42直接三角分解法(編輯修改稿)
2024-11-05 10:18 本頁面
【文章內容簡介】 0011000101223 IIp由于方車程組的右端參與了消元計算，所以 Ly=Pb的解為 y=b（ 3） =（ 20， 14/3， 216/39） T 。解 Ux=y得 x=（ 1， 2， 3） T 三對角方程組的追趕法 設有方程組 Ax=d,其中 d=(d1 d2,… dn )T, 系數矩陣 A是三對角形矩陣 () ????????????????????nnnnnbacbacbacbA111211???第四章方程組的直接解法 ???????????????????????????????????nnn uccucuUlllL1221132,1111?????如果 A滿足 Gauss消去發(fā)的條件 ,可用 LU分解發(fā)求解 .并且 ,L和 U有如下形式 () 利用 ()和 ()可得 由此可求得 L和 U的所有元素 .。解原方程組 Ax=b可分為兩步 Ly=d和 Ux=y,計算公式為 ?????????????niclbuniualbuiiiiiii, .. .3,2, .. .3,2,/1111 () 第四章方程組的直接解法 ??????????????????1, .. .2,1,/)(/, .. .3,2,1111nniuxcyxuyxniyldydyiiiiinnniiii () 稱為 ()、 ()和 ()為求解三對角形方程組的追趕法 ,又稱為 Thomas算法 。 追趕發(fā)能實現的條件是 ui≠0， i=1,2,…,n. 。下面給出追趕發(fā)一個的充分條件。 niucii ?,2,1,10 ???niabuab iiiii , .. .2,1, ?????定理 設三對角矩陣 A有 ()的表達式 ,且滿足 則 A非奇異 ,且有 11 0 , 0 , 0 , 2 , 3 , .. .nni i i i ib c b ab a c a c i n? ? ? ?? ? ? ?第四章方程組的直接解法 iiiiiiiiii abucabclbu ?????????111ii cu ? 1/,0 ?? iii ucu.另一方面 ,有 利用條件可得到 ,故 ,111 cbu ??1/,0 111 ?? ?? ii ucuiiiiiiiiii abucabclbu ?????????111 證 用歸納法。對 i=1,有 現設 ,我們有 所以 因為 detA=u1u2…u n，所以 detA ≠0。定理得證。 在定理 ，追趕法可以進行計算，并且計算過程的中間變量有界，不會產生大的變化，可以有效計算出結果。 在定理 ，要求 ai和 ci非零。若有某個 ai（或 ci ）為零，則三對角方程組可以化為兩個低階的非耦和的方程組。 第四章方程組的直接解法 例 用追趕發(fā)求解三對角方程組 Ax=d，其中 解 由 ()得 ??????????????????????????231,4114414dA 追
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