[理學(xué)]第四講重積分-資料下載頁
2025-10-07 21:32本頁面
【正文】 x f x f yx x x y??? ? ?? ? ? ?( ) ( )e e d df x f yDxy?? ??利用對稱性， ( ) ( ) ( ) ( )e e d d e e d d .f x f y f y f xDDx y x y?? ??? ??重積分的對稱性 例 22. 設(shè) ()fx為連續(xù)正值函數(shù)，證明： 2 2 2:,D x y a??其 中2( ) ( ) 1dd π ()( ) ( ) 2Df x f y x y af x f y?? ??? ???????和 為常數(shù) . 解題思路： ( ) ( )d d d d( ) ( ) ( ) ( )DDf x f yx y x yf x f y f x f y????? ??利用輪換對稱性， 利用形心公式求重積分 假設(shè)平面圖形 D的面積為 A，則 ddDx x y A x???? ， d d .Dy x y A y????其中 ( , )xy 為平面圖形的形心 . 假設(shè)空間立體 Ω的體積為 V，則 d d d ,x x y z x V?????? d d d ,y x y z y V??????d d d .z x y z z V??????利用形心公式求重積分 例 23 設(shè) ? ?2 2 2( , , ) 2 2x y z x y z y x? ? ? ? ? ?， 計算 ( ) d d d .x y z x y z??????解答： 利用形心公式計算 . 與重積分有關(guān)的方程問題 例 24. 設(shè) 22:,D x y y??( , )f x y為 D 上 的連續(xù)函數(shù)，且 8( , ) ( ) ( , ) d d ,π Df x y x y x y f x y x y? ? ? ???求 ( , ).f x y解題思路： 等式兩邊同乘 xy? ， 再兩邊積分 . 1( , ) .4f x y x y? ? ?與重積分有關(guān)的方程問題 例 25. 設(shè) ()fx 在 ( , )?? ??上連續(xù)，且滿足 2 2 2 232 2 2( ) 3 ( ) d d d ,x y z tf t f x y z x y z t? ? ?? ? ? ????求 ( ).ft解題思路 用球坐標(biāo)變換 . 然后兩邊求導(dǎo) . 注： ()ft是偶函數(shù)，故只需考慮 ?34 π1( ) ( e 1 ) .4 πtft ??答案： 綜合例題 ? ?2 2 2 22 2 2401l im d .πt x y z tf x y z vt? ? ? ??????? ?fx例 26. 設(shè)函數(shù) 具有連續(xù)導(dǎo)數(shù) ,且 ? ?0 0 ,f ? 求 [分析 ] 此三重積分的被積函數(shù)是的函數(shù)，積分區(qū)域又是球體，故應(yīng)用球面坐標(biāo)。 [注 ] 化重積分為累次積分是處理這類問題的基本方法，注意使用洛必達(dá)法則及導(dǎo)數(shù)概念。 綜合例題 41l i m [ ] d d d π ,nrnr x y zn???????例 27. 證明 [提示 ] 利用 其中 2 2 2 .r x y z? ? ?1 [ ] ,r r r? ? ? 再利用夾逼定理
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