[工學]數(shù)字信號處理第四章fft-資料下載頁
2025-10-10 00:00本頁面
【正文】 010 )()(LnNNnnhnh??????????1 010 )()(LnMMnnxnx第四章 離散傅氏變換的基本應用 4) 將兩 DFT序列相乘，得到一個 L點的頻域序列 Y(k)： Y(k)=H(k)X(k) (L次復乘法 ) 5) 用 FFT對 Y(k)求 L點的 IDFT，求得線性卷積的結(jié)果序列 y(n)。 y(n)=IDFT[Y(k)] (L點 FFT) 通常，在上面的計算過程中， h(n)是事先已知的（如系統(tǒng)的脈沖響應），可以事先將其 DFT算好，無需實時計算。 快速卷積 當 N?M時， 采用前面介紹的方法很有效，可以大大降低運算量。但當 N與 M相差較大，在計算 h(n)和 x(n)的 L點 DFT時，需要增補許多零，增加許多空運算；特別是一序列是 “ 無限長 ” 時，按此方法無法直接計算，需要修正方法，修正的辦法是將序列分段，用重疊相加法或重疊保存法計算 ,稱作快速卷積。 ? 算法效率及分析 ? 算法效率 快速卷積 事實上，在實踐中通常數(shù)據(jù) x(n)的長度很長，一般遠大于 h(n)的長度，為了在實際系統(tǒng)中能夠應用快速卷積，并能獲得其運算效率高的優(yōu)勢，通常采用分段處理的方法來解決。 ?長序列的快速卷積 由前面分析知 ， 當若 x(n)與 h(n)長度差不多時 ， 快速卷積能獲得較高的運算效率 。 所以可以采用將數(shù)據(jù) x(n)分成與 h(n)的長度相近的數(shù)據(jù)段 ， 如下圖所示 。 然后每一段分別用快速卷積的方法計算 ， 最后將各段計算的結(jié)果合成起來 ， 即獲得最終的卷積結(jié)果 。 又可獲得快速卷積的運算效益 。 通常的方法有兩種：重疊相加法和重疊保存法 。 ?重疊相加法（ Overlap Add Method） 以 xk(n)表示 x(n)的第 k段，即： ??? ?????其他 01)1( )()( MknkMnxnxk快速卷積 則 x(n)可表示為： 這樣 ， 卷積后的輸出序列為： 式中： 由此可見 ， 只須將 x(n)分段后再分別與 h(n)卷積 ， 將這些卷積結(jié)果相加起來就可得到最后的卷積結(jié)果 ， 每一段的卷積均可用快速卷積來計算 。 計算時應先將 h(n)和 xk(n)補零 ， 使它們都具有 L=N+M1的長度 ， 再由： ????0)()(kk nxnx?? ?????????00)()()()()()(kkkk nynhnxnhnxny)()()( nhnxny kk ??)()()( nhnxny kk ??x(n) M 2M 快速卷積 求出 yk(n)。這樣求出的各分段卷積結(jié)果有 LM=N1點要重疊（如圖 ），各重疊部分要相加起來，故稱作“重疊相加法”。后面兩圖給出了一個重疊相加法的運算過程示意。 ? 重疊保存法（ Overlap Save Method） 在重疊相加法中若在實現(xiàn)快速卷積時 各分段補零的部分不是補零，而是保存原序列中的數(shù)據(jù) ，這樣來求得卷積的方法稱為“重疊保存法”。 重疊保存法的處理過程為： 1) 先將 x(n)分解成： 第四章 離散傅氏變換的基本應用 利用 DFT對信號進行譜分析 ?所謂信號的 譜分析就是計算信號的頻譜 （信號的傅氏變換），通過信號研究分析信號特性。信號頻譜是連續(xù)的，不能用數(shù)字信號處理方法計算，按頻域采用定理，序列的 DFT完整反映了頻譜信息，所以可以通過 DFT進行譜分析。 ?利用 DFT對連續(xù)信號進行譜分析 ?對連續(xù)信號 xa(t)，為了利用 DFT分析其頻譜，需要將其離散化，若信號持續(xù)時間無限長，還需對它進行截短近似。事實上，由傅氏變換理論知， 若信號持續(xù)時間有限長，則其頻譜無限寬；若信號頻譜有限寬，則其持續(xù)時間無限長 。所以從嚴格意義上講用 DFT對信號進行譜分析，都是某種意義上的近似。在下面討論中，假設 xa(t)都是經(jīng)過預濾波（頻譜帶寬有限化）和截取處理（持續(xù)時間有限長）的有限長帶限信號。 利用 DFT對信號進行譜分析 ? 譜分析方法 1) 設 xa(t)持續(xù)時間為 Tp，最高頻率分量為 fc，其傅氏變換為： 其時頻關(guān)系如圖 (a)所示。 ? ??? ??? dtetxtxFTjfX ftjaaa ?2)()]([)(利用 DFT對信號進行譜分析 2) 對 xa(t)以 T≤ 的間隔進行 N點采樣，令 t=nT，得到序列x(n)=xa(nT)，設 T足夠小，有 dt=T，所以上式變?yōu)椋? 其時頻圖象見圖 (b)， 時域離散化，頻譜周期化 。 3) 頻域離散化：對 X(jf)在 [0， fs]區(qū)間上等間隔采樣 N點，采樣間隔為 F，參數(shù) fs、 Tp、 N和 F間關(guān)系為： 將 f=kF代入 X(jf)，令 Xa(k)＝ X(jkF)、 x(n)=xa(nT)，得： 其圖形如圖 (c)。同理，可得： cf21?????102)()(Nnfn Tja enTxTjfX?ps TNTNfF 11 ???)]([)()(102 nxD F TTenxTkX Nnknja N ??? ???? ?)]([1)( kXI D F TTnx a?利用 DFT對信號進行譜分析 ?利用 DFT對序列進行譜分析 ?序列 x(n)的頻譜（傅氏變換）就是序列在單位圓上的 Z變換 ，它是關(guān)于 ?的連續(xù)周期函數(shù)。 ?對 N點有限長序列 x(n)進行 N點 DFT變換，由 DFT的物理意義知， X(k)是其頻譜 在區(qū)間 [0， 2?]上的 N點等間隔取樣，由頻域取樣定理知， X(k)包含了 全部信息。因此求得了x(n)的 DFT就可由它分析頻譜了。 ?對以 N為周期的周期序列 進行 DFS，以所求出的 DFS系數(shù)作為各譜諧波分量幅度形成其頻譜函數(shù)： 仍為以 2?為周期的周期函數(shù)。 截取 的整數(shù)個周期做 DFT，也能獲得 的頻譜結(jié)構(gòu)。 )( ?jeX)( ?jeX)( ?jeX)(~ nx????????kj kNkXNnxFTeX )2()(~2)](~[)( ?????)( ?jeX)(~ nx )(~ n
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