曲面的法向量與切線方程-資料下載頁(yè)
2025-05-09 19:51本頁(yè)面
【正文】 ??? yyxf y 102 ???令 ,0? ,0?解得 ),35 ,34( ),35 ,34( ),2 ,1( ),2 ,1( ????其中只有 D?)2 ,1( 是駐點(diǎn)。 ,42 2xf xx ?? ,1?xyf .102 2yf yy ??點(diǎn)處，在 )2 ,1( ,06 ??A ,1?B ,29?C ,0262 ??? ACB因此，在 (1, 2)處取得極小值 .2ln107)2,1( ??f的最短距離．之間與平面求旋轉(zhuǎn)拋物面 2222 ????? zyxyxz10. 解 ,),( 22 上任一點(diǎn)為拋物面設(shè) yxzzyxP ??,022 dzyxP 的距離為到平面 ????則 .2261 ???? zyxd設(shè) .)22(61),( 2???? zyxzyxu則問(wèn)題就是在條件 022 ??? yxz 下， 求 2)22(61),( ???? zyxzyxu 的最小值。 構(gòu)造函數(shù) ),()22(61),( 222 yxzzyxzyxF ??????? ???????????????????????????????????)4( ,0)3( ,0)2)(22(31)2( ,02)22(31)1(,02)22(31 22yxzzyxFyzyxFxzyxFzyx???令.81?z構(gòu)造函數(shù) ),()22(61),( 222 yxzzyxzyxF ??????? ?由 (1), (3) 得 ,41?x由 (2), (3) 得 ,41?y代入 (4) 得 ),81 ,41 ,41(即得唯一可能的極值點(diǎn).64 7241414161m i n ?????d值一定存在，根據(jù)題意，距離的最小處取得最小值．故必在 )81 ,41 ,41(.81?z由 (1), (3) 得 ,41?x由 (2), (3) 得 ,41?y代入 (4) 得 ),81 ,41 ,41(即得唯一可能的極值點(diǎn)例 已知曲面的方程為 ,sin xyxz ? 證明：曲面上任一 點(diǎn)處的切平面通過(guò)某一定點(diǎn)。 解 設(shè)曲面上任一點(diǎn)為 M ( x0, y0, z0 ) . ????????? xyxxz x sin ,c o ssin xyxyxy ??????????? xyxyz y sin,cos xy?曲面在點(diǎn) M ( x0, y0, z0 ) 處的法向量為 } 1 ,c o s ,c o ssin { 00000000 ???xyxyxyxyn切平面方程 0)()(c o s))(c o s( sin 00000000000 ??????? zzyyxyxxxyxyxy曲面在點(diǎn) M ( x0, y0, z0 ) 處的法向量為 } 1 ,c o s ,c o ssin { 00000000 ???xyxyxyxyn切平面方程 0)()(c o s))(c o s( sin 00000000000 ??????? zzyyxyxxxyxyxy0)sin(c o s)c o s( sin000000000000 ??????xyxzzxyyxxyxyxyM ( x0, y0, z0 ) 是曲面上的點(diǎn)， 因此， .0sin0000 ??xyxz切平面方程 .0c o s)c o s( sin00000000 ???? zxyyxxyxyxy因此，曲面上任一點(diǎn)處的切平面均通過(guò)原點(diǎn) (0, 0, 0)。
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