遼寧工業(yè)大學高數(shù)習題課(5)-資料下載頁
2024-10-17 02:04本頁面
【正文】 *1 2 1 21c o s sin sin22x xy Y y y C x C x e x? ? ? ? ? ? ?【 例 9】 求微分方程 22 s i ny y y x?? ?? ? ? 的通解 解：特征方程為 2 2 1 0rr? ? ? ，其根為 1,2 1r ?故齊次方程的通解為 12() xY C C x e??由于 2 11( ) sin c os 222f x x x? ? ?屬于混合型，可設特解為 **12* c o s 2 s i n 2y y y A B x C x? ? ? ? ?代入原方程，并比較兩邊系數(shù)，得 1 3 2, , 2 50 25A B C? ? ?所以原方程的通解為 1 3 2* c os 2 sin 22 50 25y x x? ? ?從而 121 3 2( ) c o s 2 sin 22 5 0 2 5xy C C x e x x? ? ? ? ?【 例 10】 設 ()fx 具有二階連續(xù)函數(shù)，且 ( 0 ) 0 , ( 0 ) 1ff ???已知曲線積分 2( 6 ( ) ) s in ( 5 ( ) ( ) ) c o sxL x e f x y d x f x f x y d y?? ? ??與積分路徑無關，求 ()fx分析：曲線積分 L P dx Q dy??與路徑無關的充分必要條件是 PQyx?????。故應首先分別求出 和 ， Py??Qx??列出等式 PQyx?????建立關于函數(shù) ()fx 的微分方程，然后再根據(jù)初始條件求特解。 線積分與路徑無關的條 解：因為曲線積分 L P dx Q dy??與路徑無關，所以根據(jù)曲 PQyx?????，得 2[ ( 5 ( ) ( ) ) c o s ] [ ( 6 ( ) ) s i n ]xf x f x y x e f x yxy?? ?? ? ? ?可解得此二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解為 即 2[ 5 ( ) ( ) ] c o s [ 6 ( ) ] c o sxf x f x y x e f x y? ??? ? ? ?亦即 2( ) 5 ( ) 6 ( ) xf x f x f x xe?? ?? ? ?2 3 212( ) ( 2 )2x x xxf x C e C e x e? ? ? ?再由 ( 0 ) 0 , ( 0 ) 1ff ???，可得特解 2 3 2( ) 2 2 ( 2 )2x x xxf x e e x e? ? ? ? ?分析：此等式中含有積分上限函數(shù)，因此想到利用積分 00( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxxxf x e xf x f t dt xf x e f t dt? ? ? ? ? ? ???【 例 11】 設函數(shù) ()fx 連續(xù)，且滿足 00( ) ( ) ( )xxxf x e t f t dt x f t dt? ? ???，求 ()fx上限函數(shù)的性質，求導可建立微分方程，從而求解。 解：等式兩邊對 x 求導得 兩邊再對 x 求導得 ( ) ( )xf x e f x?? ??即 ( ) ( )xf x f x e?? ??為二階線性非齊次微分方程，且 ( 0) 1 , ( 0) 1ff ???可解得此二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解為 121( ) c o s sin2xf x C x C x e? ? ?再由 ( 0) 1 , ( 0) 1ff ??? ，可得特解 1( ) ( c os sin )2xf x x x e? ?
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