lu分解法、列主元高斯法、jacobi迭代法、gauss-seidel法的原理及matlab程序-資料下載頁
2025-03-17 20:19本頁面
【導(dǎo)讀】Gauss-Seidel迭代法解線性方程組。學(xué)會用Matlab編寫各種方法求解線性方程組的程序。bnnxngn這個過程就是消元，然后再回代就好了。時消元就無法進行了，即使主元數(shù)akk0,但是很小時，其做除數(shù)，也會導(dǎo)致其他元素數(shù)量級的嚴重增長和舍入誤差的擴散。然后換行使之變到主元位置上，再進行銷元計算。直接利用矩陣乘法，得到矩陣的三角分解計算公式為：。Axb的系數(shù)矩陣A可逆且主對角元素a11,a22,...,ann均不為零,由雅可比迭代公式可知,在迭代的每一步計算過程中是用x所有分量,顯然在計算第i個分量xi用。別為A的主對角元除外的下三角和上三角部分,%A為系數(shù)矩陣，b為右端項矩陣[m,n]=size;%初始化矩陣A，b，L和Un=length;
【正文】 主元高斯消去原理： 每次消去中，選取每列的絕對值最大的元素作為消去對象并作為主元素。然后換行使之變到主元位子上，在進行消元計算。設(shè) A(k)x b(k)，確定第 k列主元所在位置 ik，在交換 ik 行和 k行后，在進行消元。根據(jù)矩陣理論，交換 ik 和 k 兩個方程的位置，列主元素的消去過程相當于對交換后的新矩陣進行消元，即 LkIk,ikAk A(k 1) 同時，右端向量 b(k)變化為 LkIk,ikbk b(k 1) LU 分解原理： 第頁 南昌航空大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院實驗報告 直接三角分解：先將 A 分解為上三角矩陣 U 和下三角矩陣 L（ A=LU），則原為題等價于求解兩個方程組： Ly b,Ux y 迭代法 （ 1） jacobi迭代法（又稱簡單迭代法）考慮 n階線性代數(shù)方程組 a11x1 a12x2 ..... a1nxn b1 ax ax ..... ax b 2112222nn 2 an1x1 an2x2 ..... annxn bn其 矩 陣 形 式 為 Ax b 設(shè)該方程組的系數(shù)矩陣 A 非奇異且 aii 0(i 1,2,.....,n)，可將A 分解為： A D L U 其中 D diag[a11,a22,.....,ann]； 0 a 21L a31 an10a31 an10 an1 0a120 ， U=－ 0 a13a230a1n a2n an 1,n 0 然 后 化 為 如 下 等 價 形 式 x D 1(L U)x D 1b 簡記為 x BJx fJ 選取初始向量 x(0) x1,x2 (0)(0) xn(0)T ,通過上式可得到線性代數(shù)方程組的迭代格式 x(k 1) BJx(k) fJ,(k 0,1,2 ) 其分量形式為 xi即 (k 1)n1k (bi aijxj),(i 1,2, n)(k 0,1,2 )aiii1j 1第 頁 南昌航空大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院實驗報告 (k 1)1(k)(k)(k)x (b ax ax ax)11221331nn 1a11 1(k 1)(k)(k)(k)x (b ax ax ax) 222112332nna 221 (k 1)(k)(k)(k)x (b ax ax ax)nnn1n2n,n 1n112 ann 以上計算過程稱迭代法，矩陣 BJ陳為 jacobi迭代法的迭代矩陣。 （ 2） GaussSeidel迭代法將 jacobi迭代格式改為如下形式 xi(k 1)i 1n1(k)(k) (bi aijxj aijxj),(i 1,2,n)(k 0,1,2 )aiii 1j i 1其矩陣形式為 x(k 1) (D L) 1Ux(k) (D L) 1b 于是得 GaussSeidel迭代公式為 x(k) BGx(k) fG,(k 0,1,2 ) 程序代碼：第一題程序代碼：functionGEpiv(A,b)[m,n]=size(A)。nb=n+1。Ab=[Ab]。fori=1:m1[pivot,p]=max(abs(Ab(i:n,j)))。ip=p+i1。ifip~=iAb([iip],:)=Ab([ipi],:)。end 第頁稱 BG 為 GaussSeidel迭代法的迭代矩陣。 南昌航空大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院實驗報告 pivot=Ab(i,i)。fork=i+1:mAb(k,i:nb)=Ab(k,i:nb)(Ab(k,i)/pivot)*Ab(i,i:nb)。endendx=zeros(n,1)。x(n)=Ab(n,nb)/Ab(n,n)。fori=n1:1:1x(i)(Ab(i,nb)Ab(i,i+1:n)*x(i+1:n,1))/Ab(i,i)。endfork=1:nfprintf(39。x[%d]=%f\n39。,x(k))。end 運行結(jié)果為輸入 A=[1103。2111。3113。1231]。b=[4。1。3。4]。得結(jié)果為 x= 第二題代碼： functionx=lufj(A,b)%lu 分解求值函數(shù)[lup]=lu(A)。y=lx(l,b)。x=us(u,y)。end 第 頁 南昌航空大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院實驗報告 functiony=lx(A,b)% 求 系 數(shù) 矩 陣 為 下 三 角 方 程 函 數(shù)[n,m]=size(A)。y(1)=b(1)/A(1,1)。fori=2:ns=0。fork=1:i1s=s+A(i,k)*y(k)。endy(i)=(b(i)s)/A(i,i)。endend functionx=us(A,b)% 求 系 數(shù) 矩 陣 為 上 三 角 方 程 函 數(shù)[n,m]=size(A)。x(n)=b(n)/A(n,n)。fori=0:n2s=0。fork=0:is=s+A(ni1,nk)*x(nk)。endx(ni1)=(b(ni1)s)/A(ni1,ni1)。endend 輸入矩陣 A=[4824012。2441212。06202。66216]。b=[4。4。2。2]。結(jié)果為 x= 第 頁 南昌航空大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院實驗報告 第三題代碼：（ 1） Jacobi迭代： functionx=agui_jacobi(a,b)n=length(b)。N=100。e=1e4。x0=zeros(n,1)。x=x0。x0=x+2*e。k=0。d=diag(diag(a))。l=triu(a,1)。u=triu(a,1)。whilenorm(x0x,inf)eamp。kb=[11。11。6。25]。x=agui_jacobi(a,b)結(jié)果為 第 頁 南昌航空大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院實驗報告 x= （ 2 ）A=[10120。0813。21100。13111]。b=[11。11。6。25]。x=[。2.1。]。gau(A,b,x)結(jié)果為 x= 四、實驗中存在的問題及解決方案 命令需多次修改，如 Gauss 迭代中， m 文件中因 end 的不匹配使得程序無法運行處結(jié)果，則需細心調(diào)試，去除多余的 end，才能使程序正常運行。 五、心得體會 在線性代數(shù)中，從理論上解決了線性方程組的求解問題，但常用的高斯消元法有時會導(dǎo)致結(jié)果產(chǎn)生嚴重的 偏差，因此需要研究數(shù)值解法。Jacobi迭代與 GaussSeidel 有一個共同特點：新的近似解是已知近似解的線性函數(shù)，并且新的近似解只與已知近似解有關(guān)。 編寫程序是一個繁雜的過程，需要不斷調(diào)試，并且善于發(fā)現(xiàn)程序中的細小問題，才能夠正常運行處程序。 第 頁
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