第九章級(jí)數(shù)-資料下載頁(yè)
2025-08-23 08:49本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】定義給定一個(gè)數(shù)列??連接起來(lái)的表達(dá)式???????數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)也常寫作：或簡(jiǎn)單寫作。稱它為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的第n項(xiàng)部分和，簡(jiǎn)稱部分和。當(dāng)n無(wú)限增大時(shí),如果級(jí)數(shù)?即常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂(發(fā)散)存在(不存在)?了面積有限而周長(zhǎng)無(wú)限的圖形.收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂.,0lim但級(jí)數(shù)是否收斂有???n便有.這是不可能的。推論2若去掉，增添或改變級(jí)數(shù)的有限項(xiàng)，的斂散性，其中是p任意實(shí)數(shù).推論設(shè)與是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，
【正文】 在區(qū)間 一致收斂， 則函數(shù)級(jí)數(shù) 在區(qū)間 一致收斂． 1()nnax??? ()nbx? ?()nax I I1()nnbx??? II1()nnax??? ()nbxI1()nnax??? ()nbx167。 在函數(shù)級(jí)數(shù)中，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單應(yīng)用廣泛的是冪級(jí)數(shù)，即形如： 的函數(shù)級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù)．下面著重討論 （最簡(jiǎn)形式的冪級(jí)數(shù)）即 00()nnna x x???? ? ? ? ? ? ?20 1 0 2 0 0 nna a x x a x x a x x? ? ? ? ? ? ? ? ?20 1 20= + nnnnna x a a x a x a x??? ? ? ??0 0x ?一、冪級(jí)數(shù)的收斂域 定理１ （阿貝爾第一定理） 1)若冪級(jí)數(shù) (1)在 收斂，則冪級(jí)數(shù) (1)在： 都絕對(duì)收斂 。 2)若冪級(jí)數(shù) (1)在 發(fā)散，則冪級(jí)數(shù) (1)在： 都發(fā)散． 0 0x ?:x? 0xx?1x1xx?:x?167。 一、傅立葉級(jí)數(shù) 定義 1 若函數(shù) 在區(qū)間 可積，則稱 （ 1） （ 2） 是函數(shù) 的傅立葉系數(shù) . 以函數(shù) 的傅立葉系數(shù)為系數(shù)的三角級(jí)數(shù) 稱為函數(shù) 的傅立葉級(jí)數(shù)，表為 （ 3） ()fx [ , ]???1 ( ) c o sna f x n x d x??? ?? ?0 ,1, 2 , ) ,n ? ???1 ( ) s innb f x n x d x??? ?? ?( 1, 2 , 3 ) ,n ? ???()fx01( c o s s in )2 nnna a n x b n x?????01( ) ~ ( c o s s in )2 nnnaf x a n x b n x?????()fx()fx二、收斂定理 定義 2 若函數(shù) 在區(qū)間 除有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)外皆連續(xù)，則稱函數(shù) 在 逐段連續(xù) .若 與 都逐段連續(xù)，則稱函數(shù)在 逐段光滑 定理 1 若 在 R是以 為周期的在 逐段光滑的函數(shù)，則函數(shù) 的傅立葉級(jí)數(shù) (3)在 R收斂，其和函數(shù)是 ， 即， ? ?,ab()fx39。()fx? ?,ab()fx? ?,ab()fx2? ? ?,???()fx()fx? ?1 ( 0 ) ( 0 )2 f x f x? ? ?? ?,x ??? ? ?? ? 011 ( 0 ) ( 0 ) ( c o s s in )22 nnnaf x f x a n x b n x??? ? ? ? ? ??三、奇偶函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù) 若 是 以為周期的偶函數(shù)，則 也是偶函數(shù)，而 是奇函數(shù) .于是， 的傅立葉系數(shù) 顯然，偶函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)只含有余弦函數(shù)的項(xiàng)，亦稱余弦級(jí)數(shù) . 類似地，若 是以 為周期的奇函數(shù)，則 的傅立葉系數(shù) 相應(yīng)的傅立葉級(jí)數(shù)為正弦級(jí)數(shù) . 012( ) c o s ( ) c o sna f x n x d x f x n x d x??????????0 ,1, 2n ? …1 ( ) si n 0nb f x n x d x??? ????1, 2 , 3n ? …0,na ? 0 , 1 , 2n ? …02 ( ) s in ,nb f x n x d x??? ?1, 2n ? …()fx 2?()fx 2?( ) c osf x nx ( ) si nf x nx()fx
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