基于matlab的數(shù)值分析課程設(shè)計(jì)-資料下載頁(yè)
2025-08-22 18:09本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】題目；給出函數(shù)f=1/，求f（x在[-1,1]上取5個(gè)和9個(gè)等距節(jié)點(diǎn)，做最小二。乘擬合，得出均方誤差方誤差。四階龍格-庫(kù)塔法分別求解下列初值問(wèn)題；
【正文】 數(shù) {cj}，根據(jù)這些特點(diǎn)，構(gòu)造如下矩陣： f1(x1) f2(x1) ? fM(x1) f1(x2) f2(x2) ? fM(x2) F= f1(x3) f2(x3) ? fM(x3) ? ? ? ? f1(xN) f2(xN) ? fM(xN) f1(x1) f1(x2) ? f1(xN) f2(x1) f2(x2) ? f2(xN) F’= f3(x1) f3(x2) ? f3(xN) ? ? ? ? fM(x1) fM(x2) ? fMxN) 乘積 F’F 是一個(gè) M*M 矩陣，方程組 ??* 轉(zhuǎn)化為求解線性方程組： YFFCF 39。39。 ? （求解系數(shù)矩陣 C） 程序框圖： 編寫 Matlab 程序 : function c=lspoly(x,y,M) n=length(x)。 B=zeros(1:M+1)。 F=zeros(n,M+1)。 構(gòu)造 M+1 維零向量 B， N 行 M+1 列的零矩陣 F 將 xk1 依次存放到 F 的第 k 列中 求解正規(guī)方程組 F’FC=F’Y for k=1:M+1 F(:,k)=x39。.^(k1)。 end A=F39。*F。 B=F39。*y39。 c=(A\B)39。 運(yùn)行結(jié)果為： x=[::]。 y=[ ]。 lspoly(x,y,2) ans = lspoly(x,y,4) ans = lspoly(x,y,6) ans = lspoly(x,y,8) ans = Columns 1 through 8 Column 9 整理得到偶次擬合多項(xiàng)式： 2 階擬合多項(xiàng)式： y=++ 4 階擬合多項(xiàng)式： y=+ 6 階擬合多項(xiàng)式： y=++++ 8 階擬合多項(xiàng)式： y=+++ + 為檢驗(yàn)每個(gè)擬合多項(xiàng)式的效果，編寫程序 ： function Y=lspoly2(M) x=[::]。 y=[ ]。 C=(lspoly(x,y,M))39。 %存放擬合多項(xiàng)式的系數(shù) n=length(x)。 X=zeros(n,M+1)。 for k=1:M+1 X(:,k)=x39。.^(k1)。 end Y=(X*C)39。 將結(jié)果列出如表： 實(shí)際值 2 階 4 階 6 階 8 階 顯然， 6 階擬合多項(xiàng)式的擬合結(jié)果已與實(shí)際值吻合了。 既然到 6 階擬合時(shí)，擬合結(jié)果已經(jīng)令人滿意就取 6 階擬合多項(xiàng)式： y=++++ 三．結(jié)果與分析 : 第?小題的運(yùn)算過(guò)程清楚地表明： Romberg 積分方法高速有效，易于編制程序，適合于計(jì)算機(jī)上操作。根據(jù) Romberg積分方法構(gòu)造出來(lái)的序列 nmTm ,1,0, ?? ，其收斂速度比變步長(zhǎng)求積法更快。這是因?yàn)?，?Romberg 積分方法中 ，采用了提高階數(shù)與減少步長(zhǎng)這兩種提高精度的措施。但它有一個(gè)明顯的缺點(diǎn)是：每當(dāng)把區(qū)間對(duì)分后，就要對(duì)被積函數(shù) f(x)計(jì)算它在新分點(diǎn)處的值，而這些函數(shù)值的個(gè)數(shù)是成倍增加的。 第?小題先后使用了 Lagrange 插值方法和 Newton 插值方法， Lagrange插值多項(xiàng)式具有明顯地對(duì)稱性，易于記憶。然而，正是由于這種對(duì)稱性使得公式中的每一項(xiàng)與所有的插值結(jié)點(diǎn)有關(guān)。因此，如果增加一個(gè)插值結(jié)點(diǎn)，則 Lagrange 插值多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)多需要改變。由 Newton 插值公式可以看出，當(dāng)增加一個(gè)插值結(jié)點(diǎn)時(shí)，前面已有的各項(xiàng)均不變，只需在后面增加一項(xiàng)即可。并且， Newton 插值多項(xiàng)式中，每一項(xiàng)的系數(shù)就是各階差商，它減少了不必要的重復(fù)計(jì)算，比 Lagrange 插值多項(xiàng)式計(jì)算量小，且便于程序設(shè)計(jì)。 在第?小題中，得到 Lagrange插值多項(xiàng)式和 Newton插值多項(xiàng)式的結(jié)果是一樣的。這是因?yàn)橥ㄟ^(guò)相同結(jié)點(diǎn)的插值多項(xiàng)式是唯一的，因此， Lagrange插值多項(xiàng)式與 Newton插值多項(xiàng)式本質(zhì)上是同一個(gè)多項(xiàng)式，只不過(guò)形式不同而已，這恰驗(yàn)證了代數(shù)插值問(wèn)題的唯一有解性：不管構(gòu)造插值多項(xiàng)式采用哪種方式，只要滿足給定的 n+1個(gè)結(jié)點(diǎn)上的 函數(shù)yi=f(xi),i=0,1,? , Pn(x)=anxn+an1xn1+? +a0 后，其系數(shù)是唯一的。 第?小題所討論的插值問(wèn)題，是用一個(gè)多項(xiàng)式來(lái)近似代替列表函數(shù)，并且要求多項(xiàng)式通過(guò)列表漢書中給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)。而在實(shí)際應(yīng)用中，還經(jīng)常會(huì)遇到這樣的問(wèn)題，為解析式子比較復(fù)雜的函數(shù)尋找一個(gè)多項(xiàng)式來(lái)近似代替它，并要求其誤差在某種度量意義下最小。 另外，插值法雖然在一定程度上可以解決根據(jù)給定函數(shù)值求函數(shù)的近似表達(dá)式問(wèn)題，但同時(shí)亦存在著明顯的缺陷。首先，因?yàn)橛蓪?shí)驗(yàn)提供的數(shù)據(jù)往往 帶有測(cè)試誤差，個(gè)別數(shù)據(jù)的誤差還可能很大，如果要求近似曲線嚴(yán)格地經(jīng)過(guò)所有給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)，就會(huì)使曲線保留這些誤差，從而失去原數(shù)據(jù)表示的規(guī)律；其次，即使插值多項(xiàng)式通過(guò)了給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)，在這些給定數(shù)據(jù)點(diǎn)上的誤差很小，但不能保證在其他點(diǎn)上的誤差也很小，所以，在兩個(gè)插值結(jié)點(diǎn)之間，插值多項(xiàng)式 Pn(x)并不一定能很好地逼近被插值函數(shù) f(x)，有時(shí)差異甚至很大。同時(shí)，當(dāng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)很多時(shí)，用插值法得到近似表達(dá)式明顯地缺乏實(shí)用價(jià)值。 第?小題中，取 6 階擬合多項(xiàng)式比較好，因?yàn)楦唠A多項(xiàng)式的擬合會(huì)引起數(shù)值的不穩(wěn)定，使用最小二 乘法多項(xiàng)式擬合非線性數(shù)據(jù)的方法固然具有吸引力，但如果數(shù)據(jù)不具有多項(xiàng)式特性，則求出的曲線可能產(chǎn)生大的振蕩。這種現(xiàn)象在高階多項(xiàng)式情況下更容易發(fā)生，由于這個(gè)原因，一般很少使用超過(guò) 6階的多項(xiàng)式。正因?yàn)檫@樣，所以才會(huì)選 6 階擬合多項(xiàng)式。 參考文獻(xiàn)： ① John ,Kurtis 著，陳渝等譯。 Numerical Methods Using MATLAB (Third Edition) 北京：電子工業(yè)出版社 . ② 張池平主編 .計(jì)算方法 .哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社 . ③ 王兵團(tuán)，桂文豪著 .數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 基礎(chǔ) .北京：北方交通大學(xué)出版社 . ④ 楊萬(wàn)利等著 .數(shù)值分析教程 .北京：國(guó)防工業(yè)出版社 . ⑤ 康曉東主編 .數(shù)值算法與非數(shù)值算法 . 北京：電子工業(yè)出版社 ⑥ 徐士良編著 .數(shù)值分析與算法 .北京：機(jī)械工業(yè)出版社 . ⑦ 林成森編著 .數(shù)值計(jì)算方法 .北京：科學(xué)出版社 . ⑧ 張池平，施云慧著 .計(jì)算方法 . 北京：科學(xué)出版社 .
醫(yī)療健康相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1