[理學(xué)]第六章第三節(jié)輻角原理及應(yīng)用(已修改)
2024-12-20 01:14 本頁面
【正文】 第三節(jié) 輻角原理及應(yīng)用 1. 對數(shù)留數(shù) 2. 輻角原理 3. 儒歇 (Rouche)定理 第二十三、二十四講 一、對數(shù)留數(shù) 定義 具有下列形式的積分 : 1 ( )d2 ( )fz zi f z? ???( ) .fz ?稱 為 關(guān) 于 曲 線 的 對 數(shù) 留 數(shù)說明 : 在 C內(nèi)孤立奇點處的留數(shù)的代數(shù)和 。 () [ l n ( ) ]()fz fzfz??? ??????)()(zfzf?1) 對數(shù)留數(shù)即函數(shù) f(z)的對數(shù)的導(dǎo)數(shù) 2) 函數(shù) f(z)的零點和奇點都可能是 )()(zfzf?的奇點 . 引理 ()( 1 ) ( ) ,()fza f z n afz?設(shè) 為 的 階 零 點 則 必 為(), R e 。()zafzsnfz?????????的 一 階 極 點 并 且()( 2 ) ( ) ,()fzb f z m bfz?設(shè) 為 的 階 極 點 則 必 為(), R e .()zbfzsmfz??????????的 一 階 極 點 并 且證明 ( 1 ) ( ) ,a f z n a若 為 的 階 零 點 則 在 點 的 鄰 域( ) ( ) ( ) , ( )nf z z a g z g z??內(nèi) 有 其 中, ( ) g a ?在 點 的 鄰 域 內(nèi) 解 析 且 于 于 是1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,nnf z n z a g z z a g z???? ? ? ?()( ) ( ) ( ) ( )()nnn g zz a g z z a g zz a g z?? ? ? ??() ,()gz agz?由 于 在 點 的 鄰 域 內(nèi) 解 析()()fzafz?故 必 為 的 一 階 極 點 , 且()R e .()zafzsnfz???? ?????( 2) ( ) ,b f z m b若 為 的 階 極 點 則 在 點 的 鄰 域 內(nèi) 有()( ) ,() mhzfzzb? ?()( ) ( ) 。()n g zf z f zz a g z????( ) ( ) 。( ) ( )f z n g zf z z a g z??? ? ??( ) , ( ) z b h b ?其 中 在 點 的 鄰 域 內(nèi) 解 析 且 于 是1( ) ( )()( ) ( )mmm h z h zfzz b z b??? ? ? ???( ) ( ) 。( ) ( )f z m h zf z z a h z??? ? ? ??() ,()hz bhz?由 于 在 點 的 鄰 域 內(nèi) 解 析()()fzbfz?故 必 為 的 一 階 極 點 , 且()R e .()zbfzsmfz???? ??????( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ,( ) ( ) ( ) ( )mmm h z h z h z m h zf z f zz b z b h z z b z b h z??? ? ? ? ? ?? ? ? ?命題 , ( )C f z設(shè) 是 一 條 周 線 符 合 條 件( 1 ) ( ) ,f z C 在 的 內(nèi) 部 除 可 能 有 極 點 外 是 解 析 的( ) ,f z C(2) 沿 上 連 續(xù) 且 不 為 零()f z C則 在 內(nèi) 部 至 多 只 有 有 限 個 零 點 和 極 點 。證明 0 ( ) , ( )D f z D f z設(shè) 為 在 內(nèi) 的 極 點 全 體 則 在 區(qū) 域1()f z D下 證 在 內(nèi) 部 至 多 只 有有 限 個 零 點 . ? ?1 ( ) 0nna D f a??事 實 上 ， 如 果 存 在 使 得 ，? ? ? ?, knnaa??周 線 內(nèi) 部 是 有 界 區(qū) 域 存 在 收 斂 子 列l(wèi) im l im ( ) 0 ( ) ,kknnkka a f a f a? ? ? ?? ? ? ?設(shè)10D D D?? 內(nèi) 解 析 .()f z D在 內(nèi) 部 至 多 只 有 有 限 個 零 點 .1 12()fz?顯 然 ， 滿 足 條 件 （ ） 、 （ ）1()Dfz在 內(nèi) 部 至 多 也 只 有 有 限 個 零 點 .()f z C從 而
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