[研究生入學(xué)考試]線性代數(shù)——二次型-資料下載頁(yè)
2024-10-19 01:17本頁(yè)面
【正文】 分必要條實(shí)二次型定理nAxxf T?正 (負(fù) )定二次型的判別 必要性 ,0?sk假設(shè)有 , )( 時(shí)單位坐標(biāo)向量則當(dāng) sey ?? ? .0?? ss kCef,0?sCe顯然 .為正定相矛盾這與 f故 ? ?.,10 nik i ???推論 對(duì)稱矩陣 為正定的充分必要條件是： 的特征值全為正 ． A A2 ,:4BABnnA?使階正定矩陣則存在階正定矩陣是若例,0),(0 ,:???? AxxRxxnATn 有對(duì)即階正定矩陣為因?yàn)樽C明0 ),(,211?????ind i a gAPPPA???? ?使得則存在正交矩陣為實(shí)對(duì)稱矩陣其中0,),(: 121 ?? ? in PP d i a gA ???? ?得121???????????? PPn??????????????nM???1令))((: 1112 ??? ?? P M PP M PPPMA得, , 11 TPPPP M PB ?? ?? 的正交性知由取,)( 為對(duì)稱矩陣即 BBP M PP M PB TTTT ???.,正定所以有相同的特征值與的形式知且由BMBB證畢 . 例 5 判別二次型 ? ? 31232221321 4542, xxxxxxxxf ????是否正定 . 解 二次型的矩陣為 ,502040202?????????????A用 特征值判別法 . 0?? AE?令 .6,4,1 321 ???? ???故此二次型為正定二次型 . 即知 是正定矩陣 ， A,011 ?a ,022211211 ?aaaa,?。01111?nnnnaaaa????? ? ? ? .,2,1,011111nraaaarrrrr ????????這個(gè)定理稱為 霍爾維茨定理 ． 定理 3 對(duì)稱矩陣 為 正定 的 充分必要條件 是： 的各階主子式為正，即 A A對(duì)稱矩陣 為 負(fù)定 的 充分必要條件 是：奇數(shù)階主 子式為負(fù)，而偶數(shù)階主子式為正，即 A正定矩陣具有以下一些簡(jiǎn)單性質(zhì) 。,A, .1 1T定矩陣均為正則為正定實(shí)對(duì)稱陣設(shè) ?? AAA., .2 矩陣也是正定則階正定矩陣均為若 BAnBA ?例 6 判別二次型 ? ? 323121232221321 48455, xxxxxxxxxxxxf ??????是否正定 . 解 ? ?的矩陣為321 , xxxf,524212425??????????????它的順序主子式 ,05? ,011225?? ,01524212425??????故上述二次型是正定的 . 例 7 判別二次型 xzxyzyxf 44465 222 ??????的正定性 . 解 的矩陣為f,0511 ???a ,026622522211211 ?????aaaa,080 ???A .13 為負(fù)定知根據(jù)定理 f,402062225??????????????A2. 正定二次型 （ 正定矩陣 ）的判別方法： (1)定義法； (2)順次主子式判別法； (3)特征值判別法 . 四、小結(jié) 1. 正定二次型的概念，正定二次型與正定 矩陣的區(qū)別與聯(lián)系． 3. 根據(jù)正定二次型的判別方法，可以得到 負(fù)定二次型 （ 負(fù)定矩陣 ）相應(yīng)的判別方法，請(qǐng)大 家自己推導(dǎo)． .,:再證明它的正定性對(duì)稱矩陣先要證明它是證明矩陣的正定的注意思考題 .00, 是否為正定矩陣矩陣試判定分塊階正定矩陣階分別為設(shè)???????BACnmBA思考題解答 . 是正定的C解于是量不同時(shí)為零向則若維列向量維和別是分其中維向量為設(shè)因?yàn)?0,),(, yxznmyxnmyxz TTT????????????????yxBAyxCzz TTT 00),(,0 ??? ByyAxx TT., 為正定矩陣故是實(shí)對(duì)稱陣且 CC
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