【導(dǎo)讀】數(shù)論所特有的思想,也是研究余數(shù)除法的重要工具。然后,又歸納總了同余方程的解及應(yīng)用,例如:一次同余式的形式、解。同余式以及解一次同余式組和中國(guó)剩余定理的應(yīng)用等問(wèn)題,討論的過(guò)程中由淺入深,的性質(zhì)理解更為深刻。再次,結(jié)合同余理論的概念與性質(zhì),給出常見(jiàn)的習(xí)題及解題技巧,并舉例說(shuō)明了幾個(gè)重要的同余定理和它們的應(yīng)用。一個(gè)內(nèi)容豐富，題目難度較大的知識(shí)體系，也是各大杯賽小升初考試必考的奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)，所以學(xué)好本講對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)非常重要。余數(shù)問(wèn)題主要包括了帶余除法的定義，三大余數(shù)

　　

【正文】 南京師范大學(xué)泰州學(xué)院本科畢業(yè)論文 17 )(mod 11 mbx ? ， )(mod 221 mbx ? ， ? , )(mod kk mbx ? 的整數(shù)解是 )( m o d,2,221,11 mMMbMMbMMbx kkk???? ?。 本題里面的 ，1M 是滿足于同余式 )(m od1 ii mMM ?， ， ),2,1( ki ?? 得正整數(shù)解 . 例 解同余式組 ????????)7(mod2)5(mod3)3(mod2xxx 解 其中 21?b ， 32?b ， 23?b ， 31?m ， 52?m 73?m ， 35321 3212 ??? mmm mmmM ， 21312 ?? mmM ， ， 15213 ?? mmM ， 。 因?yàn)?)3(mod1352 ?? , 所以 21?，M , 有 )5(mod0352 ?? )7(mod0352 ?? 所以 11?，M , 12?，M 于是 )105( m o d233215132112352 ???????????x 。 南京師范大學(xué)泰州學(xué)院本科畢業(yè)論文 18 4 奧數(shù) —— 數(shù)論之同余問(wèn)題 余數(shù)問(wèn)題是數(shù)論知識(shí)板塊中另一個(gè)內(nèi)容豐富，題目難度較大的知識(shí)體系，也是各大杯賽小升初考試必考的奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)，所以學(xué)好本講對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)非常重要。 許多孩子都接觸過(guò)余數(shù)的有關(guān)問(wèn)題，并有不少孩子說(shuō)“遇到余數(shù)的問(wèn)題就基本暈菜了！” 余數(shù)問(wèn)題主要包括了帶余除法的定義，三大余數(shù)定理（加法余數(shù)定理，乘法余數(shù)定理，和同余定理），及中國(guó)剩余定理和有關(guān)棄九法原理的應(yīng)用。 帶余除法的定義及性質(zhì) 一般地，如果 a 是整數(shù)， b 是整數(shù)（ 0?b ） ,若有 rqba ???? ，也就是 rqba ??? ， br??0 ；我們稱上面的除法算式為一個(gè)帶余除法算式。這里： (1)當(dāng) 0?r 時(shí)：我們稱 a 可以被 b 整除， q 稱為 a 除以 b 的商或完全商 (2)當(dāng) 0?r 時(shí)：我們稱 a 不可以被 b 整除， q 稱為 a 除以 b 的商或不完全商 一個(gè)完美的帶余除法講解模型 : 如圖，這是一堆書(shū)，共有 a 本，這個(gè) a 就可以理解為被除數(shù)，現(xiàn)在要求按照 b 本一捆打包，那么 b 就是除數(shù)的角色，經(jīng)過(guò)打包后共打包了 c 捆，那么這個(gè) c就是商，最后還剩余 d 本，這個(gè) d 就是余數(shù)。 這個(gè)圖能夠讓學(xué)生清晰的明白帶余除法算式中 4個(gè)量的關(guān)系。并且可以看出余數(shù)一定要比除數(shù)小。 三大余數(shù)定理 余數(shù)的加法定理 a 與 b 的和除以 c 的余數(shù)，等于 a ,b 分別除以 c 的余數(shù)之和，或這個(gè)和除以 c 的余數(shù)。 例如： 23， 16 除以 5的余數(shù)分別是 3 和 1，所以 23+16=39 除以 5 的余數(shù)等 于 4，即兩個(gè)余數(shù)的和 3+1。 南京師范大學(xué)泰州學(xué)院本科畢業(yè)論文 19 當(dāng)余數(shù)的和比除數(shù)大時(shí)，所求的余數(shù)等于余數(shù)之和再除以 c 的余數(shù)。 例如： 23， 19 除以 5 的余數(shù)分別是 3 和 4，故 23+19=42 除以 5 的余數(shù)等于 3+4=7除以 5的余數(shù)，即 2。 余數(shù)的乘法定理 a 與 b 的乘積除以 c 的余數(shù)，等于 a ,b 分別除以 c 的余數(shù)的積，或者這個(gè)積除以 c 所得的余數(shù)。 例如： 23， 16除以 5 的余數(shù)分別是 3和 1，所以 23 16除以 5 的余數(shù)等于 3 1=3。 當(dāng)余數(shù)的和比除數(shù)大時(shí)，所求的余數(shù)等于余數(shù)之積再除以 c 的余數(shù)。 例如： 23， 19 除以 5的余數(shù)分別是 3 和 4，所以 23 19 除以 5的余數(shù)等于 3 4 除以 5 的余數(shù)，即 2。 同余定理 若兩個(gè)整數(shù) a 、 b 被自然數(shù) m 除有相同的余數(shù)，那么稱 a 、 b 對(duì)于模 m 同余，用式子表示為： )(modmba? ，左邊的式子叫做同余式。 同余式讀作： a 同余于 b ，模 m 。由同余的性質(zhì)，我們可以得到一個(gè)非常重要的推論： 若兩個(gè)數(shù) a， b 除以同一個(gè)數(shù) m 得到的余數(shù)相同，則 a ， b 的差一定能被 m 整除 用式子表示為：如果有 )(modmba? ，那么一定有 mkba ?? ， k 是整數(shù)，即 bam? 棄九法原理 在公元前 9 世紀(jì)，有個(gè)印度數(shù)學(xué)家名叫花拉子米，寫(xiě)有一本《花拉子米算術(shù)》，他們?cè)谟?jì)算時(shí)通常是在一個(gè)鋪有沙子的土板上進(jìn)行，由于害怕以前的計(jì)算結(jié)果丟失而經(jīng)常檢驗(yàn)加法運(yùn)算是否正確，他們的檢驗(yàn)方式是這樣進(jìn)行的： 例如：檢驗(yàn)算式 12 34 18 98 18 92 2 67 89 67 17 89 02 88 99 23? ? ? ? ? 1234 除以 9的余數(shù)為 1 1898 除以 9的余數(shù)為 8 18922 除以 9 的余數(shù)為 4 678967 除以 9 的余數(shù)為 7 南京師范大學(xué)泰州學(xué)院本科畢業(yè)論文 20 178902 除以 9的余數(shù)為 0 這些余數(shù)的和除以 9 的余數(shù)為 2，但 等式右邊和除以 9 的余數(shù)為 3， 所以 上面這個(gè)算式是錯(cuò)的。 上述檢驗(yàn)方法用到的就是前面所講的余數(shù)的加法定理，即如果這個(gè)等式是正確的，則 左邊幾個(gè)加數(shù)除以 9的余數(shù)的和再除以 9的余數(shù)一定與等式右邊和除以 9的余數(shù)相同。 但是 我們?cè)谇笠粋€(gè)自然數(shù)除以 9 所得的余數(shù)時(shí)，常常不用去列除法豎式進(jìn)行計(jì)算，只要計(jì)算這個(gè)自然數(shù)的各個(gè)位數(shù)字之和除以 9的余數(shù)就可以了，在算的時(shí)候往往就是一個(gè) 9 一個(gè) 9的找并且劃去，所以這種方法被稱作“棄九法”。 所以我們總結(jié)出棄九發(fā)原理：任何一個(gè)整數(shù)模 9同余于它的各數(shù)位上數(shù)字之和。 以后我們求一個(gè)整數(shù)被 9除的余數(shù)，只要先計(jì)算這個(gè)整數(shù)各數(shù)位上數(shù)字之和，再求這個(gè)和被 9除的余數(shù)即可。 利用十進(jìn)制的這個(gè)特性，不僅可以檢驗(yàn)幾個(gè)數(shù)相加，對(duì)于檢驗(yàn)相乘、相除和乘方的結(jié)果對(duì)不對(duì)同樣適用 。 注意：棄九法只能知道原題一定是錯(cuò)的或有可能正確，但不能保證一定正確。例如：檢驗(yàn)算式 9+9=9 時(shí)，等式兩邊的除以 9的余數(shù)都是 0，但是顯然算式是錯(cuò)誤的 。 但是反過(guò)來(lái)，如果一個(gè)算式一定是正確的，那么它的等式 2兩端一定滿足棄九法的規(guī)律。這個(gè)思想往往可以幫助我們解決一些較復(fù)雜的算式迷問(wèn)題。 南京師范大學(xué)泰州學(xué)院本科畢業(yè)論文 21 4 總結(jié) 同余理論在數(shù)論中是非常重要的一個(gè)部分，由整除概念的延拓得到了同余理論，引進(jìn)了同余之后就簡(jiǎn)化了數(shù)論中的很多問(wèn)題，它的應(yīng)用十分廣泛，在生活中也經(jīng)常遇到，這也極大地推動(dòng)和豐富了它們的發(fā)展，許多新的理論、技巧和方法的誕生與發(fā)展 都是同余理論的應(yīng)用與推廣。本文首先歸納總結(jié)了同余的性質(zhì)及其應(yīng)用在同余的定義的基礎(chǔ)上介紹了同余的中幾個(gè)重要的性質(zhì)并且側(cè)重討論了同余的幾個(gè)重要的應(yīng)用，剩余類(lèi)和剩余系也是它的研究對(duì)象。然后，我們又歸納總結(jié)了同余方程的解及應(yīng)用。其性質(zhì)在初等數(shù)論中有著重要的應(yīng)用，如檢驗(yàn)、判斷整除問(wèn)題、解方程、求余數(shù)等，對(duì)其研究具有一定的應(yīng)用價(jià)值。教材中雖給出了同余的性質(zhì)及其相關(guān)的應(yīng)用，但對(duì)其研究還不夠全面、不徹底，所以對(duì)同余的性質(zhì)及其應(yīng)用進(jìn)行歸納總結(jié)從而作進(jìn)一步的研究就顯得特別重要。 南京師范大學(xué)泰州學(xué)院本科畢業(yè)論文 22 謝辭 走的最快的總是時(shí)間，來(lái)不及感嘆，大學(xué)生活已近尾聲，四年的努力與付出，隨著本次論文的完成，將要?jiǎng)澫峦昝赖木涮?hào)。 本論文設(shè)計(jì) 是 在 黃玉才 老師的悉心指導(dǎo)和嚴(yán)格要求下完成 的 ，從課題選擇到具體的寫(xiě)作過(guò)程，論文初稿與定稿無(wú)不凝聚著 王志剛 老師的心血和汗水 。 在我的畢業(yè)設(shè)計(jì)期間， 王志剛 老師為我提供了種種專(zhuān)業(yè)知識(shí)上的指導(dǎo)和一些富于創(chuàng)造性的建議， 王 老師一絲不茍的作風(fēng)，嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的態(tài)度使我深受感動(dòng)，沒(méi)有這樣的幫助和關(guān)懷和熏陶，我不會(huì)這么順利的完成畢業(yè)設(shè)計(jì)。在此向 王志剛 老師表示深深的感謝和崇高的敬意！ 在臨近畢業(yè)之際，我還要借此機(jī)會(huì)向在這四年中給予我諸多教誨和幫助的各位老師表示由衷的謝意，感謝他們四年來(lái)的辛勤栽培。不積跬步 ， 何以至千里，各位任課老師認(rèn)真負(fù)責(zé)，在他們的悉心幫助和支持下，我能夠很好的掌握和運(yùn)用專(zhuān)業(yè)知識(shí)，并在設(shè)計(jì)中得以體現(xiàn)，順利完成畢業(yè)論文。 同時(shí)，在論文寫(xiě)作過(guò)程中，我還參考了有關(guān)的書(shū)籍和論文，在這里一并向有關(guān)的作者表示謝意。 此外， 感謝同組的各位同學(xué)以及我的各位室友，在畢業(yè)設(shè)計(jì)的這段時(shí)間里，你們給了我很多的啟發(fā)，提出了很多寶貴的意見(jiàn)，對(duì)于你們幫助和支持，在此我表示深深地感謝！ 南京師范大學(xué)泰州學(xué)院本科畢業(yè)論文 23 參考文獻(xiàn) [1] 南秀全 , 劉漢文 .同余理論 [M]. 哈爾濱 : 哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社 , 20xx:232. 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