關(guān)于實(shí)數(shù)完備性的基本定理閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明-資料下載頁
【導(dǎo)讀】關(guān)于實(shí)數(shù)完備性的基本定理。閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明。的子數(shù)列（或子列）．的一個(gè)數(shù)列稱為原數(shù)列。項(xiàng)，顯然，中卻是第在原數(shù)列而。的任一子數(shù)列．是數(shù)列設(shè)數(shù)列nnxx. )(xf在0x的極限存在。定義1：設(shè)給定一數(shù)集E，若存在數(shù)?，適合以下條件：。叫做E的上確界，記為,supE??定理2設(shè)數(shù)集有上（下）確界，則這上（下）確界唯一。為單調(diào)增加的無界數(shù)列，則)(?????n為遞增有界數(shù)列由區(qū)間套定義知?有并按區(qū)間套的條件也有極限遞減有界數(shù)列同理)(ii，b，],[nnba則所確定的點(diǎn)，區(qū)間套中要求各個(gè)區(qū)間都是閉區(qū)間,才能保證定理結(jié)論的成立.設(shè)為數(shù)軸上的點(diǎn)集,為定點(diǎn),(它可以屬于,也可以不屬于S?則記此子區(qū)間為中無窮多個(gè)點(diǎn)有一個(gè)含有],b,[aS22，.S]}b,{[ann中無窮多外點(diǎn)有且其中每個(gè)閉區(qū)間都含是區(qū)間套即，開區(qū)間內(nèi),則稱為的一個(gè)開覆蓋,或簡(jiǎn)稱覆蓋.中有限個(gè)即不能用假設(shè)定理的結(jié)論不成立用反證法H，它滿足則得到一個(gè)閉區(qū)間列不斷進(jìn)行下去]},,{[nnba，的一個(gè)開覆蓋是由于],[,,2,1],[,baHnbann?????
【正文】 ),( ???定理 (HeineBorele 有限覆蓋定理 ) 設(shè) 為閉區(qū)間 的一個(gè) (無限 )開覆蓋 ,則從 中可 選出有限個(gè)開區(qū)間來覆蓋 . HH],[ ba],[ ba?定理的證明 中有限個(gè)即不能用假設(shè)定理的結(jié)論不成立用反證法 H，].,[ ba開區(qū)間來覆蓋H，ba 間不能用則其中至少有一個(gè)子區(qū)等分為兩個(gè)子區(qū)間將 ],[則記其為中有限個(gè)開區(qū)間來覆蓋 ],[. 11 ba).(21],[],[ 11,11 ababbaba ???? 且它滿足則得到一個(gè)閉區(qū)間列不斷進(jìn)行下去 ] } ,{[ nn ba，區(qū)間不能用同樣其中至少有一個(gè)子等分為兩個(gè)子區(qū)間將 ，ba ],[ 11則記其為中有限個(gè)開區(qū)間來覆蓋 ],[. 22 baH).(2 1],[],[ 222,1122 ababbaba ???? 且,2,1],[],[ ,11 ??? ?? nbaba nnnn).(0)(2 1 ?????? nabab nnn中有限個(gè)不能用且其中每一個(gè)閉區(qū)間都是區(qū)間套即 H，ba nn ]},{[由區(qū)間套定理有限個(gè)開區(qū)間來覆蓋 ，的一個(gè)開覆蓋是由于 ],[,2,1],[ , baHnba nn ???? ?于是由區(qū)間套定理推論使故 ),(,),( ????? ??? H).,(],[ ???nn ban 充分大時(shí)有當(dāng)，Hba nn 就能覆蓋中的一個(gè)開區(qū)間只須用這表明 ),(],[ ??.”“],[ 矛盾中有限個(gè)開區(qū)間來覆蓋不能用時(shí)的假設(shè)與挑選 Hba nn].,[ baH 的有限個(gè)開區(qū)間能覆蓋從而證得必存在屬于七、 小結(jié) (1) 有界數(shù)集的確界定理 (2) 單調(diào)有界數(shù)列的極限存在定理 (3) 區(qū)間套定理 (4) Weierstrass聚點(diǎn)定理 。 (5) 柯西收斂原理 (6) HeineBorel有限覆蓋定理 。
鄂ICP備17016276號(hào)-1