【導(dǎo)讀】衡價(jià)格意味著在這一價(jià)格體系下，供給等于需求；通過(guò)求解方程組可以得到一組均衡價(jià)格。盡管瓦爾拉斯給出一般均衡的線性方程組過(guò)于淺顯，但其思想確是數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)的開(kāi)端；問(wèn)題，其中最為著名的是阿羅和德布魯。嚴(yán)格性、邏輯性；經(jīng)濟(jì)問(wèn)題與純數(shù)學(xué)有很大差異，但其內(nèi)在的邏輯性仍需要數(shù)學(xué)方法去揭示。數(shù)學(xué)本身是一種“語(yǔ)言”，沒(méi)有語(yǔ)言，我們無(wú)法說(shuō)清楚所研究的問(wèn)題。者關(guān)注的則是一般的商品。投資者買(mǎi)賣(mài)金融資產(chǎn)的主要目的是盈利，而買(mǎi)入商品的主要目的。是消費(fèi)，這導(dǎo)致了數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)的一般方法在處理金融問(wèn)題時(shí)需要修正。產(chǎn)的兩個(gè)基本特征：風(fēng)險(xiǎn)、收益；并指出：投資者的總是在二者之間作出權(quán)衡。承認(rèn)公理的正確性，就必須承認(rèn)定理的正確性。的部分，如投資者情緒，可能造成價(jià)格的大幅波動(dòng)。波動(dòng)密切相關(guān)，且往往遠(yuǎn)大于基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)的幅度。Arrow和Debieu的另一個(gè)重要貢獻(xiàn)使。在隨后的研究中，Arrow和Debieu未考慮過(guò)的不完全市場(chǎng)問(wèn)題、在此之前，Black-Scholes于1973年提出

　　

【正文】 ?? ?度量了風(fēng)險(xiǎn)厭惡的程度，稱(chēng)：? ? ? ?? ?uWAW uW???? ? 為 Arrow Pratt? 絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù) 。將 ??? 變形為： ? ?? ?1 v a r2M W u WW u W W? ??? ???? ??? ?? 可以看出：一個(gè)財(cái)富為 W 的投資者，他的相對(duì)的 Markowitz 風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)與 ? ?? ?Wu WuW??? ?有關(guān)，因 varW???????是賭博相對(duì)收益的方差，故忽略它的影響，我們得到 Arrow Pratt? 相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù) ： ? ? ? ?? ?Wu WRWuW???? ?。 注：（ 1）對(duì) ? ?AW 的另一個(gè)解釋是：直觀上，函數(shù) ? ?uW 越“凹”，投資者越厭惡風(fēng)險(xiǎn)；可 24 以證明 ? ?? ?uWuW??? ?恰為度量 ? ?uW 凹的程度的有效指標(biāo)，因此 ? ?AW 度量了風(fēng)險(xiǎn)厭惡的程度。 （ 2）效用函數(shù) u 滿足如下的微分方程： ? ? ? ? ? ? 0u x A x u x?? ??? 因此，假如已知絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù) ??Ax，我們可以得到： ? ? ? ? ? ? ? ?0000tx A s d su x u u e d t? ???? ?， x? 由于常數(shù) ? ? ? ?0 , 0uu? 不影響效用函數(shù)的本質(zhì)，因此： ? ? ? ?00tx A s dsu x e dt??? ? 四、 幾種常用的效用函數(shù) 線性效用函數(shù)： ? ? ? ?,0u W a bW b? ? ? 因 ? ? 0AW? ，因此擁有線性效用函數(shù)的投資者是風(fēng)險(xiǎn)中性的。 二次效用函數(shù)： ? ? ? ?2 ,0u W W bW b? ? ? 此時(shí) ? ?uW 的圖像為開(kāi)口向下的拋物線， ? ?uW 在 12b 處達(dá)到最大值。因 ? ? 212bAW bW? ? ，故僅在 12W b? 時(shí)，擁有二次效用函數(shù)的投資者是風(fēng)險(xiǎn)厭惡的。 冪效用函數(shù)： ? ? ? ?1 , 1 , 0u W W ? ???? ? ? 此時(shí) ? ? 1RW ??? 為常數(shù)。 指數(shù)效用函數(shù)： ? ? 1 aWu W e??? 該效用函數(shù)的一個(gè)重要特征是 ? ?AW a? 為常數(shù)。 對(duì)數(shù)效用函數(shù)： ? ? lnu W W? 該效用函數(shù)的一個(gè)重要特征是 ? ? 1RW? 。 雙曲絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡類(lèi)效用函數(shù) ( , )H y p e rb o lic A b so lute R isk A v e rsio n H A R A： 25 ? ? 1 。 , 01aWu W b b?? ??????? ? ?????? HARA 是金融理論中最重要的一類(lèi)效用函數(shù)，它也被稱(chēng)為線性風(fēng)險(xiǎn)容忍類(lèi)函數(shù)，即它的風(fēng)險(xiǎn)容忍系數(shù)： ? ?1WbTW a???? 是 W 的線性函數(shù)。通過(guò)取不同的參數(shù) ,ab? ，可以證明：二次效用函數(shù)、冪效用函數(shù)是 HARA效用函數(shù)的特例。 五、 隨機(jī)占優(yōu) 效用函數(shù)和風(fēng)險(xiǎn)厭惡的度量參數(shù)都是針對(duì)單個(gè)投資者的，因此基于某個(gè)效用函數(shù)得出的兩個(gè)不同策略的優(yōu)劣只對(duì)擁有這個(gè)效用函數(shù)的投資者有效。在投資問(wèn)題中，尋找對(duì)具有某一類(lèi)效用函數(shù)的投資者都更優(yōu)的策略有重要意義。我們可以將效用函數(shù)分類(lèi)，找出每一類(lèi)中占優(yōu)策略的特征。 設(shè) ? 是具備某種特征的效用函數(shù)的集合，隨機(jī)變量 ,??是選擇集中的兩個(gè)選擇，稱(chēng) ? 隨機(jī)占優(yōu)于 ? ，如果對(duì)任意的 u?? ， ? ? ? ?E u E u???? ? ? ?? ? ? ? 成立，用 ????表示。 注：（ 1）隨機(jī)占優(yōu)選擇與 ? 緊密相關(guān)。 （ 2）“? ?”不是選擇集上的全序關(guān)系，因?yàn)椴⒎侨我獾?,??都滿足條件： ????， ????至少有一個(gè)成立。 假定 ? ?:0uu??? ? 則 ????成立時(shí)，稱(chēng) ? 一階隨機(jī)占優(yōu)于 ? ，記為FSD???。如果 ? ?: 0, 0u u u? ? ??? ? ? ? 則 ????成立時(shí)，稱(chēng) ? 二階隨機(jī)占優(yōu)于 ? ，記為SSD???。我們有下面的判定定理。 定理： 假定 ,??為兩個(gè)只在有限區(qū)間上取值的隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)分別為： ? ? ? ? ? ? ? ?。F x P x F x P x????? ? ? ? 則： （ 1） ? ? ? ?,F S D x F x F x????? ? ? ? ? （ 2） ? ? ? ?, xxSSD x F s d s F s d s???? ? ? ? ?? ? ? ? ??? 26 證明：（ 1）由定義： ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?,0FSDu E u E uu x dF x u x dF xu x d F x F x????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?????? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?????? ? ?????? 而： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?u x d F x F x u x F x F x d x? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? 因此，由 u? 的任意性可知上式等價(jià)于： ? ? ? ?,x F x F x??? ? ? 否則，若： 存在 ? ? ? ?,x F x F x???? 由于分布函數(shù)是右連續(xù)的，因此存在一個(gè)區(qū)間 ? ，使得在 ? 上 ? ? ? ?,x F x F x????也成立，取任意的滿足在 ? 上 0u?? 的效用函數(shù) u?? ，則： ? ? ? ? ? ? ? ?u x d F x u x d F x??? ? ? ?? ? ? ???? 矛盾，因此 結(jié)論成立。 （ 2）將（ 1）的最后一步： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?u x d F x F x u x F x F x d x? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???變 形為： ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?xu x d F x F xu x F x F x dxu x F s F s ds dx????????????????? ? ? ??????? ??? ? ??????? ?????????????? 類(lèi)似的，由 u?? 的任意性可知： ? ? ? ? 0x F s F s ds???? ???????成立。 注：（ 1）條件：“ ,??為兩個(gè)只在有限區(qū)間上取值的隨機(jī)變量”是為了保證 ,??及它們的函數(shù)的期望、方差都存在。 （ 2）取 ? ?u x x? ，則 u?? ，因此 ? ? ? ?FSD EE? ? ? ?? ? ?。 （ 3）注意： ? ? ? ? ? ? ? ?,x F x F x x P x P x?? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?，但與 ??? 是不同 27 的。 （ 4）與一階占優(yōu)不同，由SSD???不能推出 ? ? ? ?var var??? 。 （ 5）如果將 ,??理解為甲乙金融資產(chǎn)的收益率，則一階和二階隨機(jī)占優(yōu)只是說(shuō)，投資者將所有資金投資于甲資產(chǎn)的選擇優(yōu)于將所有資金投資于乙資產(chǎn)的選擇；實(shí)際中，投資者一般會(huì)將資金在甲乙之間作一個(gè)分配，即組合投資，因此上面的兩種極端的投資方式都不是最優(yōu)的。 第五 講 公司財(cái)務(wù)的 MM 定理 ModiglianiMiller 定理與公司資本結(jié)構(gòu) （ MMT） 公司的財(cái)務(wù)管理理論 是金融數(shù)學(xué)的一個(gè)組成部分，該理論研究以公司價(jià)值最大化為目標(biāo)，公司最佳的財(cái)務(wù)決策問(wèn)題，其研究范圍大致集中在 公司資本結(jié)構(gòu) 和 資產(chǎn)負(fù)債管理 兩個(gè)方面。 假定公司 的債務(wù)由 債券 和 股票 構(gòu)成，則公司的價(jià)值是其債券和股票市場(chǎng)價(jià)值的和。對(duì)公司而言，其債券和股票價(jià)值體現(xiàn)為公司的成本。所謂公司的 資本結(jié)構(gòu) 8，是指公司的債券價(jià)值與股票價(jià)值在公司總價(jià)值中所占的比例。 公司的資本結(jié)構(gòu)是否對(duì)公司價(jià)值產(chǎn)生影響？這是公司財(cái)務(wù)管理中最基本，同時(shí)也是最重要的問(wèn)題。下面的定理回答了一個(gè)基本問(wèn)題 ：公司的資本結(jié)構(gòu) 不會(huì)對(duì)公司的價(jià)值產(chǎn)生影響 。該定理是 ModiglianiMiller 于 1956 年發(fā)表的《資本成本、公司財(cái)務(wù)與投資管理》一文中首先提出的。與 CAPM、 APT 的分析方法類(lèi)似的是： MM定理也是在 理想條 件 9下展開(kāi)討論的，且定理討論的是單期情況 。下面的 ModiglianiMiller 第一定理指出：當(dāng)其余因素對(duì)公司價(jià)值不產(chǎn)生影響時(shí)，公司資本結(jié)構(gòu)對(duì)公司價(jià)值的沒(méi)有影響。 定理 ：（ ModiglianiMiller 第一定理 ） 符號(hào)說(shuō)明： 1） Xm 為 X 公司 0 時(shí)刻的債券數(shù)量； 2） ? ?,XXp B B 分別為 0 時(shí)刻和 1 時(shí)刻的債券價(jià)格； 3） Xn 為 X 公司 0 時(shí)刻的股票數(shù)量， ? ?,XXp S S 分別為 0 時(shí)刻和 1 時(shí)刻的股票價(jià)格； 4） ??0XV 和 ??1XV 為分別 0 時(shí)刻和 1 時(shí)刻 X 公司的價(jià)值。 將下標(biāo)的 X 換成 Y ，得到 Y 公司的相應(yīng)符號(hào)。 假設(shè)： ,XY是兩個(gè)資本結(jié)構(gòu)不同 的 公司； X 公司與 Y 公司在 1 時(shí)刻的價(jià)值相等，即? ? ? ?11XYVV? 8 “公司資本結(jié)構(gòu)” 有兩種含義：廣 義的資本結(jié)構(gòu)涉及到了公司資本構(gòu)成的所有方面，包括短期資本與長(zhǎng)期資本；狹義的資本結(jié)構(gòu)僅涉及長(zhǎng)期資本的結(jié)構(gòu)，包括債務(wù)資本與權(quán)益資本。 MM 定理中的資本結(jié)構(gòu)屬于后者。 9 “理想條件” 也稱(chēng)為“完美市場(chǎng)”。 28 結(jié)論 ： A 公司與 B 公司在 0 時(shí)刻的價(jià)值相等，即 ? ? ? ?00XYVV? 。 證明 ： ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ?? ?0110X X X X XX X X XXYY Y Y YY Y Y YYV m p B n p Sp m B n SpVpVp m B n Sm p B n p SV??????????? 注：（ 1）上面的推導(dǎo)過(guò)程很簡(jiǎn)單，關(guān)鍵在于應(yīng)用了定價(jià)函數(shù) ??p? 的線性，而 ??p? 的線性正是無(wú)套利假定的結(jié)果。 （ 2）在定理及證明中，我們并未涉及到 1 時(shí)刻的不確定性；事實(shí)上，上面的 ? ? ? ?11XYVV?的含義也可以解釋為：無(wú)論 1 時(shí)刻市場(chǎng)處于何種狀態(tài)， ,XY公司的價(jià)值都相等（二者最為隨機(jī)變量相等），類(lèi)似的： 1 時(shí)刻的股票價(jià)格和債券價(jià)格（因存在破產(chǎn)的可能）也是隨機(jī)的；因此上面的定理和證明同時(shí)包含了 1 時(shí)刻“確定”和“不確定”兩種情況。 （ 3）上面的 ,XY公司可以看成一家公司，不同的資本結(jié)構(gòu)比例看成 該公司對(duì)資本結(jié)構(gòu)不同的選擇。 （ 4） MM 定理發(fā)表之前，許多經(jīng)濟(jì)學(xué)家認(rèn)為一個(gè)公司應(yīng)當(dāng)存在一個(gè)最佳的資本結(jié)構(gòu)比例，這一比例使得公司價(jià)值最大化； MM 定理的結(jié)論正好相反。并不能由此否定 MM 定理之前的許多關(guān)于公司財(cái)務(wù)管理 的研究，因?yàn)?MM 定理的假定條件過(guò)強(qiáng)，只在理想條件下成立，現(xiàn)實(shí)中，由于定理的條件不滿足，結(jié)論自然不會(huì)成立?？傊?，區(qū)分金融數(shù)學(xué)理論與金融實(shí)務(wù)是非常重要的。我們不僅應(yīng)當(dāng)看到理論所反映的金融原理，還要看到現(xiàn)實(shí)條件對(duì)實(shí)際的影響，二者不能完全割裂開(kāi)。 盡管公司的資本結(jié)構(gòu)對(duì)公司價(jià)值不產(chǎn)生影響，但公司股票的收益率卻與資本結(jié)構(gòu)有關(guān)。下面的 MM 第二定理指出：公司股票的 收益率是債券股權(quán)比的線性函數(shù)。 定理 ：（ ModiglianiMiller 第二定理 ） 符號(hào)說(shuō)明： 1） Xm 、 ? ?,XXp B B 、 Xn 、 ? ?,XXp S S ? ?,XXp S S 的含義與定理一相同； 2） ? ? 1XXBr pB??為 X 公司債券的收益率；對(duì)于未來(lái)價(jià)值相等的 ,XY公司而言， r 為常數(shù) 。 3） Xr 為 X 公司的股票在 1 時(shí)刻的收益率。 4） ? ?? ?1 10XXVe V??為 X 公司價(jià)值的增長(zhǎng)率。由定理一， e 為常數(shù)。 29 結(jié)論 ： ? ? ? ?? ?XXX XXm p Br e e r n p S? ? ? 證明 ： ? ?? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?? ?1111011XXXXXX X XXXX X XXXX X X X X X X XXXXXXXnSrn p SV m Bn p Se V m Bn p Se n p S m p B m B n p Sn p Sm p Be e rn p S?????????? ? ? ??????