【正文】 ， 求 A 的值 . 13． （ 2021年高考（大綱理）） (注意 ． ． :． 在試卷上作答無效 ． ． ． ． ． ． ． ． ) ABC? 的內(nèi)角 A 、 B 、 C 的對邊分別為 a 、 b 、 c ,已知 c o s ( ) c o s 1 , 2A C B a c? ? ? ?,求 C . 參考答案 一、選擇題 1. [解析 ] 由條件結合正弦定理 ,得 222 cba ?? ,再由余弦定理 ,得 0c os 2 222 ?? ?? ab cbaC , 所以 C 是鈍角 ,選 A. 2. 【答案】 B 【解析】設 AB c? ,在 △ABC 中 ,由余弦定理知 2 2 2 2 c o sA C A B B C A B B C B? ? ? ? ?, 即 27 4 2 2 c o s 6 0cc? ? ? ? ? ?, 2 2 3 0 , ( 3 ) ( 1 )c c c c? ? ? ?即 = 0, ? ? ? 設 BC 邊上的高等于 h ,由三角形面積公式 11sin22ABCS A B B C B B C h??,知 113 2 sin 6 0 222 h? ? ? ? ? ?,解得 332h? . 【點評】本題考查余弦定理 、 三角形面積公式 ,考查方程思想 、 運算能力 ,是歷年?？純?nèi)容 . 3. D【解析】因為 ,abc為連續(xù)的三個正整數(shù) ,且 ??A B C ,可得 abc?? ,所以2, 1? ? ? ?a c b c①。 又因為已知 3 20 cos?b a A,所以 3cos 20bA a? ② .由余弦定理可得 2 2 2cos 2??? b c aA bc③ , 則由 ②③ 可得 2 2 2320 2b b c aa bc??? ④, 聯(lián)立 ①④, 得27 13 60 0? ? ?cc ,解得 4?c 或 157??c (舍去 ),則 6?a , 5?b .故由正弦定理可得 , s i n : s i n : s i n : : 6 : 5 : 4??A B C a b D. 【點評】 本題考查正 、 余弦定理以及三角形中大角對大邊的應用 .本題最終需求解三個角的正弦的比值 ,明顯是要利用正弦定理轉(zhuǎn)化為邊長的比值 ,因此必須求出三邊長 .來年需注意正余弦定理與和差角公式的結合應用 . : ,可得 sin 45 sin 60AC BC???,所以 3 2 2 23232AC ? ? ?. 5. 【答案】 A 【命題意圖】本試題主要考查了 正弦定理 、 三角函數(shù)中的二倍角公式 . 考查學生分析 、轉(zhuǎn)化與計算等能力 . 【解析】 ∵ 8=5bc,由正弦定理得 8sin =5sinBC,又 ∵ =2CB,∴ 8sin =5sin 2BB,所 以 8 sin = 1 0 sin co sB B B , 易知sin0B?,∴ 4cos =5B , 2c o s = c o s 2 = 2 c o s 1C B B ?=725 . 6. [解析 ] 由條件結合正弦定理 ,得 222 cba ?? ,再由余弦定理 ,得 0c os 2 222 ?? ?? ab cbaC , 所以 C 是鈍角 ,選 C. 7. 解析 :由余弦定理得 , 2 2 2 2 2 1c os2 4 2a b c a bC ab ab? ? ?? ? ?當且僅當 ab= 時取 “=”, 選C. 二、填空題 1. 【答案】 : 154 【解析】 11 , 2 , c o s4a b C? ? ?, 由 余 弦 定 理 得2 2 2 12 c o s 1 4 2 1 2 44c a b a b C? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, 則 2c? , 即 BC? , 故21 1 5s in 1 ( )44B ? ? ?. 【考點定位】利用同角三角函數(shù)間的基本關系式求出 sinB 的值是本題的突破點 ,然后利用正弦定理建立已知和未知之間的關系 ,同時要求學生牢記特殊角的三角函數(shù)值 . :由余弦定理得 , 2 2 2 2 c o s 4b a c a c B= + =,所以 2b= . 3. 【答案】 2 【解析】由正弦定理得 3 2s i n 4 5 s i n 6 0AC AC? ? ??? 【考點 定位】本題考查三角形中的三角函數(shù) ,正弦定理 ,考醒求解計算能力 . 4. 【答案】 2? 【解析】 2 2 2c os 2 32b c aAcbc??? ? ?,而 sin sincaCA? ,故 sin 1 2CC?? ? ?. 【考點定位】本小題主要考查的是解三角形 ,所用方法并不唯一 ,對于正弦定理和余弦定理此二者會其一都可以得到最后的答案 . 5. 【答案】 145c? 【解析】由 3 5 4 1 2c o s , c o s s in , s in5 1 3 5 1 3A B A B? ? ? ? ?,由正弦定理 sin sinabAB?得43s in 1 3512s in 513bAaB?? ? ?, 由余弦定理2 2 2 2 142 c o s 2 5 9 0 5 6 0 5a c b b c A c c c? ? ? ? ? ? ? ? ? 【考點定位】利用同角三角函數(shù)間的基本關系求出 sinB 的值是本題的突破點 ,然后利用正弦定理建立已知和未知之間的關系 ,同時要求學生牢記特殊角的三角函數(shù)值 . :考察余弦定理的運用 . 解析 :由 2 2 2( ) ( )a b c a b c ab a b c ab? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 根據(jù)余弦定理 可得 2 2 2 12c os2 2 3a b cCCab ???? ? ? ? ? 7. 【答案】 24? 【解析】設最小邊為 a ,則其他兩邊分別為 2,2aa,由余弦定理得 ,最大角的余弦值為 2 2 2( 2 ) ( 2 ) 2c o s42 ( 2 )a a aaa? ??? ? ?? 【考點定位】此題主要考查三角形中的三角函數(shù) ,等比數(shù)列的概念 、 余弦定理 ,考查分析推理能力 、 運算求解能力 . 8. 【答案】 4 【 解 析 】 在 ABC? 中 , 得 用 余 弦 定 理2 2 2 1 4 ( ) ( ) 4 7 ( )c os 2 4 4 4a c b c b c b c bB ac c c? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?, 化簡得8 7 4 0cb? ? ? ,與題目條件 7bc?? 聯(lián)立 ,可解得 2, 4, 3abc? ? ?,答案為 4 . 【考點定位】 本題考查的是解三角形 ,考查余弦定理的應用 .利用題目所給的條件列出方程組求解 . 9. 【解析】正確的是 ①②③ ① 2 2 22 21c os 2 2 2 3a b c ab abab c C Cab ab ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ② 2 2 2 2 2 24( ) ( ) 12 c os 2 8 2 3a b c a b a ba b c C Cab ab ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ③ 當 2C ?? 時 , 2 2 2 3 2 2 3 3c a b c a c b c a b? ? ? ? ? ? ?與 3 3 3a b c??矛盾 ④ 取 2, 1a b c? ? ? 滿足 ( ) 2a b c ab?? 得 : 2C ?? ⑤ 取 2, 1a b c? ? ? 滿足 2 2 2 2 2( ) 2a b c a b??得 : 3C ?? 三、解答題 1. 【命題意圖】本題主要考查了正弦定理 、 余弦定理 、 三角形內(nèi)角和定理 ,考查考生對基礎知識 、 基本技能的掌握情況 . 【解析】 (1) bsinA= 3 acosB,由正弦定理可得 sin sin 3 sin c o sB A A B? ,即得 tan 3B? , 3B ???. (2) sinC=2sinA,由正弦定理得 2ca? , 由 余 弦 定 理 2 2 2 2 c o sb a c a c B? ? ? , 229 4 2 2 c o s3a a a a ?? ? ? ?, 解得3a? , 2 2 3ca? ? ? . 2. 解 :(1) 在 ABC? 中 , 由 2cos 4A?? , 可得 14sin 4A? , 又由 sin sinacAC? 及2a? , 2c? ,可得 7sin 4C? 由 2 2 2 22 c o s 2 0a b c b c A b b? ? ? ? ? ? ?,因為 0b? ,故解得 1b? . 所以 7sin , 14Cb?? (2) 由 2cos 4A?? , 14sin 4A? , 得2 3c o s 2 2 c o s 1 4AA? ? ? ?, 7s in 2 s in c o s 4A A A? ? ? 所以 3 2 1c o s ( 2 ) c o s 2 c o s s i n 2 s i n3 3 3 8A A A? ? ? ??? ? ? ? :(I)由已知得 : s i n ( s i n c o s c o s s i n ) s i n s i nB A C A C A C??, s in s in ( ) s in s inB A C A C??,則 2sin sin sinB A C? , 再由正弦定理可得 : 2b ac? ,所以 ,abc成等比數(shù)列 . (II)若 1, 2ac??,則 2 2b ac??,∴ 2 2 2 3co s24a c bB ac????, 2 7sin 1 c o s 4CC? ? ?, ∴△ ABC 的面積 1 1 7 7s i n 1 22 2 4 4S a c B? ? ? ? ? ?. 【答案與解析】 (1)由已知 12 = + , + + = , = , c o s =32B A C A B C B B?? ? (2)解法一 : 2=b ac ,由正弦定理得 2 3s in s in = s in = 4A C B 解法二 : 2=b ac , 2 2 2 2 21 + + = c os = =2 2 2a c b a c acB ac ac,由此得 22+ = ,a c ac ac 得 =ac 所以 = = =3A B C ?, 3sin sin =4AC 【點評】本題主要考查三角形的正弦定理 、 余弦定理 、 三角形內(nèi)角和定理及等差 、 等比數(shù)列的定義 ,考查轉(zhuǎn)化思想和運算求解能力 ,屬于容易題 .第二小題既可以利用正弦定理把邊的關系轉(zhuǎn)化為角的關系 ,也可以利用余弦定理得到邊之間的關系 ,再來求最后的結果 . 5. 【命題意圖】本題主要考查正余弦定理應用 ,是簡單題 . 【解析】 (Ⅰ) 由 3 sin sinc a C c A??及正弦定理得 3 si n si n si n si n si nA C A C C?? 由于 sin 0C? ,所以 1sin( )62A ???, 又 0 A ???,故 3A ?? . (Ⅱ) ABC? 的面積 S = 1 sin2bc A = 3 ,故 bc =4, 而 2 2 2 2 c o sa b c b c A? ? ? 故 22cb? =8,解得 bc? =2. 法二 :解 : 已知 : AcCac c o ss in3 ???? ,由正弦定理得 : ACCAC c o ss ins ins in3s in ???? 因 0sin ?C ,所以 : AA c o ss in31 ?? , 由公式 : ? ? ?????? ??????? 2,t a n,0s i nc o ss i n 22 ???? abaxbaxbxa得 : 216sin ??????? ??A,? A 是 ? 的內(nèi)角 ,所以 66 ?? ??A ,所以 : 3??A (2) 1 s in 3 42S b c A b c? ? ? ? 2 2 2 2 c o s 4a b c b c A b c? ? ? ? ? ? 解得 : 2bc?? 6. 【解析】 (1)3 ( c os c os si n si n ) 1 6 c os c os3 c os c os 3 si n si n 13 c os( ) 11c os( )3B C B C B CB C B CBCA?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?則 1cos 3A? . (2) 由 (1)得 22sin 3A? ,由面積可得 bc=6①, 則根據(jù)余弦定理 2 2 2 2 2 91c os 2 12 3b c a b cA bc? ? ? ?? ? ?則 2213bc??②,①② 兩式聯(lián)立可得 32ba???????或32ab???????. 7. 【命題意圖】 : 本試題主要考查了解三角形的運用 .該試題從整體看保 持了往年的解題風格 ,依然是通過邊角的轉(zhuǎn)換 ,結合了三角形的內(nèi)角和定理的知識 ,以及正弦定理求解三角形中的角的問題 .試題整體上比較穩(wěn)定 ,思路比較容易想 ,先利用等差數(shù)列得到角 B ,然后利用正弦定理與三角求解運