第九章級(jí)數(shù)-全文預(yù)覽
【正文】 x f x a n x b n x??? ? ? ? ? ??三、奇偶函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù) 若 是 以為周期的偶函數(shù)，則 也是偶函數(shù)，而 是奇函數(shù) .于是， 的傅立葉系數(shù) 顯然，偶函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)只含有余弦函數(shù)的項(xiàng)，亦稱余弦級(jí)數(shù) . 類似地，若 是以 為周期的奇函數(shù)，則 的傅立葉系數(shù) 相應(yīng)的傅立葉級(jí)數(shù)為正弦級(jí)數(shù) . 012( ) c o s ( ) c o sna f x n x d x f x n x d x??????????0 ,1, 2n ? …1 ( ) si n 0nb f x n x d x??? ????1, 2 , 3n ? …0,na ? 0 , 1 , 2n ? …02 ( ) s in ,nb f x n x d x??? ?1, 2n ? …()fx 2?()fx 2?( ) c osf x nx ( ) si nf x nx()fx。 2)若冪級(jí)數(shù) (1)在 發(fā)散，則冪級(jí)數(shù) (1)在： 都發(fā)散． 0 0x ?:x? 0xx?1x1xx?:x?167。1nnnn n???????p???1sinn pnnx 0,p ? 0 x ???五、絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì) 定理 13 若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂 ,其和為 S ,則任意交換級(jí)數(shù)的項(xiàng) ,得到的新級(jí)的也絕對(duì)收斂 ,其和也是 S . 定理 14 若級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂 ,其和分別是 A與 B,則它們的乘積級(jí)絕對(duì)收斂 ,其和 AB . 167。若級(jí)數(shù)收斂 ,而正項(xiàng)級(jí)數(shù)卻發(fā)散 ,則稱級(jí)條件收斂 . 定理 10 若級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂 ,則級(jí)數(shù) 必收斂 . 證明 利用絕對(duì)值不等式及級(jí)數(shù)的柯西收斂準(zhǔn)則即可證得 . 1nnu???1nnu???1nnu??? 引理 (阿貝爾變換 ) 設(shè) 是 兩組數(shù) ,若 1) 2) 則 定理 11 (狄利克雷判別法 ) 若級(jí)數(shù) 滿足下列條件 :1)數(shù)列 單調(diào)減少 ,且 2) 的部分和數(shù)列 有界 ,即 有 則級(jí)數(shù) 收斂 . 1 1 2 2 11nn n k kka b a b a b a b a M?? ? ? ? ??12 0。 級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散 : 當(dāng) n 無(wú)限增大時(shí) , 如果級(jí)數(shù) ??? 1nnu 的部分和數(shù)列ns有極限 s , 即 ssnn???l i m 則稱無(wú)窮級(jí)數(shù) ??? 1nnu 收斂 , 這時(shí)極限 s 叫做級(jí)數(shù) ??? 1nnu 的和 . 并寫成 ?? ?????321 uuus 余項(xiàng) nn ssr ?? ???? ?? 21 nn uu ?????1iinu即 ss n ? 誤差為 nr)0lim( ??? nn r即 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂 (發(fā)散 ) 存在 (不存在 ) ? nn s??lim無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂性舉例 : 做法：先給定一個(gè)正三角形，然后在每條邊上對(duì) 稱的產(chǎn)生邊長(zhǎng)為原邊長(zhǎng)的 1/3的小正三角形．如此 類推在每條凸邊上都做類似的操作，我們就得到 了面積有限而周長(zhǎng)無(wú)限的圖形 . 例 1 討論等比級(jí)數(shù) ( 幾何級(jí)數(shù) )?? ?????????nnnaqaqaqaaq20 )0( ?a的收斂性 .時(shí)如果 1?q12 ?????? nn aqaqaqas ?qaqa n???1 ,11 qaqqa n????,1時(shí)當(dāng) ?q 0lim ??? nn q?,1時(shí)當(dāng) ?q ???? nn ql i m? ??? ?? nn sl i m時(shí)如果 1?q,1時(shí)當(dāng) ?q,1時(shí)當(dāng) ??q??? nas n 發(fā)散 ????? aaaa級(jí)數(shù)變?yōu)椴淮嬖趎n s??? lim 發(fā)散 ???????? 發(fā)散時(shí)當(dāng)收斂時(shí)當(dāng),1,10 qqaqnn性質(zhì) 1 如果級(jí)數(shù) ??? 1nnu 收斂 , 則 ??? 1nnku 亦收斂 . 結(jié)論
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