【正文】 ? ?t ? ? ?t ? ? 電感 電阻 釋放 吸收 消耗 釋放 釋放 消耗 消耗 釋放 吸收 此時(shí)的零輸入響應(yīng)為 ： tLUdtduCi C 000 s i n ?????uC、 i、 uL 都是不衰減的正弦振蕩。 LC10 ??稱為諧振頻率或無阻尼 (R=0， ?0= ? )振蕩頻率； ?、 ?0 和 ? 均決定于給定電路的參數(shù)。 若 R=0（ ? =0）為無損情況，特征根 p1, 2= 177。 j?0 ， ? = ?/2 tUtutu LC 00 c o s)()( ???LR2??稱為衰減系數(shù)； 220 ??? ?? 稱為振蕩角頻率； 代入初始條件， 0|)0()0( 00 ????? ??tCCC dtduUuu ，0201 UAUA ??? ，得到： tC etAAtu ???? )()( 213） 0/2 ?? ?? 或CLR臨界狀態(tài) ???2,1p，特征根為 零輸入響應(yīng) ： tC etUtu ?? ??? )1()( 0tC teLUdtduCti ????? 0)(tL etUdtdiLtu ?? ???? )1()(0顯然， uC 、 i 及 uL 的波形具有非振蕩性質(zhì)，所以臨界狀態(tài)是電路發(fā)生振蕩與非振蕩的分界線，這時(shí)的電阻 稱為臨界電阻，并稱電阻大于（小于）臨界電阻的電路為過阻尼（欠阻尼）電路。 CLR /2?例 2： 圖示電路中， t=0時(shí) S打開， 分析 t ≥0 時(shí)該二階電路的零輸入響應(yīng)為三種不同狀態(tài)的條件。 i iL US L + – iC + – – uL R C + uC iR R0 S(t=0) 由已知， 電路的初始條件為 : uC (0+)= uC (0–)= 0 iL(0+)=iL(0–)=US/R0 =I0 S打開后的電路為 : iL L + – iC – uL R C + uC iR 由 KCL： iR + iC + iL = 0 01122??? LLL iLCdtdiRCdt id02 2022??? LLL idtdidt id ??將方程寫為如下形式 : 02 202 ??? ?? ppRC21??2// CLR ?這里 LC1, 20 ??特征方程 : 以 iL為狀態(tài)變量可得： 臨界電阻 : 2// CLR ?2// CLR ?過阻尼狀態(tài) 欠阻尼狀態(tài) )( 0?? ?)( 0?? ?)( 0 ?? ?比較 iL L + – iC – uL R C + uC iR 01122??? LLL iLCdtdiRCdt id 0122??? LLL iLCdtdiLRdt id02 2022??? LLL idtdidt id ??LCLR /1,2/ 0 ?? ?? LCRC /1,210 ?? ??2// CLR ?臨界電阻 2// CLR ?2// CLR ?過阻尼狀態(tài) 欠阻尼狀態(tài) CLR /2?CLR /2?CLR /2?不同的二階電路 , ? 和 ?0與電路元件參數(shù)的關(guān)系不同。所以，經(jīng)典法解二階電路，需根據(jù)具體電路的特征方程，由特征根來決定響應(yīng)的解形式，進(jìn)一步由初始條件確定積分常數(shù)。 uR L + + – + – – uL R uC C iL L 76 二階電路的零狀態(tài)響應(yīng)和階躍響應(yīng) 二階電路的全響應(yīng)是零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的疊加。在討論過零輸入響應(yīng)的基礎(chǔ)上，再研究好零狀態(tài)響應(yīng)實(shí)際上就解決了全響應(yīng)的問題。從數(shù)學(xué)特點(diǎn)看，零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)都要求解二階非齊次微分方程，兩者的差別僅在于初始條件不同，這樣研究好零狀態(tài)響應(yīng)是具有代表性的。 例 1： 如圖所示電路， uC(0–)=0, iL(0–)=0, R=500 ?, C=1?F, L=1H, iS=1A。當(dāng) t=0時(shí)開關(guān) S打開 ,試求零狀態(tài)響應(yīng) iL,uC和 iC 。 解 : 若去掉開關(guān) S, 令 iS=?(t)A, 所求零狀態(tài)響應(yīng)為單位階躍響應(yīng) 由 KCL： iR + iC + iL = iS 以 iL為狀態(tài)變量可得： SLLL iiLCdtdiRCdtid ??? 11220112 ??? LCpRCp1) 求 i? : 代入?yún)?shù)后可求得特征根為： 321 10???? ppp S(t=0) iL iS L + – iC + – – uL R C + uC iR 方程的解為： LLL iii ?????特征方程為： 由于 p1， p2是重根，電路處于臨界阻尼狀態(tài)，有 ptL etAAi )( 21 ????由電路容易得到 : i ?L=1A AetAAi tL 31021 )(1 ????所以通解為： 代入初始條件為： iL(0+) =iL(0–)=0 )0(1| 0 ??? ? LtL uLdtdiAeti tL 3103 )101(1 ????VtedtdiLuu tLC 310610 ????0)0(1)0(1 ??? ?? CC uLuL得： 11 ??A010 213 ??? AA即 A1= ?1, A2= ?103 所以零狀態(tài)響應(yīng)為： AetdtduCi tcC 3103 )101( ????2) 求穩(wěn)態(tài)解 i ? : 例 2：在圖示電路中，若 L、 C給定，問 R取何值時(shí)響應(yīng)中會(huì)含有振蕩分量？ 解： dtduCRuiii CCCRL ????由 KCL： 由 KVL： sCL UudtdiL ??聯(lián)立以上二方程可得 SCCC UudtduRLdtudLC ???2特征方程： 012 ??? pRLL Cp欲使電路發(fā)生振蕩，應(yīng)有 042???????? LCRL解得 CLR21?S(t=0) iL US iC + – – R C + uC iR L 關(guān)于二階電路的全響應(yīng) )(2 2022tfxdtdxdt xd ??? ??(1) xxx ?????1. x? ? 電路的穩(wěn)態(tài)解 , 由換路后的新的穩(wěn)態(tài)電路求解得到 。 2. x? ? 方程 (1)對(duì)應(yīng)齊次方程的通解，根據(jù)特征方程的根取三種 不同的形式 : tptp eAeAx 21 21 ????ii ) 特征根為 p1 = ? ? + j ? p2 = ? ? ? j ? iii ) 特征根為 p1= p2 = p： )s i n ( ??? ???? ? tAex t。)( 21 tpetAAx ????i ) 特征根為兩個(gè)不相等的 實(shí)根 p p2： 3. 由 電路的初始條件確定積分常數(shù) 。 02 202 ??? ?? pp特征方程 : (2) 解： 1）列寫電路的方程 ,有 例： 二階電路如圖，已知 R1=R2=1?， L=1H， C=， US=8V， t=0時(shí)開關(guān) S從 1合到 2，求 t 0時(shí)間的 iL。 S(t=0) iL US iC + – – C + uC i R2 R1 + – L 2 1 4V 聯(lián)立三個(gè)方程得 SLL UdtdiLiRiR ???21dtduCii CL ??SLLL UiRRdtdiLCRRdtidLCR ????? )()(2121221dtdiLiRu LLC ?? 2代入電路參數(shù)得 )1(4010622??? LLL idtdidt id)2(01062 ??? pp特征方程 : 2）求方程對(duì)應(yīng)齊次方程的通解 i?L 故 i?L 為 3）求特解 i?L )s in(3 ????? ? tAei tLS(t=0) iL US iC + – – C + uC i R2 R1 + – L 2 1 4V 由換路后的穩(wěn)態(tài)電路，有 i?L =US/2=4 A 4）確定積分常數(shù) 因此， iL的通解為 )s i n (4 3 ???? ? tAei tL由換路前的電路，有 iL(0+) =iL(0?)=4/2=2 A uC(0+)=uC(0?)=R2iL(0?)=2 V )0()0(02 ??? ?? CLL udtdiLiR0/ 0 ??dtdi L得 通解中代入初始條件 , 得到 又 102??A?)3/1a r c t a n ( ???)s i n (1024 3 ???? ? tei tLp1 = ? 3 + j 1 , p2 = ? 3? j 1 特征根為 : 求解步驟 : 1）列寫電路的方程 2）求方程對(duì)應(yīng)齊次方程的通解 i?L 3）求特解 i?L 4）確定積分常數(shù) 78 二階電路的沖激響應(yīng) 零狀態(tài)的二階電路，在沖激電源激勵(lì)下的響應(yīng)稱為二階電路的沖激響應(yīng)。 可以用間接法和直接法 。 如何求解沖激響應(yīng) 電路中發(fā)生的物理過程是： 1）在 0t0+時(shí)段，儲(chǔ)能元件受到?jīng)_激激勵(lì)的作用獲得 0+時(shí)刻 的初始 儲(chǔ)能； 求解方法 2）在 t≥0+時(shí)段，儲(chǔ)能元件釋放電（磁）場(chǎng)能量，電路的響應(yīng) 與零輸入響應(yīng)相同。 例： 圖示零狀態(tài)的二階電路，設(shè)電路處于過阻尼狀態(tài)，求沖激響應(yīng) uC(t)。 解： 1. 間接法 ：設(shè)電源為 ?(t)V，先 求階躍響應(yīng) uC(t)。 由 KVL： )(2tudtduRCdt udLC CCC ????CCC uuu ?????特征方程： 由于 CLR /2??? ????2,1p?(t) iL + – – R C + uC L uL + – 其中： CL //1, 0202 ???? ????所以 tptpC eAeAu 21 21 ????tptpC eAeAu 21 211 ???LR 2/??Vu C 1??方程的解 特解為 LCp 2 + RCp + 1= 0 過阻尼狀態(tài) ，故電路處于 ，因此有 ?由 0)0()0( ????CC uu解得 2112 pppA???這樣，電路的階躍響應(yīng)為： tptpCS epppepppu 212112121?????dtduu CSCh ?tptpC eAeAu 21 211 ???確定積分常數(shù) A A2： 0/)0(|/ 0 ????? Cidtdu tC得 02211 ?? pApA01 21 ??? AA2121 pppA??)()(12121211tptpLCppeeppLC????電路的沖激響應(yīng)為： 2. 直接法 ： 由于 uC(0–)=0， iL(0–)=0，所以在 0?等效電路中，電感開路，電容短路， uL(0)=?(t)V。 dtuLii LLL ? ???? ?? 001)0()0(?? 0|/ tC dtdutptpCh eAeAu 21 21 ??利用初始條件 0)0()0( ?? ?? CC uuiL + – – R C + uC L uL + – ?(t) dttL ? ??? 00 )(1 ? L1?LC/1?Ci /)0( ??對(duì)于 CLR /2?LCdtdutC 1|0 ???得 021 ?? AALCpApA12211 ??解得 )( 2121 ppLCpA??)( 2112 ppLCpA???所以 )()( 1 2121tptpCh eeppLCu ???說明： 1. 兩種方法結(jié)果相同，第二種方法簡(jiǎn)單些。 2. 使用直接法求出電流的初值后，應(yīng)列寫 t ≥0+ 時(shí)段的 二階齊次微分方程，以便求