【正文】 z m? ? ? ? ?? ? ? ?)與平均應力m?成正比，說明應力球張量使物體產(chǎn)生了彈性體積改變。 將式（ 26）x?、y、z?分別減去m?，如 39。39。1 1 1( ) ( )22x x m x m x m xE G G?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? 同理得39。y?、39。z。因此應變偏量與應力偏量之間的關(guān)系可寫成如下形式 39。39。39。39。11。2211。2211。22x x yz yzy y zx zxz z xy xyGGGGGG? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???????????????? (28)簡記為 39。39。12ij ijG? (29) 上式表示應變偏張量與應力偏張量成正比，表明物體形狀的改變只是由應力偏張量引起的。由式（ 27）和式（ 28），廣義胡克定律可寫成張量形式 39。39。1 1 22ij ij ij m ij ij mGE ?? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? (210) 上式表明，應力莫爾圓與應力莫爾圓幾何相似，且成正比。 由以上分析可知，彈性應力應變關(guān)系有如下特點： 1） 應力與應變成線性關(guān)系。 2） 彈性變形是可逆的，應力應變關(guān)系是單值對應的。 3） 彈性變形時，應力球張量使物體產(chǎn)生體積變化，泊松比 ?。 4） 應力主軸與應變主軸重合。 塑性應力應變關(guān)系 當質(zhì)點應力超過屈服強度進入塑性狀態(tài)時，應力應變關(guān)系一般不能一一對應，而是與加載路線 有關(guān)。塑性應力與應變的關(guān)系有如下特點： 1） 應力與應變之間的關(guān)系是非線性的。 2） 塑性變形是不可逆的，應力應變的關(guān)系不是單值對應的，與應變歷史有關(guān)。 3） 塑性變形時可認為體積不變，即應變球張量為零，泊松比 ?=。 本科畢業(yè)設(shè)計論文 16 4） 全量應變主軸與應力主軸不一定重合。 由于塑性應力應變關(guān)系與加載路線或加載的歷史有關(guān)，因此，離開加載路線來建立應力與全量塑性應變之間的普遍關(guān)系是不可能的，一般只能建立應力與應變增量之間的關(guān)系，僅在簡單加載下才可以建立全量關(guān)系。 所謂簡單加載，是指在加載過程中各應力分量按同意比例增加，應力主軸方向固定不變。 增量理論 增量理論又稱流動理論，是描述材料處于塑性狀態(tài)時，應力與應變增量或應變速率之間關(guān)系的理論，它是針對加載過程的每一瞬間的應力狀態(tài)所確定的該瞬間的應變增量，這樣就撇開了加載歷史的影響。 Levy 和 Mises 分別與 1871 和 1913 年建立了理想塑性材料的流動理論，該理論建立在下述四個假設(shè)基礎(chǔ)之上。 1） 材料是理想剛塑性材料，及彈性變形增量 eijd? 為零。塑性應變增量 pijd? 就是總應變增量 ijd? 。 2） 材料符合 Mises 屈服準則，即1 2 3 0x y zd d d d d d? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?。 3） 每一加載瞬時，應力主軸與應變增量主軸重合。 4） 塑性變形時體積不變，即 1 2 3 0x y zd d d d d d? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?，所以塑性應變增量偏張量就是應變 增量張量，即 39。ij ijdd??? 。 在上述假設(shè)前提下，得到應變增量和應力偏張量成正比的結(jié)論，即 39。ij ijdd? ? ?? （ 211）上式稱為 LevyMises 方程。式中， d? 是瞬時的非負比例系數(shù) ，在加載的不同瞬間是變化的，在卸載時 d? =0。 39。ij? 為應力偏量。由于 39。ij ijdd??? ，所以式（ 211）也可以寫成比例形式和差比形式： 39。 39。 39。y y z x yx z xzx y z y z z x x yd d dddd d? ? ???? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? (212) x y y z zxx y y z z xd d d d dd d? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ??? ?? ? ?? ? ? （ 213） 或 2 3 3 1121 2 2 3 3 1d d d ddd d? ? ? ??? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? (214）推導得出 32dd ?? ?? (215) 本科畢業(yè)設(shè)計論文 17 ? 和 d? 分別為等效應力和等效應變速率，分別按下列公式確定： 39。39。32 ij ij? ? ?? (216) 23 ij ijd d d? ? ?? (217) 將式（ 215）代入式（ 212）， LevyMises 方程還可以寫成廣義表達式： 13( ) 。2213( ) 。2213( ) 。22x x y z x y x yy y x z y z y zz z x y z x z xdddddddddddd??? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ??????? ? ? ? ????? ?????? ? ? ? ????? ?????? ? ? ????? ?? (218) 由式（ 218）和式（ 211）可以證明平面變形和軸對稱問題的一些結(jié)論： 1） 平面塑性變形時，設(shè) z 向沒有變形，則有 zd? =0，由式（ 218）可得： 1 ()2z x y? ? ???或 2 1 31 ()2? ? ??? 1 1 1( ) ( ) ( )3 3 2 2xym x y z x y x y??? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? 2） 若兩個正應變增量相等，其對應的應力也相等。 LevyMises 方程方程僅適用于理想剛塑性材料，它只給出了應變增量和應力偏張量之間的關(guān)系。由于 0md? ? ，因而不能確定應力球張量。因此，如果已知應變增量，只能求得應力偏量分量，一般不能求出應力。另一方面，如果已知應力分量，但因為 s??? 為常數(shù)， d? 是不定值，因此也只能求得應變增量各分量之間的比值，而不能直接求出它們的數(shù)值。 將式（ 26）兩邊除以時間 dt ，可得 39。ijijd ddt dt? ??? (219) 式中， ijijddt? ??為應變速率張量， 32ddt??????， ? 為等效應變速率。則有 39。ij ij? ??? (220) 式（ 220）稱為應力 應變速率方程。如果不考慮應變速率對材料性能的影響， 本科畢業(yè)設(shè)計論文 18 該式與 LevyMises 方程是一致的。 LevyMises 理論沒有考慮彈性變形， PrandtlReuss 在進一步考慮彈性變形部分的基礎(chǔ)上發(fā)展起來了 PrandtlReuss 理論。也就是總應變增量的分 量由彈、塑性兩部分組成，即peij ij ijd d d? ? ???，式中，塑性應變增量pijd由 Mises 理論確定，彈性應變增量eijd?可由式（ 221）確定。 39。1 1 22eij ij ij md d dGE ?? ? ? ???? (221) 所以 PrandtlReuss 方程為： 39。39。1 1 22ij ij ij m ijd d d d?? ? ? ? ? ??? ? ? (222) PrandtlReuss 理論與 LevyMises 理論的基本假設(shè)是類似的，差別在于前者考慮了彈性變形而后者未考慮，實質(zhì)上后者是前者的特殊情況。增量理論著重指出了塑性應變增量與應力偏量之間的關(guān)系，可解釋為它是建立起各瞬時應力與應變的關(guān)系，而整個變形過程可以由各瞬時的變形積累而得。因此增量理論能表達加載過程的歷 史對變形的影響，能反映出復雜加載情況。上述理論僅適用于加載情況，而卸載情況下需按胡克定律進行計算。 全量理論 在小變形的簡單加載過程中應力主軸保持不變，由于各瞬時應變增量主軸和應力主軸重合，所以應變主軸也將保持不變。在這種情況下，對應變增量積分便可得到全應變增量。在這種情況下建立塑性變形的全量應變與應力之間的關(guān)系稱為全量理論，亦稱為形變增量。 如果假定是剛塑性材料，而且不考慮彈性變形，則可用全量應變 ij? 代替Mises 方程中的應變增量，即 39。ij ij? ??? (223) 式中， p32?? ?? 。 如果是彈塑性材料的小變形，則同時要考慮彈性變形。此時， Hencky 方程為 本科畢業(yè)設(shè)計論文 19 39。39。1()212ij ijmmGE? ? ??????? ???? ???? (224) 式（ 219）中第一式表示形狀變形：前一項是塑性應變；后一項是彈性應變。第二式表示彈性體積變形。 為了便于與廣義胡克定律進行比較，令 39。G 為塑性切變模量，使得 39。1122GG??? 于是式（ 224）的第一式可寫成 39。39。39。12ij ijG???。 這樣便與廣義胡克定律在形式上是一樣的，區(qū)別僅在于 G 是材料常數(shù)，而 39。G是隨變形過程而變的。且 39。13221322eGG????????????? (225) 所以，可以把小變形全量理論看出是廣義胡可定律在小塑性變形中的推廣。 金屬粘塑性本構(gòu)關(guān)系 粘性是材 料的一種常見屬性 ,是指材料的變形和應力隨時間變化的特征 ,它反映材料對變形速度的抵抗。完全液態(tài)的金屬流動時具有牛頓粘性流體的流變性能；金屬凝固期間進行劇烈攪拌而得到的半固態(tài)漿料具有非牛頓粘性流體的流變特征；固態(tài)金屬在高應變速率或高溫下進行塑性成形時除了表現(xiàn)出彈性、塑性特征外，也具有粘性特征。根據(jù)材料實際的流動、變形特征，將粘性、彈性和塑性三者結(jié)合起來研究物體的流變性能，建立力學模型和數(shù)學方程，形成了流變學這一門分支學科。流變學是專門探究固體、液體、固液混合物及液氣、固氣混合物流動和變形規(guī)律的學科，并且特別強調(diào) 時間的因素。 固體金屬材料在高應變速率或高溫條件下，除了表現(xiàn)出彈性、塑性特性外，同時還具有粘性特征。這時需要用粘塑性本構(gòu)方程來描述這種特性。動態(tài)試驗是建立該方程的重要依據(jù)。試驗結(jié)果表明：動態(tài)下的屈服應力和瞬時應力隨應變率的提高而提高，這一現(xiàn)象稱為應變率效應。應變率效應顯著的材料稱為應變率敏感材料。固體材料的應變率敏感性還和溫度、材料內(nèi)部結(jié)構(gòu)狀態(tài)密切相關(guān)。 當忽略材料彈性變形， Hohenemser 和 Prager 引入屈服函數(shù) F 本科畢業(yè)設(shè)計論文 20 39。2 1JFK?? (226) 式中，39。2J是應力偏量第二不變量； K 是純切屈服應力。并得出剛粘塑性本構(gòu)方程（簡稱 HP 方程） pij