,?,zR?即 方 程 在 外 部 無 根.zn故 原 方 程 在 平 面 上 有 且 僅 有 個 根解 411( ) 5 , ( ) 1 ,f z z z z?? ? ? ?(1) 設(shè),則 它 們 均 為 整 函 數(shù)1 :1Cz ?且 在 上 有1 ()z? 4 1z??2? 5?1 ( ) ,fz5 z ??1 1 1 1 1( , ) ( , )N f C N f C???所 以1,?4 5 1 0 1 .z z z? ? ? ?即 方 程 在 內(nèi) 有 一 個 根42 ( ) ,f z z?(2) 設(shè) 2 ( ) 5 1 ,zz? ? ? ?,則 它 們 均 為 整 函 數(shù)4 5 1 0zz ? ? ?7例 試 確 定 方 程1 2 .z??在 圓 環(huán) 內(nèi) 根 的 個 數(shù)2 :2Cz ?且 在 上 有2 ()z? 51z??11?2 ( ) ,fz4z ?16 ??2 2 2 2 2( , ) ( , )N f C N f C???所 以 4,?4 5 1 0 2 .z z z? ? ? ?即 方 程 在 內(nèi) 有 四 個 根( 3 ) 1z ? 而 在 上 有4 51zz?? 5 z? 4 1z??5? 2? 3 0 ,??41 5 1 0 .z z z? ? ? ?即 在 上 方 程 無 根4 5 1 0 1 2 .z z z? ? ? ? ?故 方 程 在 內(nèi) 有 三 個 根下面給出單葉解析變換的一個重要性質(zhì) 定理 1 2 1 2 1 2( 1 ) , , ( ) ( ) 。( 2 ) ( ) 。z z D z z f z f zf z D? ? ? ? ???? 在 內(nèi) 解 析( ) ,f z D若 函 數(shù) 在 區(qū) 域 內(nèi) 單 葉 解 析 則 在證明 00, ( ) 0 ,z D f z?? ? ?若 使 ( ) ,f z D因 為 在 內(nèi) 解 析( ) ( )000 0 002( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ,!!nnnnnnf z f zf z z z f z z z????? ? ? ? ???()w f z z D?? 單 葉 變 換( ) f z? ?內(nèi)0 ,zD則 在 的 某 鄰 域 （ 含 在 中 ） 可 展 成 冪 級 數(shù)00( ) ( )z f z f z?則 必 為由零點(diǎn)孤立性 , 00 , : ,C z z??? ? ? ?在 上0( ) ( ) 0 ,f z f z??00, ( ) ( ) ( ) ,C f z f z f z z??在 內(nèi) 部 及 無 異 于 零 點(diǎn)( 2) ,nn ?的 級 零 點(diǎn)()0002()( ) ( ) ( ) ,!nnnfzf z f z z zn??? ? ??0in f { ( ) ( ) }, , 0 ,zCm f z f z a a m?? ? ? ? ?令 取 使0R ouc he , ( ) ( )f z f z a C n??由 定 理 則 在 內(nèi) 亦 只 有個零點(diǎn)，但這些零點(diǎn)無一為重點(diǎn) ,事實(shí)上，如 10 ( ) ( )C z f z f z a m? ? ? ?果 在 內(nèi) 是 重 數(shù) 2 的 零 點(diǎn) ,0()f z C z?這 與 在 內(nèi) 除 外 無 其 它 零 點(diǎn) 矛 盾 。00 ( ) ( ) ,z f z f z a??而 顯 然 不 是 的 零 點(diǎn) 故 可 令1 2 0, , , ( ) ( ) ,nz z z f z f z a C n??為 在 內(nèi) 個 相 異 零 點(diǎn)0( ) ( ) 1 , 2 , , ,kf z f z a k n? ? ?則( ) ,f z D這 與 在 區(qū) 域 內(nèi) 單 葉 性 相 矛 盾( ) f z? ?故 在 內(nèi)? ? 10 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,mmf z f z a z z z m z z z f z?? ?? ??? ? ? ? ? ? ?01( ) ( ) ( ) ( ) , ( )mf z f z a z z z z D??? ? ? ?則 ， 在 內(nèi) 解 析 ，? ?110( ) ( ) ( ) 0 .zzf z f z f z a ???? ? ? ? ?作 業(yè) ? P272習(xí)題 (一 ) 10, 12, ? P272習(xí)題 (一 ) 11, 13, 14
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