【正文】 f(x)=的反函數(shù)，則下列不等式中恒成立的是 （ ） A． B． C． D． 4．如果雙曲線上一點(diǎn) P到右焦點(diǎn)的距離為 , 那么點(diǎn) P 到右準(zhǔn)線的距離是（ ） A． B． 13 C． 5 D． 5．把正方形 ABCD沿對(duì)角線 AC 折起，當(dāng) A、 B C、 D 四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大時(shí)，直線 BD 與平面 ABC 所成的角的大小為 （ ） A． 90176。 B． 60176。 C． 45176。 D． 30176。 6．某公司甲、乙、丙、丁四個(gè)地區(qū)分別有 150 個(gè)、 120 個(gè)、 180 個(gè)、 150 個(gè)銷售點(diǎn) .公司為了調(diào)查產(chǎn)品的情況，需從這 600個(gè)銷售點(diǎn)中抽取一個(gè)容量為 100的樣本，記這項(xiàng)調(diào)查為①；在丙地區(qū)中有 20 個(gè)特大型銷售點(diǎn)，要從中抽取 7 個(gè)調(diào)查其收入和售后服務(wù)等情況，記這項(xiàng)調(diào)查為② .則完成這兩項(xiàng)調(diào)查宜采用的抽樣方法依次為 （ ） A．分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法 B．分層抽樣法，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法 C．系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法 D．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法，分層抽樣法 7．若 f(x)=x2+2ax 與在區(qū)間 [1,2]上都是減函數(shù) ，則 a的值范圍是 （ ） A． B． C．（ 0， 1） D． 8．已知向量 ,向量則的最大值，最小值分別是（ ） A． B． C． 16， 0 D． 4， 0 x y o A x y o D x y o C x y o B 9．若函數(shù) f(x)=x2+bx+c 的圖象的頂點(diǎn)在第四象限，則函數(shù) f /(x)的圖象是 （ ） 10．從正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中任取三個(gè)點(diǎn)作為三角形，直角三角形的個(gè)數(shù)為 （ ） A． 56 B． 52 C． 48 D． 40 11．農(nóng)民收入由工資性收入和其它收入兩部分構(gòu)成 .2021 年某地區(qū)農(nóng)民人均收入為 3150 元 (其中工資性收入為 1800 元，其它收入為1350 元 ), 預(yù)計(jì)該地區(qū)自 2021年起的 5 年內(nèi)，農(nóng)民的工資性收入將以每年 6%的年增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，其它收入每年增加 160元根據(jù)以上數(shù)據(jù)， 2021年該地區(qū)農(nóng)民人均收入介于 （ ） A． 4200元 ~4400元 B． 4400元 ~4600元 C． 4600元 ~4800元 D． 4800元 ~5000元 12．設(shè)集合 U={(x,y)|x∈ R,y∈ R}, A={(x,y)|2xy+m0}, B={(x,y)|x+yn≤ 0},那么點(diǎn) P（ 2， 3） 的充要條件是 （ ） A． B． C． D． 二、填空題：本大題 共 4 小題，每小題 4分，共 16 分，把答案填在題中橫線上 . 13．過(guò)點(diǎn) P（－ 1， 2）且與曲線 y=3x24x+2 在點(diǎn) M（ 1， 1）處的切線平行的直線方程是 __________. 14．的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為 ___________(用數(shù)字作答 ) 15． F1， F2 是橢圓 C：的焦點(diǎn)，在 C 上滿足 PF1⊥ PF2 的點(diǎn) P 的個(gè)數(shù)為 __________. 16．若直線 y=2a 與函數(shù) y=|ax1|(a0,且 a≠ 1)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，則 a 的取值范圍是 _______. 三、解答題：本大題 共 6 小題，共 74 分 . 解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或運(yùn)算步驟 . 17．（本小題滿分 12 分） 18．（本小題滿分 12 分） 如圖，在底面 是菱形的四棱錐 P— ABCＤ中，∠ ABC=600， PA=AC=a,PB=PD=,點(diǎn) E是 PD 的中點(diǎn) . （ I）證明 PA⊥平面 ABCD， PB∥平面 EAC； （ II）求以 AC為棱， EAC 與 DAC 為面的二面角的正切值 . 19．（本小題滿分 12 分） 甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自獨(dú)立地加工同一種零件，已知甲機(jī)床加工的零件是一等品而乙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為 ,乙機(jī)床加工的零件是一等品而丙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為 ,甲、丙兩臺(tái)機(jī)床加工的零件都是一等品的概率為 . （Ⅰ）分別求甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工零件是一等品的概率； （Ⅱ）從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)，求至少有一個(gè)一等品的概率 . 20．（本小題滿分 12 分） 已知數(shù)列 {an}是首項(xiàng)為 a且公比 q 不等于 1的等比數(shù)列， Sn 是其前 n 項(xiàng)的和， a1,2a7,3a4 成等差數(shù)列 . （ I）證明 12S3,S6,S12S6成等比數(shù)列； （ II）求和 Tn=a1+2a4+3a7+? +na3n2. 21．（本小題滿分 12 分） 如圖，已知曲線 C1： y=x3(x≥ 0)與曲線 C2:y=－ 2x3+3x(x≥ 0)交于 O， A,直線 x=t(00)作直線與拋物線交于 A,B 兩點(diǎn)，點(diǎn) Q是點(diǎn) P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn) （ I）設(shè)點(diǎn) P分有向線段所成的比 為，證明 : （ II）設(shè)直線 AB 的方程是 x2y+12=0，過(guò) A,B 兩點(diǎn)的圓 C 與拋物線在點(diǎn) A 處有共同的切線，求圓 C的方程 . 2021年普通高等學(xué)校招生湖南卷文史類類數(shù)學(xué)試題 參考答案 13． 2x－ y+4=0 14． 84 15． 2 16． 17．（本小題滿分 12 分） 解：由 于是 18．（Ⅰ）證法一 因?yàn)榈酌?ABCD是菱形，∠ ABC=60176。， 所以 AB=AD=AC=a， 在△ PAB中， 由 PA2+AB2=2a2=PB2 知 PA⊥ AB. 同理， PA⊥ AD，所以 PA⊥平面 ABCD. 因?yàn)? 所以 、共面 . 又 PB 平面 EAC，所以 PB//平面 EAC. 證法二 同證法一得 PA⊥平面 ABCD. 連結(jié) BD，設(shè) BDAC=O，則 O為 BD的中點(diǎn) . 連結(jié) OE，因?yàn)?E是 PD 的中點(diǎn)，所以 PB//OE. 又 PB 平面 EAC， OE 平面 EAC，故 PB//平面 EAC. （Ⅱ）解 作 EG//PA交 AD 于 G，由 PA⊥平面 ABCD. 知 EG⊥平面 ABCD. 作 GH⊥ AC 于 H，連結(jié) EH，則 EH⊥ AC，∠ EHG 即為二面角的平面角 . 又 E 是 PD 的中點(diǎn)，從而 G是 AD的中點(diǎn)， 所以 19．（本小題滿分 12 分） 解：（Ⅰ）設(shè) A、 B、 C 分別為甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工的零件是一等品的事件 . ① ② ③ 由題設(shè)條件有 由①、③得 代入②得 27[P(C)]2－ 51P(C)+22=0. 解得 （舍去） . 將 分別代入 ③、② 可得 即甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各加工的零件是一等品的概率分別是 （Ⅱ）記 D 為從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)，至少有一個(gè)一等品的事件， 則 故從甲、乙、丙加 工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)，至少有一個(gè)一等品的概率為 20．（Ⅰ）證明 由成等差數(shù)列， 得， 即 變形得 所以（舍去） . 由 得 所以 12S3， S6， S12－ S6成等比數(shù)列 . （Ⅱ）解： 即 ① ①得： 所以 21．（本小題滿分 12 分） 解：（Ⅰ）由得交點(diǎn) O、 A的坐標(biāo)分別是（ 0， 0），（ 1， 1） . 即 （Ⅱ） 令 解得 當(dāng)從而在區(qū)間上是增函數(shù)； 當(dāng)從而在區(qū)間上是減函數(shù) . 所以當(dāng) 時(shí)，有最大值為 22．解：（Ⅰ）依題意，可設(shè)直線 AB的方程為 代入拋物線方程得 ① 設(shè) A、 B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 、 x2 是方程①的兩根 . 所以 由點(diǎn) P（ 0， m）分有向線段所成的比為， 得 又點(diǎn) Q 是點(diǎn) P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)， 故點(diǎn) Q 的坐標(biāo)是（ 0，－ m），從而 . 所以 （Ⅱ）由 得點(diǎn) A、 B的坐標(biāo)分別是（ 6， 9）、（－ 4， 4） . 由 得 所以拋物線 在點(diǎn) A 處切線的斜率為 設(shè)圓 C 的方程是 則 解之得 所以圓 C 的方程是 即