42直接三角分解法-資料下載頁
2024-09-30 10:18本頁面
【導(dǎo)讀】解式來求解方程組。設(shè)A=LU，記其中L為單位下三角陣，我們可直接給出L和U的元素的計算公式。這就完成了A的LU分解。解LUx=b，若記Ux=y，則有Ly=b。于是可分兩部解方程組LUx=b，只要琢次向前代入的方法即可求得y。用向后回代的方法即可求得x。以上解方程組的計算與順序Gauss消去法相當。上述解方程的方法稱為LU分解法，也稱Doolittle方法。方式的形式稱為緊湊形式。當i=k時，si對應(yīng)于（）中的ukk，它可能不宜在（）作除法。.n，si對應(yīng)于（）中的分子。),()(~)(kkbA交換的第i行與第行的位置，但每個位置上仍用原記號。這就算出了L的第k行。以上分解過程經(jīng)過n-1步，可得PA=LU，因為b也參加換行計算，所以在其位置上得到Pb。最后再分兩步求解方程組LUx=Pb，即求解
【正文】 這樣，可以從 j=1直到 j=n逐列算出 L的元素 ,再求解下三角方程組 Ly=b和上三角方程組 L T x=y 。計算公式為 1,2,1,/)(,/,3,2,/)(,/1111111?????????????????nnilllyxlyxnilllbylbyiinkkkiiinnnniijkkikii按逐列計算 L的元素的計算步驟 ,設(shè)第 1列至第 j1列已經(jīng)計算得到 ,則有 njjilllallaljjjkjkikijijjkjkjjjj,2,1,/,1121112??????????????????????????????（ ） （ ） 第四章方程組的直接解法 解 不難驗證系數(shù)矩陣是對稱正定的，按（ ）和（ ）依次計算得 ????????????????.,64221321321xxxxxxxxx 例 用平方根法求解 ????????????2L 由（ ）可得 由此推出 ， 所以平方根法的中間量 得以控制。不必選主元。 ,12??? jk jkjjlajkljkal jjjk ,2,1, ??? 平方根法的原理基于矩陣的 LU分解 ,所以它也是 Gauss消去法的變形 .但由于利用了矩陣正定的性質(zhì) ,減少了計算量。平方根法的乘除法運算次數(shù)為 (n3+9n2+2)/6,加減法次數(shù)為 (n3+6n27n)/6 。另外還有 n次開方運算，其所含乘除法和加減法次數(shù)可分別看成 n的常數(shù)倍。平方根需 n3 /6次乘除法，與 Gauss消去法相比減少了一半 。 第四章方程組的直接解法 ????????????????????njjidlldaldladjjkjkikkijijjkkjkjjj,2,1,/)(11112?則可避免開方根運算，稱為改進的平方根法。 它即適合于求接對稱正定方程組，也適合于 A求解對稱且其順序主子式全不為零的方程組。分解式的計算公式為 (j=1,2,…n) 解 Ly=（ 6， ， ） T ，得 y=（ 3， ， 1） T ，再解 L T x=y可以得到 x=（ 2， 1， 1） T 。 ,1111112121222121???????????????????????????????????????????nnnnnllldddlllA????????? 如果對矩陣采（ ）用分解式， 即 第四章方程組的直接解法 解 Ly=b得 y=(6,1,1)T。解 LTx=D1y得 x=(2,1,1)T。 ,144,1??????????????????????? DA 其中 j=1時，求和部分為零。這樣求解方程組 Ax=b化為求解 Ly=b和LTx= ，用改進的平方根法有
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