【正文】 f(x)=的反函數(shù)，則下列不等式中恒成立的是 （ ） A． B． C． D． 4．如果雙曲線上一點 P到右焦點的距離為 , 那么點 P 到右準(zhǔn)線的距離是（ ） A． B． 13 C． 5 D． 5．把正方形 ABCD沿對角線 AC 折起，當(dāng) A、 B C、 D 四點為頂點的三棱錐體積最大時，直線 BD 與平面 ABC 所成的角的大小為 （ ） A． 90176。 B． 60176。 C． 45176。 D． 30176。 6．某公司甲、乙、丙、丁四個地區(qū)分別有 150 個、 120 個、 180 個、 150 個銷售點 .公司為了調(diào)查產(chǎn)品的情況，需從這 600個銷售點中抽取一個容量為 100的樣本，記這項調(diào)查為①；在丙地區(qū)中有 20 個特大型銷售點，要從中抽取 7 個調(diào)查其收入和售后服務(wù)等情況，記這項調(diào)查為② .則完成這兩項調(diào)查宜采用的抽樣方法依次為 （ ） A．分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法 B．分層抽樣法，簡單隨機抽樣法 C．系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法 D．簡單隨機抽樣法，分層抽樣法 7．若 f(x)=x2+2ax 與在區(qū)間 [1,2]上都是減函數(shù) ，則 a的值范圍是 （ ） A． B． C．（ 0， 1） D． 8．已知向量 ,向量則的最大值，最小值分別是（ ） A． B． C． 16， 0 D． 4， 0 x y o A x y o D x y o C x y o B 9．若函數(shù) f(x)=x2+bx+c 的圖象的頂點在第四象限，則函數(shù) f /(x)的圖象是 （ ） 10．從正方體的八個頂點中任取三個點作為三角形，直角三角形的個數(shù)為 （ ） A． 56 B． 52 C． 48 D． 40 11．農(nóng)民收入由工資性收入和其它收入兩部分構(gòu)成 .2021 年某地區(qū)農(nóng)民人均收入為 3150 元 (其中工資性收入為 1800 元，其它收入為1350 元 ), 預(yù)計該地區(qū)自 2021年起的 5 年內(nèi)，農(nóng)民的工資性收入將以每年 6%的年增長率增長，其它收入每年增加 160元根據(jù)以上數(shù)據(jù)， 2021年該地區(qū)農(nóng)民人均收入介于 （ ） A． 4200元 ~4400元 B． 4400元 ~4600元 C． 4600元 ~4800元 D． 4800元 ~5000元 12．設(shè)集合 U={(x,y)|x∈ R,y∈ R}, A={(x,y)|2xy+m0}, B={(x,y)|x+yn≤ 0},那么點 P（ 2， 3） 的充要條件是 （ ） A． B． C． D． 二、填空題：本大題 共 4 小題，每小題 4分，共 16 分，把答案填在題中橫線上 . 13．過點 P（－ 1， 2）且與曲線 y=3x24x+2 在點 M（ 1， 1）處的切線平行的直線方程是 __________. 14．的展開式中的常數(shù)項為 ___________(用數(shù)字作答 ) 15． F1， F2 是橢圓 C：的焦點，在 C 上滿足 PF1⊥ PF2 的點 P 的個數(shù)為 __________. 16．若直線 y=2a 與函數(shù) y=|ax1|(a0,且 a≠ 1)的圖象有兩個公共點，則 a 的取值范圍是 _______. 三、解答題：本大題 共 6 小題，共 74 分 . 解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或運算步驟 . 17．（本小題滿分 12 分） 18．（本小題滿分 12 分） 如圖，在底面 是菱形的四棱錐 P— ABCＤ中，∠ ABC=600， PA=AC=a,PB=PD=,點 E是 PD 的中點 . （ I）證明 PA⊥平面 ABCD， PB∥平面 EAC； （ II）求以 AC為棱， EAC 與 DAC 為面的二面角的正切值 . 19．（本小題滿分 12 分） 甲、乙、丙三臺機床各自獨立地加工同一種零件，已知甲機床加工的零件是一等品而乙機床加工的零件不是一等品的概率為 ,乙機床加工的零件是一等品而丙機床加工的零件不是一等品的概率為 ,甲、丙兩臺機床加工的零件都是一等品的概率為 . （Ⅰ）分別求甲、乙、丙三臺機床各自加工零件是一等品的概率； （Ⅱ）從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗，求至少有一個一等品的概率 . 20．（本小題滿分 12 分） 已知數(shù)列 {an}是首項為 a且公比 q 不等于 1的等比數(shù)列， Sn 是其前 n 項的和， a1,2a7,3a4 成等差數(shù)列 . （ I）證明 12S3,S6,S12S6成等比數(shù)列； （ II）求和 Tn=a1+2a4+3a7+? +na3n2. 21．（本小題滿分 12 分） 如圖，已知曲線 C1： y=x3(x≥ 0)與曲線 C2:y=－ 2x3+3x(x≥ 0)交于 O， A,直線 x=t(00)作直線與拋物線交于 A,B 兩點，點 Q是點 P關(guān)于原點的對稱點 （ I）設(shè)點 P分有向線段所成的比 為，證明 : （ II）設(shè)直線 AB 的方程是 x2y+12=0，過 A,B 兩點的圓 C 與拋物線在點 A 處有共同的切線，求圓 C的方程 . 2021年普通高等學(xué)校招生湖南卷文史類類數(shù)學(xué)試題 參考答案 13． 2x－ y+4=0 14． 84 15． 2 16． 17．（本小題滿分 12 分） 解：由 于是 18．（Ⅰ）證法一 因為底面 ABCD是菱形，∠ ABC=60176。， 所以 AB=AD=AC=a， 在△ PAB中， 由 PA2+AB2=2a2=PB2 知 PA⊥ AB. 同理， PA⊥ AD，所以 PA⊥平面 ABCD. 因為 所以 、共面 . 又 PB 平面 EAC，所以 PB//平面 EAC. 證法二 同證法一得 PA⊥平面 ABCD. 連結(jié) BD，設(shè) BDAC=O，則 O為 BD的中點 . 連結(jié) OE，因為 E是 PD 的中點，所以 PB//OE. 又 PB 平面 EAC， OE 平面 EAC，故 PB//平面 EAC. （Ⅱ）解 作 EG//PA交 AD 于 G，由 PA⊥平面 ABCD. 知 EG⊥平面 ABCD. 作 GH⊥ AC 于 H，連結(jié) EH，則 EH⊥ AC，∠ EHG 即為二面角的平面角 . 又 E 是 PD 的中點，從而 G是 AD的中點， 所以 19．（本小題滿分 12 分） 解：（Ⅰ）設(shè) A、 B、 C 分別為甲、乙、丙三臺機床各自加工的零件是一等品的事件 . ① ② ③ 由題設(shè)條件有 由①、③得 代入②得 27[P(C)]2－ 51P(C)+22=0. 解得 （舍去） . 將 分別代入 ③、② 可得 即甲、乙、丙三臺機床各加工的零件是一等品的概率分別是 （Ⅱ）記 D 為從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗，至少有一個一等品的事件， 則 故從甲、乙、丙加 工的零件中各取一個檢驗，至少有一個一等品的概率為 20．（Ⅰ）證明 由成等差數(shù)列， 得， 即 變形得 所以（舍去） . 由 得 所以 12S3， S6， S12－ S6成等比數(shù)列 . （Ⅱ）解： 即 ① ①得： 所以 21．（本小題滿分 12 分） 解：（Ⅰ）由得交點 O、 A的坐標(biāo)分別是（ 0， 0），（ 1， 1） . 即 （Ⅱ） 令 解得 當(dāng)從而在區(qū)間上是增函數(shù)； 當(dāng)從而在區(qū)間上是減函數(shù) . 所以當(dāng) 時，有最大值為 22．解：（Ⅰ）依題意，可設(shè)直線 AB的方程為 代入拋物線方程得 ① 設(shè) A、 B 兩點的坐標(biāo)分別是 、 x2 是方程①的兩根 . 所以 由點 P（ 0， m）分有向線段所成的比為， 得 又點 Q 是點 P關(guān)于原點的對稱點， 故點 Q 的坐標(biāo)是（ 0，－ m），從而 . 所以 （Ⅱ）由 得點 A、 B的坐標(biāo)分別是（ 6， 9）、（－ 4， 4） . 由 得 所以拋物線 在點 A 處切線的斜率為 設(shè)圓 C 的方程是 則 解之得 所以圓 C 的方程是 即