第7章導(dǎo)數(shù)與微分的matlab求解-資料下載頁(yè)
2025-10-02 13:31本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】導(dǎo)數(shù)的MATLAB符號(hào)求解。函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性。函數(shù)的極值與最值。這兩個(gè)極限分別稱為函數(shù)在點(diǎn)處的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)，記作及。其中是切線的傾角。線為極限位置，即曲線在點(diǎn)處具有垂直于軸的切線。方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，這里應(yīng)注意；整理求得的表達(dá)式，即為隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。因，且不依賴于，故所以函數(shù)在點(diǎn)也是可微的。從而有，這就是說(shuō)，函數(shù)的微分與自變量的微分之商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。為更好地理解羅爾定理，先介紹費(fèi)馬引理：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，在閉區(qū)間上連續(xù)；在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即。羅爾定理中這個(gè)條件是相當(dāng)特殊的，它使羅爾定理的應(yīng)用受到限制。中十分重要的拉格朗日中值定理。那么在內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得成立。關(guān)于拉格朗日中值定理的證明此處從略，這里僅介紹該定理的幾何意義，如圖所示。當(dāng)時(shí)，函數(shù)與都趨于無(wú)窮大；表明函數(shù)在上單調(diào)增加。同理，如果在內(nèi)導(dǎo)數(shù)保持負(fù)號(hào)，即，弧段的上方，而有的曲線弧，則正好相反。
【正文】 方程的 近似解 間 在 用近似方法求方程的根時(shí)，需要知道方程的根所在的區(qū)間。如果在 區(qū)間 內(nèi) 只有 函數(shù) 的 一個(gè)零點(diǎn)，則稱 區(qū)間 為方程 的 一個(gè)隔根區(qū)間。通常我們可以用逐步掃描法來(lái)尋找 方程 的 隔根區(qū)間。逐步掃描法的一般執(zhí)行流程如 圖所 示 。 圖 隔 根區(qū)間的搜索流程 MATLAB實(shí)現(xiàn) 在 求方程近似根的所有方法中，二分法是非線性方程求解最直觀、最簡(jiǎn)單的方法。它是通過(guò)將非線性 方程 的 零點(diǎn)所在小區(qū)間逐次收縮一半，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近函數(shù)的零點(diǎn)，以求得函數(shù)零點(diǎn)的近似值的方法。二分法是以連續(xù)函數(shù)的介值定理為基礎(chǔ)建立的。由介值定理可知，若 函數(shù) 在 上 連續(xù) 且 ， 在 方程 在 上 必有一根 。 為 敘述方便， 記 ， 用中點(diǎn) 將區(qū)間 分成 2個(gè)小 區(qū)間 和 ，計(jì)算 。若 ，則 就是 方程的解；否則 ， 與 有且 僅 有 一式成立， 若 ， 令 ， ；若 ， 則 令 。于是 有 ， 因此 為 新的有根區(qū)間且 的 長(zhǎng)度為 長(zhǎng)度 的一半，對(duì)新的區(qū)間執(zhí)行相同的操作可以得到一系列有根區(qū) 間 圖 1給 出了二分法的幾何 意義。 圖 1 二分法 幾何意義 由圖 1可知 ，二分法每一步執(zhí)行的操作就是將有根區(qū)間一分為二，直至所求得的根達(dá)到所要求的精度為止，其執(zhí)行流程如 圖 2所 示 。 圖 2 二分法 執(zhí)行流程 3. 牛頓 法及其 MATLAB實(shí)現(xiàn) 對(duì)于方程 ，如果 是 線性函數(shù)，那么它的求根是容易的。牛頓法實(shí)質(zhì)上就是一種線性化方法，其基本思想是將非線性 方程 逐步 歸結(jié)為某種線性方程來(lái)求解。 設(shè) 方程 有 近似 根 ， 將 函數(shù) 在 點(diǎn) 處 展開，則 有 于是， 方程 就 可近似地表示 為 記該方程的根 為 ， 則 的 計(jì)算公式 為 上 式即稱為 Newton迭代公式。 由 牛頓迭代公式可知 ， 是點(diǎn) 處 的 切線 與 軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，如 圖 1所示。 圖 1 牛頓 法幾何意義 牛頓 法執(zhí)行流程比較簡(jiǎn)單，只需按如下流程即 可 ， 如圖 2所示。 圖 2 牛頓法執(zhí)行流程 導(dǎo)數(shù)的數(shù)值求解 1. 插值 型求導(dǎo) 公式 若 已知函數(shù)在一些離散點(diǎn)上的函數(shù)值時(shí)，則該函數(shù)可用插值多項(xiàng)式來(lái)近似，然后對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行微分以求得數(shù)值導(dǎo)數(shù)。該過(guò)程可由函數(shù) polyfit和 polyder實(shí)現(xiàn)，相應(yīng)的 MATLAB函數(shù)代碼如下 ： 上述 函數(shù)中，第 14行根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)獲得插值多項(xiàng)式的最高階次，第 15行對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行多項(xiàng)式插值，第 16~18行依次對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行求導(dǎo)，第 19行求解求導(dǎo)后的多項(xiàng)式在求導(dǎo)點(diǎn)處的 值 。 公式 對(duì)于 給定的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（或列表函數(shù)）的求導(dǎo)問(wèn)題，最簡(jiǎn)單的方法就是利用差商來(lái)近似代替導(dǎo)數(shù)，比如利用向前差商近似代替導(dǎo)數(shù) 有 類似地，也可以用向后差商近似代替 導(dǎo)數(shù) 或用中心差商近似代替 導(dǎo)數(shù) 由上述幾個(gè)公式可知， 步長(zhǎng) 越 小，計(jì)算結(jié)果越準(zhǔn)確。但從計(jì)算角度看 ， 越小 ， ， 與 越 接近，直接相減會(huì)造成有效數(shù)字的嚴(yán)重?fù)p失。因此需要合理的選取步長(zhǎng)，至于步長(zhǎng)的合理選取讀者可參閱相關(guān)參考書。 上面 幾個(gè)公式都是兩點(diǎn)微分公式，下面給出一個(gè)多點(diǎn)中心差分算法，該算法的一到四階微分公式 為 謝謝大家！
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