【正文】 匹配濾波器 6 重慶大學通信工程學院 數字通信原理 匹配濾波器 匹配濾波器 :濾波器輸出信噪比在某一特定時刻達到最大，由此而導出的最佳線性濾波器 匹配濾波器的時域特性： 匹配濾波器的沖激響應與信號形成鏡像，而在時間上延遲 T0。 等效 匹配濾波器 相關器 重慶大學通信工程學院 數字通信原理 匹配濾波器 分析的出發(fā)點 1. 如果在判決時刻峰值功率與平均噪聲功率的比值（信噪比）最大，則判決的差錯概率將最小。 2. 根據接收機設計提出的這一原則來討論線性濾波器應滿足什么樣的特性，即應該具有怎樣的沖激響應 重慶大學通信工程學院 數字通信原理 數字信號的接收 H(ω ) 判決 ??st 輸出 ??nt??rt? ? 0y t t t?0SN??????抽樣判決以前各部分電路可以用一個線性濾波器來等效 s(t)為輸入數字信號，信道特性為加性高斯白噪聲信道， n(t)為加性高斯白噪聲 濾波器的輸入信號： r(t)=s(t)+n(t) H(ω) 為濾波器傳輸函數，其沖擊響應為 h(t) 重慶大學通信工程學院 數字通信原理 匹配濾波器 抽樣判決器輸出數據正確與否，只取決于抽樣時刻信號的瞬時功率與噪聲平均功率之比，即信噪比。信噪比越大，錯誤判決的概率就越小。 當選擇濾波器傳輸特性使輸出信噪比達到最大值時，則該濾波器就稱為輸出信噪比最大的最佳線性濾波器。 分析目標 —— 信噪比 先分別計算輸出信號的功率和噪聲功率，再求其比值 —— 得到信噪比 信號通過線性濾波器后的輸出信號應為 輸入信號和濾波器沖激響應的卷積 ，由于線性濾波器滿足疊加原理，可以將信號和噪聲分別處理 重慶大學通信工程學院 數字通信原理 匹配濾波器 時域處理 頻域處理 重慶大學通信工程學院 數字通信原理 信號的處理 經線性濾波器輸出信號為 : 在 t＝ T抽樣時刻輸出的信號功率為 : 信號 ? ?st重慶大學通信工程學院 數字通信原理 噪聲的處理 噪聲 —— 高斯白噪聲 ,雙邊功率譜密度 n0/2 維納－辛欣定理可得高斯白噪聲的自相關函數： 在 t＝ T抽樣時刻輸出的噪聲為： 線性濾波器輸出噪聲為 : 重慶大學通信工程學院 數字通信原理 噪聲的處理 噪聲是隨機的，其功率應為 /n的均方值。 信噪比 重慶大學通信工程學院 數字通信原理 信噪比 許瓦茲不等式 此式對任何一對有限能量信號均成立。而且當且僅當 b(t)=c*a(t)（ c為任意常數）時，不等式才化為等式。 重慶大學通信工程學院 數字通信原理 信噪比 許瓦茲不等式化為等式的條件： b(t)=c*a(t) 即當： 許瓦茲不等式等號成立時 獲得最大信噪比 許瓦茲不等式成立 t s(t) T 0 t h(t) T 0 重慶大學通信工程學院 數字通信原理 最大信噪比 最大信噪比只與噪聲功率譜及信號的能量有關，而與信號波形無關。 濾波器的最佳沖激響應 h(t)在形狀上除了時間反轉和延遲 T以外，和它指定要處理的信號形狀是一致的。從形象上看輸入信號的時間波形剛好可以嵌入濾波器的沖激響應曲線，從而得名 “ 匹配濾波器 ” 。 重慶大學通信工程學院 數字通信原理 匹配濾波器 時域處理 頻域處理 重慶大學通信工程學院 數字通信原理 信號的處理 經線性濾波器輸出信號的時域表達式為 : 信號頻譜 ? ?s ?重慶大學通信工程學院 數字通信原理 噪聲的處理 濾波器輸出噪聲的平均功率 在抽樣時刻 T，線性濾波器輸出信號的瞬時功率與噪聲平均功率之比 重慶大學通信工程學院 數字通信原理 信噪比 濾波器輸出信噪比與輸入信號的頻譜函數s(ω) 和濾波器的傳輸函數 H(ω) 有關。 在輸入信號給定的情況下，輸出信噪比只與濾波器的傳輸函數 H(ω) 有關。使輸出信噪比達到最大的傳輸函數 H(ω) 就是我們所要求的最佳濾波器的傳輸函數。 重慶大學通信工程學院 數字通信原理 信噪比 許瓦茲不等式 復函數 X(ω ),Y(ω )，則有 許瓦茲不等式成立 重慶大學通信工程學院 數字通信原理 信噪比 許瓦茲不等式成立條件 帕塞瓦爾定理 等式成立時有： 重慶大學通信工程學院 數字通信原理 信噪比 該濾波器在給定時刻 T能獲得最大輸出信噪比 2Eb/n0。 這種濾波器的傳輸函數除相乘因子 Kejω T外與信號頻譜的復共軛相一致，所以稱該濾波器為匹配濾波器。 重慶大學通信工程學院 數字通信原理 濾波器的工作過程 典型信號：方脈沖信號 寬度為 T的方脈沖 s(t) t 0 s(t) t 0 T T h(t)=s(tτ ) t 0 T 卷積積分，濾波器輸出 重慶大學通信工程學院 數字通信原理 h(tτ ) 卷積的過程 卷積積分，濾波器輸出 h(tτ ) T s(τ ) τ 0 t 0≤t≤T T≤t≤2T 濾波器輸出 2T U(t) 0 t cT T 重慶大學通信工程學院 數字通信原理 卷積的過程 2T U(t) 0 t cT T t=T時， s(t)與 h(tτ )完全重合，輸出有最大值，此時滿足許瓦茲不等式的等式成立條件 對于一個物理可實現的匹配濾波器，其輸入信號s(t)必須在它輸出最大信噪比的時刻 T之前結束。也就是說，若輸入信號在 T時刻結束，則為物理可實現的匹配濾波器 重慶大學通信工程學院 數字通信原理 頻域分析 令 c＝ 1 引入變量 a＝ T－ t 輸出信號頻譜 重慶大學通信工程學院 數字通信原理 頻域分析 輸出信號的頻譜幅度與噪聲功率譜之比恒為常數，與頻率無關。 輸入信號的頻譜函數： 傅氏反變換 重慶大學通信工程學院 數字通信原理 頻域分析 s(t)可以看作許多復正弦信號疊加的和 假設其中一項頻率為 幅度 相位 通過濾波器 幅度 相位 重慶大學通信工程學院 數字通信原理 頻域分析 輸出信號 s(t)的所有頻率分量通過濾波器輸出后都會在 t＝T時達到最大值，相位一致為零，故在 t＝ T時經匹配濾波器輸出的信號最大。從而形成了輸出信號的峰值。 幅度 相位 重慶大學通信工程學院 數字通信原理 矩形脈沖的頻譜 矩形脈沖的頻譜 信號能量分別小的地方，濾波器衰減大 —— 抑止噪聲 重慶大學通信工程學院 數字通信原理 噪聲的頻譜 噪聲除 ω ＝ 0點外，在所有其他頻率都受到衰減 信號分量在 ω ＝ 0點最大，噪聲影響不大 濾波器可以抑止噪聲，提高信噪比