【正文】 理局所屬的兩家企業(yè)中各隨機(jī)抽取10名職工，調(diào)查獲得他們的年收入數(shù)據(jù)如表所示： 要求：根據(jù)上表數(shù)據(jù)計(jì)算男女生的平均身高以及標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)，說明兩組數(shù)據(jù)的離散程度及 平均數(shù)的代表性 。 2021/11/10 版權(quán)所有 BY 統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組 89 結(jié)論： 計(jì)算結(jié)果表明 ， v乙 v甲 ， 說明乙企業(yè)職工年收入的離散程度小于甲企業(yè)的 。 說明乙企業(yè)職工年收入平均水平比的甲企業(yè)的更具有代表性 。 注意： 解決問題的程序與步驟 。 (四步 ) v甲 = 46670 =% x 4 6 6 7 0 (1 4 3 5 4 .2 5 ( )s??甲甲元 / 人 )元 / 人v乙 = 53380 =% x 5 3 3 8 0 ( )s 1 5 2 7 7 .4 2 ( )??乙乙元 / 人元 / 人2021/11/10 版權(quán)所有 BY 統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組 90 七、標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù) ? 問題： 某同學(xué)在期末考試中，英語成績 91分，數(shù)學(xué)成績 85分，問該同學(xué)這兩門課，哪門成績更好些？ ? 該班英語平均成績 105分，標(biāo)準(zhǔn)差 7分； ? 該班數(shù)學(xué)平均成績 80分 標(biāo)準(zhǔn)差 5分。 ? 該班 80人，成績服從對(duì)稱分布 標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的 計(jì)算公式為： iixxzs??iiXz????2021/11/10 版權(quán)所有 BY 統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組 91 標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的計(jì)算 (標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)又稱標(biāo)準(zhǔn)化值 ) ① 對(duì) 某一個(gè)值 在一組數(shù)據(jù)中 相對(duì)位置 的度量 ②可用于判斷一組數(shù)據(jù)是否有離群點(diǎn) (離群數(shù) ) ③ 用于對(duì)變量值的標(biāo)準(zhǔn)化處理 前例中， Z＜ 0,觀察值低于平均數(shù)，位于平均值左 側(cè)； Z＞ 0,觀察值高于平均水平，位于平均值右側(cè)。 271 0 591????英z158085???數(shù)zsxxz ii??iiXz ????2021/11/10 版權(quán)所有 BY 統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組 92 標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù) (性質(zhì) ) P97 注意 ： z分?jǐn)?shù)只是將原始數(shù)據(jù)進(jìn)行了線性變換 ， 它并沒有改變一個(gè)數(shù)據(jù)在該組數(shù)據(jù)中的位置 ， 也沒有改變該組數(shù)分布的形狀 ， 而只是將該組數(shù)據(jù)變?yōu)?均值為 0， 標(biāo)準(zhǔn)差為 1。 2021/11/10 版權(quán)所有 BY 統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組 93 標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù) (性質(zhì) ) 1. 一組數(shù)據(jù)的 標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的 均值 等于 0 2. 一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的 方差 等于 1 001)(1 ??????? ?? sns xxnn zz ii1)(1111)0(1)(22222222??? ????????? ???? ??sssxxnnznznzzsiiiz2021/11/10 版權(quán)所有 BY 統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組 94 經(jīng)驗(yàn)法則 p97 標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)可用以判斷一組數(shù)據(jù)是否有 離群點(diǎn) 。 經(jīng)驗(yàn)法則表明： 當(dāng)一組數(shù)據(jù) 對(duì)稱分布 時(shí)， 約有 68%的數(shù)據(jù)在平均數(shù)加減 1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi)； 約有 95%的數(shù)據(jù)在平均數(shù)加減 2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi)； 約有 99%的數(shù)據(jù)在平均數(shù)加減 3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi) 。 2021/11/10 版權(quán)所有 BY 統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組 95 切比雪夫不等式 (Chebyshev’s inequality ) p97 如果一組數(shù)據(jù)不是對(duì)稱分布，經(jīng)驗(yàn)法則就不再適用 。 切比雪夫不等式，它對(duì)任何分布形狀的數(shù)據(jù)都適用 1. 對(duì)于任意分布形態(tài)的數(shù)據(jù)，根據(jù)切比雪夫不等式，至少有 11/k2的數(shù)據(jù)落在 k個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)。其中 k是大于 1的任意值，但不一定是整數(shù) 2. 切比雪夫不等式提供的是 “ 下界 ” ，也就是“ 所占比例 至少 是多少 ” 2021/11/10 版權(quán)所有 BY 統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組 96 切比雪夫不等式 (Chebyshev’s inequality ) p97 至少有 75%的數(shù)據(jù)在平均數(shù)加減 2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍內(nèi) 至少 89%的數(shù)據(jù)在平均數(shù)加減 3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi) 至少 94%的數(shù)據(jù)在平均數(shù)加減 4個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi) 注意： 無論是經(jīng)驗(yàn)法則還是切比雪夫不等式都告訴我們，數(shù)據(jù)組 中所有觀察值的 z值的絕對(duì)值幾乎都要小于 Z大于 4, 可能是異常觀察值，它所代表的是一個(gè) 偶然事件 。 2021/11/10 版權(quán)所有 BY 統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組 97 第四節(jié) 偏態(tài)與峰態(tài)的測度 p98 ? 一、偏態(tài)及其測度 ? 二、峰度及其測度 ? 三、 應(yīng)用 Excel計(jì)算描述統(tǒng)計(jì)的測度值 2021/11/10 版權(quán)所有 BY 統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組 98 一、偏態(tài)及其測度 ? 偏態(tài)是指數(shù)據(jù)分布的不對(duì)稱性。測度數(shù)據(jù)分布的偏斜情況，需要計(jì)算偏態(tài)系數(shù) 。 ? 中心矩法計(jì)算偏態(tài)系數(shù) ： ? 中心矩法是指用標(biāo)準(zhǔn)差的三次方除三階中心矩計(jì)算偏態(tài)系數(shù)的一種方法。該偏態(tài)系數(shù)為： 。 33ms? ?2021/11/10 版權(quán)所有 BY 統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組 99 矩的概念 ? 矩：統(tǒng)計(jì)學(xué)把變量與權(quán)數(shù)對(duì)平均數(shù)的關(guān)系類比于“矩”，用來描述數(shù)據(jù)分布的性質(zhì)。 ? 定義： ? 為變量 x關(guān)于 a的 k階矩。當(dāng) a=0時(shí)，即變量以原點(diǎn)為中心，式（ ）稱為 k階原點(diǎn)矩。 () kkx a fMf?? ??2021/11/10 版權(quán)所有 BY 統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組 100 偏態(tài)及其測定 注意： 統(tǒng)計(jì)學(xué)家 Pearson于 1895年首次提出 ? 數(shù)據(jù)分布 偏斜程度 的測度，數(shù)據(jù)分布的不對(duì)稱性稱為偏態(tài)。 2. 偏態(tài)系數(shù) =0為 對(duì)稱分布 3. 偏態(tài)系數(shù) 0為 右偏分布 4. 偏態(tài)系數(shù) 0為 左偏分布 5. 偏態(tài)系數(shù)大于 1或小于 1,高度偏態(tài) 6. 偏態(tài)系數(shù)在 1～ ,中等偏態(tài)。 值越接近于 0，數(shù)據(jù)分布越趨于對(duì)稱； 的絕對(duì)值越大，數(shù)據(jù)分布越偏斜。 2021/11/10 版權(quán)所有 BY 統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組 101 二、峰度及其測度 ? 峰度 是統(tǒng)計(jì)學(xué)中描述數(shù)據(jù)分布的特征值，是反映分布曲線頂峰尖銳程度的特征值。 ? 它以正態(tài)分布曲線為標(biāo)準(zhǔn)，反映分布曲線頂端相對(duì)于正態(tài)曲線頂端而言其平坦或尖峭的程度。 ? 峰度分為高峰度和低峰度兩種 ； ? 頻率分布中各變量值對(duì)眾數(shù)的相對(duì)位置都較正態(tài)曲線更為密集，因而使其曲線呈陡峭形，稱為高峰度； ? 頻率分布中各變量值對(duì)眾數(shù)的相對(duì)位置都較正態(tài)曲線更分散，曲線較為平緩，稱為低峰度，如圖 所示。 2021/11/10 版權(quán)所有 BY 統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組 102 峰度及其測度 2021/11/10 版權(quán)所有 BY 統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組 103 峰態(tài)及其測定 1. 統(tǒng)計(jì)學(xué)家 Pearson于 1905年首次提出 2. 數(shù)據(jù)分布扁平程度的測度，反映數(shù)據(jù)分布的尖峭程度（與正態(tài)分布比較）。 3. 計(jì)算公式為： 4. 峰態(tài)系數(shù) =0扁平峰度適中 5. 峰態(tài)系數(shù) 0為 扁平分布 (低峰態(tài) ) 6. 峰態(tài)系數(shù) 0為 尖峰分布 (高峰態(tài) ) 4444 33() ffm isxxs? ? ? ? ???????2021/11/10 版權(quán)所有 BY 統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組 104 偏度、峰度的應(yīng)用 ? 【 例 】 要求：根據(jù)表中的資料計(jì)算 120名職工月通信費(fèi)用分布的偏度與峰度。 2021/11/10 版權(quán)所有 BY 統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組 105 偏度、峰度的應(yīng)用 ? 解： ? 計(jì)算結(jié)果表明： 120名職工月通信費(fèi)用呈右偏分布；峰度系數(shù)小于 0，說明 120名職工月通信費(fèi)用分布為低峰曲線，雖然近似于對(duì)稱分布，但峰度低于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。 2021/11/10 版權(quán)所有 BY 統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組 106 三、應(yīng)用 Excel計(jì)算描述統(tǒng)計(jì)的測度值 2021/11/10 版權(quán)所有 BY 統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組 107 本 章 小 結(jié) ? 一、 數(shù)據(jù)集中趨勢的度量 ? ①數(shù)值平均數(shù)： 算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù) ? ②位置平均數(shù)：眾數(shù)、中位數(shù)、四分位數(shù) ? 二、離中趨勢的度量 ? ①異眾比率、四分位差、極差、平均差的計(jì)算與應(yīng)用 ? ②方差、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算與應(yīng)用 ? ③離散系數(shù)的計(jì)算、應(yīng)用條件 ? ④ 標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的概念、計(jì)算與應(yīng)用 ? 三、偏態(tài)及峰度的概念及應(yīng)用