基于matlab的數(shù)值分析課程設(shè)計(參考版)
2024-09-04 18:09本頁面
【正文】 參考文獻： ① John ,Kurtis 著，陳渝等譯。這種現(xiàn)象在高階多項式情況下更容易發(fā)生，由于這個原因，一般很少使用超過 6階的多項式。同時，當實驗數(shù)據(jù)很多時，用插值法得到近似表達式明顯地缺乏實用價值。 另外，插值法雖然在一定程度上可以解決根據(jù)給定函數(shù)值求函數(shù)的近似表達式問題，但同時亦存在著明顯的缺陷。 第?小題所討論的插值問題，是用一個多項式來近似代替列表函數(shù)，并且要求多項式通過列表漢書中給定的數(shù)據(jù)點。 在第?小題中，得到 Lagrange插值多項式和 Newton插值多項式的結(jié)果是一樣的。由 Newton 插值公式可以看出，當增加一個插值結(jié)點時，前面已有的各項均不變，只需在后面增加一項即可。然而，正是由于這種對稱性使得公式中的每一項與所有的插值結(jié)點有關(guān)。但它有一個明顯的缺點是：每當把區(qū)間對分后，就要對被積函數(shù) f(x)計算它在新分點處的值，而這些函數(shù)值的個數(shù)是成倍增加的。根據(jù) Romberg積分方法構(gòu)造出來的序列 nmTm ,1,0, ?? ，其收斂速度比變步長求積法更快。 將結(jié)果列出如表： 實際值 2 階 4 階 6 階 8 階 顯然， 6 階擬合多項式的擬合結(jié)果已與實際值吻合了。.^(k1)。 X=zeros(n,M+1)。 C=(lspoly(x,y,M))39。 lspoly(x,y,2) ans = lspoly(x,y,4) ans = lspoly(x,y,6) ans = lspoly(x,y,8) ans = Columns 1 through 8 Column 9 整理得到偶次擬合多項式： 2 階擬合多項式： y=++ 4 階擬合多項式： y=+ 6 階擬合多項式： y=++++ 8 階擬合多項式： y=+++ + 為檢驗每個擬合多項式的效果，編寫程序 ： function Y=lspoly2(M) x=[::]。 運行結(jié)果為： x=[::]。*y39。*F。.^(k1)。 F=zeros(n,M+1)。 ? （求解系數(shù)矩陣 C） 程序框圖： 編寫 Matlab 程序 : function c=lspoly(x,y,M) n=length(x)。 方程組 ??* 的系數(shù)矩陣是一個對稱矩陣，并且是正定的，可以唯一地確定系數(shù) {cj}，根據(jù)這些特點，構(gòu)造如下矩陣： f1(x1) f2(x1) ? fM(x1) f1(x2) f2(x2) ? fM(x2) F= f1(x3) f2(x3) ? fM(x3) ? ? ? ? f1(xN) f2(xN) ? fM(xN) f1(x1) f1(x2) ? f1(xN) f2(x1) f2(x2) ? f2(xN) F’= f3(x1) f3(x2) ? f3(xN) ? ? ? ? fM(x1) fM(x2) ? fMxN) 乘積 F’F 是一個 M*M 矩陣，方程組 ??* 轉(zhuǎn)化為求解線性方程組： YFFCF 39。 最小二乘法的思想是：設(shè)有 N 個數(shù)據(jù)點 {（ xk,yk） }，并給定 M 個線性獨立函數(shù) {fj(x)}。這個原理就稱為最小二乘原理。在某種意義上，曲線擬合更具有實用價值，因為實際問題中所提供的數(shù)據(jù)往往很多，如果用插值法勢必要得到次數(shù)很高的插值多項式，導(dǎo)致計算上的很多麻煩。 ? 擬合多項式 曲線擬合問題與函數(shù)插值問題不同，它不要求曲線通過所有已知點，只要求得到的近似函數(shù)能反映數(shù)據(jù)的基本關(guān)系。,x,y0) 可以看出，兩個插值方法得出的結(jié)果相同，不過， Newton 插值要比 Lagrange 插值好，由于 Lagrange 插值的 n 次插值基函數(shù) lk(x)(k=0,1,2,… n)都依賴于全部插值結(jié)點，利用公式很容易得到插值多項式，但在增加或減少結(jié)點時，插值基函數(shù) lk(x)(k=0,1,2,… n)也隨之變化，必須全部重新計算。 plot(x,y,39。 [c,d]=newpoly(x,y)。 end 構(gòu)造 n 階零矩陣 D 把 y 的值存入 D 的第一列 依次計算第 k 階均差，保留在 D 的第 (k+1)列中 根據(jù) (*)式利用差商即 D對角線上值元素求得 Newton 插值多項式 運行結(jié)果： D = Columns 1 through 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Columns 8 through 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ans = Columns 1 through 7 Columns 8 through 9 將結(jié)果整理，得到 Newton 插值多項式為： y=++++ 運用 Matlab 畫出 Newton 插值多項式的擬合效果圖，用叉“ x”表示原數(shù)據(jù)點， 編寫 Matlab 程序 function newpolyplot x=[::]。 m=length(C)。 end end D C=D(n,n)。 D(:,1)=y3
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