【導讀】標準之下，就可以給出最佳的n次逼近多項式。分式有理函數(shù)、多項數(shù)函數(shù)等。空間上的一個度量標準，下面通過內(nèi)積給出平方范數(shù)。），時，（當且僅當fffff. ),(gf這時，稱為與的內(nèi)積。是n+1元函數(shù)()的最小值點。

　　

【正文】 ??????262120610111xxxxxxA T???即 ???????????6449361694187643211111111TA ? ?2357632?TY又 求得 ???????????81471171179117117931179317AA T?YAT??????????63512128法方程組為： ????????????????????nccc1081471171179117117931179317???????????63512128????????????????????nccc1081471171179117117931179317???????????63512128解得： 3 8 6 ,4 3 2 ,3 1 8 210 ????? ccc求得擬合二次多項式函數(shù) 22 3 8 6 3 2 1 8 )( xxxp ????誤差為： ????60222 ])([iii yxp?先計算出擬合函數(shù)值： X : 1 2 3 4 6 7 8 P: 得到： 0 0 0 ?? 或者： 7 3 2 ?? 解：在坐標軸描點 例 根據(jù)如下離散數(shù)據(jù)擬合曲線并估計誤差 xi 3 2 1 0 1 2 3 yi 4 2 3 0 1 2 5 從離散點的圖形上看不出原函數(shù)屬于哪一類型，一般多采用多項式擬合，在此我們用二次多項式擬合。 22102 )( xcxccxp ???根據(jù)如下離散數(shù)據(jù)給出法方程組 xi 3 2 1 0 1 2 3 yi 4 2 3 0 1 2 5 這時 ??????????????941014932101231111111TA ? ?5210324 ????TY求得 ???????????19602802802807AA T?YAT????????????7391得到法方程組 ?????????????????????????????????739119602802802807210ccc所求二次擬合曲線為 2*2 8411283932)( xxxp ???擬合曲線的平方偏差為 ))((602*2 ??? ??iii yxp??????????????????????????????????739119202802802807210ccc由 8411,2839,32210 ????? ccc解得： 擬合曲線在實際中有廣泛應用，特別在實驗、統(tǒng)計等方面是如此。通常，由一組試驗或觀測取得數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)先在平面上標出，然后確定擬合曲線的類型。 例如，電阻與導線的長度呈線性關系，如何確定具體的線性表示式，可通過對不同長度的導線測試電阻所得數(shù)據(jù)作擬合曲線而得。 對于具體問題，擬合曲線的類型往往是已知的，所對應的公式也叫做 經(jīng)驗公式， 只需取定曲線的具體參數(shù)即可 。 下面給出一個已知經(jīng)驗公式，如何確定其中參數(shù)的例子。 例 對如下數(shù)據(jù)作形如 的擬合曲線 bxaey ? xi 1 2 3 4 5 6 7 8 yi 解 ： 由于函數(shù)集合 不成為線性空間，因此直接作擬合曲線是困難的。 ? ?Rbaae bx ??? ,bxay ?? lnln在函數(shù) 兩端分別取對數(shù)得到 bxaey ?naA 1? bB ?令 yz ln?BxAz ??則 這時，需要將原函數(shù)表進行轉(zhuǎn)換如下 xxx ?? )(,1)( 10 ?? xi 1 2 3 4 5 6 7 8 yi ? yz ln? xi 1 2 3 4 5 6 7 8 zi 對 作線性擬合曲線，取 BxAz ??得正則方程組 ?????????????????????????1 3 5 0 4 79 7 8 6 2 0 436368BA解得 2 9 1 2 ,4 3 6 8 ?? BA, ???? Bbea Axex 29 * )( ??于是有 擬合曲線為： 練 習 三 31 利用 Legendre多項式 求函數(shù) 在 上的最佳均方逼近，并估計誤差。 ),(),( 10 xLxL 2x? ?1,1?32 求 上權函數(shù)為 的正交多項 式前四項 。 ? ?1,0211)(xx???)(),(),(),( 3210 xpxpxpxp 33 求 ，使 達到極小。 ba, ? ??10 )( dxebax x34 利用 Legendre多項式 在 [0,1]與 [1,1]上的最佳平方逼近三次式，并比較有何 異同。 )2s in ()( xxf ??35 證明 是 上 的正交函數(shù)系。 ?? ,c o s,2c o s,c o s,1 nxxx ? ??? ,?36 給出數(shù)據(jù)表 ixiy使分別作出線性、二次曲線擬合，并給出最佳平方誤差。 37 用最小乘法求一個形如 的經(jīng)驗公式， 使與下列數(shù)據(jù)擬合，并計算均方誤差。 2bxay ??ixiy19 25 31 33 44 38 對下列數(shù)據(jù) ixiy求形如 的擬合曲線 bxaey ? 39 用最小二乘法解方程組 ???????????????1424623531142yxyxyxyx1 2 3 4 5