【正文】 ??????????????????????????????????????????????????????)(2c o s2s i n)(2c o s)(2s i n)()(2s i n2c o s)()(2c o s)(2c o s)()(020020000000000tTfdfrdfrdfrtTfdfrtTfdtTfrtystttststs01 000( ) sin 2ta n( ) c o s 2ttr f dr f d? ? ? ??? ? ? ???????????72 因此， 圖所示的結(jié)構(gòu)： 在此圖中，有兩個匹配濾波器，其特性分別對二進制的兩種碼元匹配。匹配濾波器的輸出經(jīng)過包絡檢波，然后作比較判決。 由于起伏信號最佳接收機的結(jié)構(gòu)和隨相信號的相同，所以上圖同樣適用于對起伏信號作最佳接收。 匹配濾波器 f0 包絡檢波器 比較判決 匹配濾波器 f1 包絡檢波器 t=Ts M0 M1 r(t) y0(t) y1(t) 第 10章 數(shù)字信號最佳接收 73 第 10章 數(shù)字信號最佳接收 ? 最佳基帶傳輸系統(tǒng) ? 何謂最佳基帶傳輸系統(tǒng)？ 設基帶數(shù)字信號傳輸系統(tǒng)由發(fā)送濾波器、信道和接收濾波器組成： 其傳輸函數(shù)分別為 GT(f)、 C(f)和 GR(f)。 在第 6章中將這 3個濾波器集中用一個基帶總傳輸函數(shù)H(f)表示： H(f) = GT(f)?C(f)?GR(f) 抽樣 判決 74 第 10章 數(shù)字信號最佳接收 在第 6章中，為了消除碼間串擾，要求 H(f)必須滿足奈奎斯特第一準則。當時忽略了噪聲的影響，只考慮碼間串擾。 現(xiàn)在，我們將分析在 H(f)滿足消除碼間串擾的條件之后，如何設計 GT(f)、 C(f)和 GR(f)，以使系統(tǒng)在加性白色高斯噪聲條件下誤碼率最小。 將消除了碼間串擾并且噪聲最小的基帶傳輸系統(tǒng)稱為 最佳基帶傳輸系統(tǒng) 。 ? 設計最佳基帶傳輸系統(tǒng)的方法 由于信道的傳輸特性 C(f)往往不易得知，并且還可能是時變的。所以，在系統(tǒng)設計時，有兩種分析方法： 1）假設信道具有理想特性，即假設 C(f) = 1。 2）考慮到信道的非理想特性。 75 第 10章 數(shù)字信號最佳接收 ? 理想信道的最佳傳輸系統(tǒng) ? 最佳傳輸系統(tǒng)的條件 假設信道傳輸函數(shù) C(f) = 1。于是，基帶系統(tǒng)的傳輸特性變?yōu)? H(f) = GT(f)? GR(f) 上式中 GT(f)雖然表示發(fā)送濾波器的特性，但是若傳輸系統(tǒng)的輸入為沖激脈沖，則 GT(f)還兼有決定發(fā)送信號波形的功能，即它就是信號碼元的頻譜。 現(xiàn)在，將分析在 H(f)按照消除碼間串擾的條件確定之后，如何設計 GT(f)和 GR(f)，以使系統(tǒng)在加性白色高斯噪聲條件下誤碼率最小。 由對匹配濾波器頻率特性的要求可知，接收匹配濾波器的傳輸函數(shù) GR(f)應當是信號頻譜 S(f)的復共軛。現(xiàn)在，信號的頻譜就是發(fā)送濾波器的傳輸函數(shù) GT(f)，所以要求接收匹配濾波器的傳輸函數(shù)為： 上式中已經(jīng)假定 k = 1。 02)()( ftjTR efGfG ????76 第 10章 數(shù)字信號最佳接收 由 H(f) = GT(f)? GR(f) ，有 將上式代入所要求的接收匹配濾波器的傳輸函數(shù) 得到 即 上式左端是一個實數(shù)，所以上式右端也必須是實數(shù)。因此，上式可以寫為 所以得到接收匹配濾波器應滿足的條件為 )(/)()( fGfHfG RT ?? ??02)()( ftjTR efGfG ????02)()()( ftjRR efHfGfG ???? ?022 )()( ftjR efHfG ????|)(|)( 2 fHfG R ?2/1)()( fHfG R ?77 第 10章 數(shù)字信號最佳接收 由于上式條件沒有限定對接收濾波器的相位要求，所以可以選用 這樣，由 H(f) = GT(f)? GR(f) ，得到發(fā)送濾波器的傳輸特性為 上兩式就是最佳基帶傳輸系統(tǒng)對于收發(fā)濾波器傳輸函數(shù)的要求。 2/1)()( fHfG R ?)()( 2/1 fHfG R ?)()( 2/1 fHfG T ?78 第 10章 數(shù)字信號最佳接收 ?最佳基帶傳輸系統(tǒng)的誤碼率性能 設基帶信號碼元為 M 進制的多電平信號。一個碼元可以取下列 M 種電平之一： 其中 d為相鄰電平間隔的一半，如下圖所示。圖中的 M ＝ 8。 在接收端，判決電路的判決 門限值則應當設定在： dMdd )1(,3, ???? ?d 3d 7d 5d 3d d 0 t 7d 5d dMdd )2(,4,2,0 ???? ?79 第 10章 數(shù)字信號最佳接收 按照這樣的規(guī)定，在接收端抽樣判決時刻，若噪聲值不超過d，則不會發(fā)生錯誤判決。但是，當噪聲值大于最高信號電平值或小于最低電平值時，不會發(fā)生錯誤判決；也就是說，對于最外側(cè)的兩個電平，只在一個方向有出錯的可能。這種情況的出現(xiàn)占所有可能的 1/M。所以，錯誤概率為 式中， ?是噪聲的抽樣值，而 P(| ? |d)是噪聲抽樣值大于 d 的概率。 現(xiàn)在來計算上式中的 P(| ? |d) 。設接收濾波器輸入端高斯白噪聲的單邊功率譜密度為 n0，接收濾波器輸出的帶限高斯噪聲的功率為 ?2，則有 ? ?dPMP e ??????? ?? ?11?? ?????? ?? dffHndffGn R 22/10202 )(2)(2?80 第 10章 數(shù)字信號最佳接收 上式中的積分值是一個實常數(shù)，我們假設其等于 1，即假設 故有 這樣假設并不影響對誤碼率性能的分析。由于接收濾波器是一個線性濾波器，故其輸出噪聲的統(tǒng)計特性仍服從高斯分布。因此輸出噪聲 ?的一維概率密度函數(shù)等于 對上式積分，就可以得到抽樣噪聲值超過 d 的概率： ?? ?????? ?? dffHndffGn R 22/10202 )(2)(2????? ? 1)( 22/1 dffH202 n?????????? ??222e xp21)(?????f81 第 10章 數(shù)字信號最佳接收 上式中已作了如下變量代換： 將上式代入誤碼率公式，得到 ? ?? ? ????????????????????????????????? 2e x p22e x p2122/222de r f cdzzddPdd222 2/ ???z???????????? ?? ?211 de r f cMP e82 第 10章 數(shù)字信號最佳接收 現(xiàn)在，再將上式中的 Pe和 d/?的關(guān)系變換成 Pe和 E/n0的關(guān)系。由上述討論我們已經(jīng)知道，在 M 進制基帶多電平最佳傳輸系統(tǒng)中，發(fā)送碼元的頻譜形狀由發(fā)送濾波器的特性決定： 發(fā)送碼元多電平波形的最大值為 等。這樣，利用巴塞伐爾定理 計算碼元能量時，設多電平碼元的波形為 Ax(t)，其中 x(t)的最大值等于 1，以及 ???????????? ?? ?211 de r f cMP e)()( 2/1 fHfG T ?dMdd )1(,3, ???? ?? ???? ???? dffXdttx 22 )()(dMddA )1(,3, ????? ?83 第 10章 數(shù)字信號最佳接收 則有碼元能量等于 因此，對于 M 進制等概率多電平碼元，求出其平均碼元能量E等于 因此有 于是得到誤碼率的最終表示式： ? ???? ??? ?? 2222 )()( AdffHAdttxA? ?? ? ? ?)1(3)1(53121222222222/12?????????? ??MdMMdidMEMi?1322?? MEd???????????????? ???????? ?????????????? ??2/102 1311211nEMe r f cMde r f cMP e?84 第 10章 數(shù)字信號最佳接收 當 M＝ 2時， 上式是在理想信道中，消除碼間串擾條件下，二進制雙極性基帶信號傳輸?shù)淖罴颜`碼率。 M進制多電平信號的誤碼率曲線： 由此圖可見，當誤碼率 較低時，為保持誤碼率 不變， M值增大到 2倍， 信噪比大約需要增大 7 dB。 ? ?0/21 nEe r f cP e ?Pe 1 101 102 103 104 106 105 E/n0 (dB) M=2 4 8 16 0 5 10 15 20 25 30 35 85 第 10章 數(shù)字信號最佳接收 ? 非理想信道的最佳基帶傳輸系統(tǒng) ?最佳傳輸條件 接收信號碼元的頻譜等于 GT(f)?C(f)。為了使高斯白噪聲條件下的接收誤碼率最小，在接收端可以采用一個匹配濾波器。為使此匹配濾波器的傳輸函數(shù) GR?(f)和接收信號碼元的頻譜匹配，要求 GR?(f) = GT*(f)?C*(f) 基帶傳輸系統(tǒng)的總傳輸特性為 H(f) = GT(f)?C(f)?GR?(f) = GT(f)?C(f)? GT*(f)?C*(f) =|GT(f)|2|C(f)|2 此總傳輸特性 H(f)能使其對于高斯白噪聲的信噪比最小，但是還沒有滿足消除碼間串擾的條件。為了消除碼間串擾，由第 6章的討論得知， H(f)必須滿足： 86 第 10章 數(shù)字信號最佳接收 為此，可以在接收端增加一個橫向均衡濾波器 T(f)，使系統(tǒng)總傳輸特性滿足上式要求。故從上兩式可以寫出對 T(f)的要求 : 式中 ssi s TfTT ifH 2 1?????????? ??siiiTsTffCfGTfT21)()()( 2)(2)(?? ????????? ??sTiT TifGfG )()(???????? ??siTifCC )(87 第 10章 數(shù)字信號最佳接收 從上述分析得知，在非理想信道條件下，最佳接收濾波器的傳輸特性應該是傳輸特性為 GR?(f)的匹配濾波器和傳輸特性為 T(f)的均衡濾波器級連。 ?非理想信道的最佳基帶傳輸系統(tǒng)方框圖 ? 最后需要說明的是，上面的討論是假定發(fā)送濾波器和信道特性已給定，由設計接收濾波器使系統(tǒng)達到最佳化。在理論上，自然也可以假定接收濾波器和信道特性已給定，設計發(fā)送濾波器使系統(tǒng)達到最佳；或者只給定信道特性，聯(lián)合設計發(fā)送和接收濾波器兩者使系統(tǒng)達到最佳。但是，分析結(jié)果表明，這樣做的效果和僅使接收濾波器最佳化的結(jié)果差別不大。在工程設計時，還是以設計最佳接收濾波器的方法較為實用。 GT(f) C(f) GT*(f)C*(f) T(f) 最佳接收濾波器 n(t) 88 第 10章 數(shù)字信號最佳接收 ? 小結(jié)